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三明一中 2023-2024 学年高三月考 1
数学学科试卷
（总分150分，时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设全集为R，若集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出集合A，B， 的区间，根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意， ， ， ，
；
故选：B.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知 ，向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用向量平行的坐标表示求 ，再根据充分，必要条件的定义判断.
【详解】若向量 ，则 ，即
,
解得： 或
的
所以“ ”是“ ” 充分不必要条件.
故选：B
4. 已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式可求得 ，再用诱导公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
5. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
6. 已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则有（ ）
A. 为等差数列 B. 为等比数列
C. 为等差数列 D. 为等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】根据 得到 ，即可判断AB选项；根据 ， 得到
即可判断CD选项.
【详解】由题意，数列 的前 项和满足 ，
当 时， ，两式相减，可得 ，
可得 ，即 ，又由 ，当 时， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以数列 的通项公式为 ，故数列 既不是等差数列也不是等比数列，所以AB
错.
当 时， ，又由 时， ，适合上式，
所以数列 的前 项和为 ；又由 ，所以数列 为公比为3的等比数列，故D正确，
C错.
故选：D.
7. 已知函数 ，若实数a，b，c互不相等，且 ，则 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式作出函数的图象，根据 结合函数的对称性可得 及
的范围，从而求解 的范围.
【详解】作出函数 的图象如图：
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学科网（北京）股份有限公司设 ，且 ，
则函数 与直线 的三个交点从左到右依次为 ， ， ，
则点 与 在函数 上，而函数 关于直线 对称，
所以 ，由 得 ，
若满足 ，则 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：A.
8. 已知函数 在 上存在最值，且在 上单调，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对 进行最值分析，对区间
上进行单调分析；
【详解】因为 ，
当 时，因为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因 函数 在 上存在最值，
为
则 ，解得 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调，
则 ，
所以 其中 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，则 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
又因为 2，因此 的取值范围是 ．
故选：B．
【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
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学科网（北京）股份有限公司题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在 中， ，
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D. 在 中，若 ， ，则 必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于选项 在 中，由正弦定理可得 ，即可判断出正误；对于选项
在锐角 中，由 ，可得 ，即可判断出正误；对于选
项 在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，得到 或
即可判断出正误；对于选项 在 中，利用余弦定理可得： ，
代入已知可得 ，又 ，即可得到 的形状，即可判断出正误.
【详解】对于 ，由 ，可得： ，利用正弦定理可得： ，正确；
对于 ，在锐角 中， ， ，
， ，
，因此不等式 恒成立，正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于 ，在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，
，
， ，
或 ，
或 ，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题， 错误.
对于 ，由于 ， ，由余弦定理可得： ，
可得 ，解得 ，可得 ，故正确.
故选： .
【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应
用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
10. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果
当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计时，则（ ）．
A. 点 第一次到达最高点需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点 距离水面2米
C. 当水轮转动50秒时，点 在水面下方，距离水面2米
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学科网（北京）股份有限公司D. 点 距离水面的高度 （米）与 （秒）的函数解析式为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意求出点 距离水面的高度 （米）和时间 （秒）的函数解析式为
，结合选项依次判断即可.
【详解】设点 距离水面的高度 （米）和时间 （秒）的函数解析式为
，
由题意得： 解得
故 ．故D错误；
对于A，令 ，即 ，解得： ，故A正确；
对于B，令 ，代入 ，解得： ，故B正确；
对于C，令 ，代入 ，解得： ，故C正确．
故选：ABC
11. 已知正项等比数列 的前n项积为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式及其性质，逐项分析得出数列 的单调性，即可得出结论.
【详解】不妨设正项等比数列 的公比为 ，所以 ， ；
对于A，若 ，则 ，由等比数列性质可得 ，
所以可得 ，即A正确；
对于B，若 ，可得 ，又 ，所以 ；
所以 ，又 ，可得 ，
因此可得 ，即 ，所以B正确；
对于C，若 ，可得 ，又 ，因此 的大小无法判断，所以C错误；
对于D，若 ，可得 ，又 ，所以可得 ，即数列 为递减数列；
可得 ，即 ，所以D正确；
故选：ABD
12. 已知直线 与曲线 相交于 ， 两点，与曲线 相交于 ， 两点， ， ， 的
横坐标分别为 ， ， .则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，构造函数 ，求导得其最大值，即可得到 ，然后对
选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设 ，得 ，令 ，可得 ，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
则当 时， 有极大值，即最大值 .
设 ，得 ，令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
则当 时， 有极大值，即最大值 ，
从而可得 .由 ，得 ，故A正确；
由 ，得 ，即 ，
又 ，得 ，
又 在 上单调递增，则 ，故B错误；
由 ，得 ，即 .
又 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 在 上单调递减，则 ，故C正确；
由前面知 ， ，得 ，又由 ，
得 ， ，则 ， .故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ___________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列 的公差即可计算作答.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则有 ，解得 ，
所以 .
