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高三数学考试卷参考答案
!!#!!!$%"!&$%"’!$(%#虚部为(!
&!)!因为""##$#所以$’!#$’&或$’&$*&!当$’!时#&$*&’+#集合#中的元素满
足互异性#符合条件!当$’&时#&$*&’&#集合#的元素不满足互异性#不符合条件!当$’
&$*&时#$’&#&$*&’&#集合#的元素不满足互异性#不符合条件!
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(!,!若曲线 $ ’!表示双曲线#则!&*&"!-*&"%+#解得&&-或&%&!故$&&-%是
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$曲线 $ ’!表示双曲线%的充分不必要条件!
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解得*’*&!经检验#知当*’*&时#%’&是(!%"的极值点#则(!&"’.*-!
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"!3!如图#灯罩的轴截面为等腰梯形"#,-#其中. ! #. & 分别是灯罩 ! % ! "
上&下底面圆的圆心#.是灯罩外接球的球心#则"#’!+45#,-’
&-45#..’!045#设..’%45#则/&$%&’!&&$!!0*%"&#解得 %
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%’!&#则灯罩外接球的半径/’!(45#体积0’ -! /(’ 1011! 45(! $ % #
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0!3!设1!%#’"#由’1"’’&’1.’#可得槡%&$!’*("&’&槡%&$’&#整理得%&$!’$!"&’
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槡&&$!
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2!,3)!由图可知#&+!(年至&+&&年人均国内生产总值逐年递增#,正确!&+!(年至&+&&年
人均国内生产总值的极差为1/"21*-(-20’-&&+!#3正确!因为!+91+:’1#所以这!+年
0!1&1$1!(0+
的人均国内生产总值的1+:分位数是 ’0"/22##不正确!由图中数据分析可
&
知#这!+年的人均国内生产总值的平均数不小于/2/2&#)正确!
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时#&%* ’(!#故(!%"的图象关于点! #+"对称#3正确!(!%$ "’&?%;!&%$ "’
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&47?&%#所以将(!%"的图象向左平移 个单位长度#得到函数’’&47?&%的图象##正确!
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!&!,3)!对于,选项#在"#上取点5!图略"#使得"5’ "##在,-上取点6#使得-6’
-
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-,#则由"7’ "#$#"-#得"7*"5’#"-#即57’#"-#故7是线段56上一
- -
点!将平面56,# 沿56展开至与平面"56-共面#此时"#’"5$#5’(#当##
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--, --,
7#-三点共线时##7$7-取得最小值 槡!(#,正确!对于3选项#由"7’#"#$
!
--,
!!*#""-!+(#(!"#可知7是线段#-上一点!连接",并与#-交于点8!图略"!当7
与-重合时#平面7"- 与平面"--" 重合#不符合题意!当7在线段-8!不含点-"上
! ! !
时#平面7"- 截正方体"#,-*"#,- 所得截面为三角形#且当7与8重合时#截面
! ! ! ! !
面积最大#最大值为&槡(!当7在线段#8!不含点##8"上时#延长"7并与#,交于点9#
作9/."- 并与,, 交于点/!图略"#则截面为等腰梯形"9/-#设#9’%#则"9’
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-/’ 槡-$% /’槡&!&*%"!梯形"9/- 的高:’槡"9&* ! ’
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槡-$ %&#面积为 !"-$9/"+:’ %-槡&!当7与#重合时#截面为矩
& & ! &
形"#,-#面积为-槡&!故平面7"- 截正方体"#,-*"#,- 所得截面积的最大值
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--, !--, (
为-槡正确!对于#选项#因为"7’ "-#所以7为"- 的中
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点#三棱锥7*"#,的表面积为 9&9&$ 9&9槡&$ 9槡&9槡" %
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9&9槡/’&$槡&$槡($槡/##不正确!对于)选项#以"
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为坐标 ! ! $
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原点#建立如图所示的空间直角坐标系#则,!&#&#+"#-!+#&#&"#
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#!&#+#&"#7!+#&##&*&#"#则,-’!*&#+#&"##7’!*&#&##*&#"#47?,,-##7-’
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-- ! , --, ’ ’ !因为+(#(!#所以+( ( #所以直线
,
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- #7 -槡-#&$& 槡-#&$& 槡-#&$& &
,-与#7所成角的最小值为-/A#)正确!
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!(!!"!由题可知#男生&女生都有人被选中的选法共有#&#!$#!#&’!"种!
& - & -
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!-! 或!&+A!因为!!$""/!#所以!!$""+!’+#则!+"’*!&!47?,!#"-’ ’
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’* #则!与"的夹角为 !
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*(!%*-"’(!%*1"#故(!%"是以1为周期的函数#则(!&+&-"’(!+"!令%’&#则(!&"
$(!-*&"’&(!&"’1$$1’+#则$’*!#所以(!+"’*&+’*!#即(!&+&-"’*!!
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!"! !如图#由0";; 的面积是0#;; 面积的&倍#可得
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’";’’&’#;’#不妨设’";’’&%#’#;’’%#’;;’’ "
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故$’$>=*!’&9-=*!’&&=*!!……………………………………………………………/分
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!&"由!!"可知3’678$’&=*!#…………………………………………………………0分
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则.3/是以!为首项#&为公差的等差数列#………………………………………………1分
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故+’ ! = ’=&!……………………………………………………………………!+分
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!1!!!"证明’取"-的中点;#连接?;#7;##-#因为07"-是正三角形#所以7;/"-!…
………………………………………………………………………………………………!分
又平面7"-/平面"#,-#平面7"-"平面"#,-’"-#所以7;/平面"#,-!……
……………………………………………………………………………………………&分
因为",1平面"#,-#所以7;/",!……………………………………………………(分
因为?是"#的中点#所以?;.#-!又底面"#,-是菱形#所以#-/",#从而?;/",!
………………………………………………………………………………………………-分
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因为7?1平面7?;#所以",/7?!……