故答案为：5
14. 已知 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由已知
则 × ，当且仅当 时，取“=”则此时 ，由
于 ，解得 ， ,故答案为 ．
考点：1.基本不等式；2.方程组的解法.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知 ， 均为锐角， ， ，则 ______， ______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出 ，先确定 的范围，再求出 的正弦值即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
又因 ， 均为锐角，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ， ，
又因 ，所以 ，
则 ，
所以 .
故答案为： ； .
16. 已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，若点P
是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是 所在平面内一点， ，则下列说法中
正确的命题有______.（填序号）
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，则 ；
②若 在 方向上的投影向量为 ，则 的最小值为 ；
③若点P为BC的中点，则 ；
④若 ，则 为定值18.
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①，根据向量加法的运算法则及三角函数的诱导公式化简计算；对于②，易知当
时， 取得最小值，计算可得；对于③，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于④，
根据向量数量积运算律计算即可.
【详解】如图，设BC的中点为E，连接QE，
∵ ，由余弦定理可得：
，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，
对于①，∵ ，∴ ，∴ ，
又E为中点，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，故①正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于②，∵ 在 方向上的投影向量为 ，∴ ，
又Q是AC的中点，P在BC上，∴当 时，PQ最小，
此时 ，故②错误；
对于③，若点P为BC的中点，即P与E点重合，
∵ ，∴ ，
∴ ，故③正确；
对于④，∵ ，∴ 的平分线与BC垂直，
∴ 是以BC为底边的等腰三角形，∴ ，
又由①分析知 ，
∴根据向量数量积的几何意义知 ，
∴ ，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】关键点点睛：设BC的中点为E，连接QE，根据 ，得出 是解
决本题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）用向量 ， 表示 和 ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）在菱形 中，根据 是 的中点， ， ，结合向量的线性
运算可得答案；
（2）用 表示向量 ，然后分别求得 ，再由平面向量的夹角公式求解．
【小问1详解】
在菱形 中，E是CD的中点， ，则 ，
,
.
【小问2详解】
因为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司又 为菱形， ， ，
所以
，
， ，
， ，
所以 .
18. 如图，在平面四边形 中， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 后由余弦定理与两角和的正弦公式求解
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学科网（北京）股份有限公司（2）由余弦定理与面积公式求解
【小问1详解】
连接 ，在 中， ，
且 ， ，所以 ．
在中，由余弦定理得 ，
所以 ．
所以
【小问2详解】
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以四边形 的面积为
19. 已知数列 满足： ， ，数列 是以4为公差的等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）记数列 的前n项和为 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
根据题意可得 ；
当 时，
，
又 符合上式，所以 ；
【小问2详解】
，
.
20 已知向量 ， ， ，设函数
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）设 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积
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学科网（北京）股份有限公司为 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积公式及三角恒等变换得到 ，从而利用整体法求出函
数单调递增区间；
（2）在（1）基础上，求出 ，结合三角形面积公式求出 ，进而由余弦定理求出答案.
【小问1详解】
， ，
令 ， ，
解得 ， ，
的单调递增区间是 ，
【小问2详解】
由（1）知：
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学科网（北京）股份有限公司，
，即
，
，
，
，
，
的面积为 ，
，解得 ，
，
由余弦定理得
，
，
综上所述，结论是： .
21. 设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列.
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和，求 和 .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ；
（2） ， .
【解析】
【分析】（1）设出等比数列 的公比，利用等差中项列式求解即可.
（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解.
【小问1详解】
设 的公比为q，则 ，
由 ， ， 成等差数列，得 ，则有 ，解得 ，
所以 和 的通项公式是 ， .
【小问2详解】
由（1）知 ；
，
则 ，
两式相减得 ，
所以 .
22. 已知函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求函数 的极值.
【答案】（1）证明见解析
（2）极大值为 ，无极小值
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式与余弦函数的值域可证；
（2）分区间讨论导函数的符号是关键，其中提取 构造函数研究函数 的单调性比较大
小从而判断符号，得以研究函数 的单调性，则可求出函数 的极大值.
【小问1详解】
令 .
由基本不等式，得 ，当且仅当 时等号成立.
又 ，所以 ，
故 ；
【小问2详解】
，
当 时， ，则 ，
所以 ，
当 时， ，
设 ，由 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减.
由 且 ，
又 ，则 ，
当 时， ，
当 时， 且 .
又 ，则 .
综上， 在 上恒大于0，在 上恒小于0.
则 在 单调递增，在 单调递减，
因此 是 在 的唯一极大值点，且 的极大值为 ，
故 有极大值，极大值为 ，无极小值.
【点睛】同构函数是解决比较大小问题的一种方法，通过等价变形，比如移项、取对数、同乘以某个因式
等等，转化为 与 的复合函数形式，再利用复合函数的外层函数 单调性，去掉外函数，
转化为比较 与 的大小即可.如本题中
与 比较大小问题转化为 与 的同构同型比较大小.
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学科网（北京）股份有限公司
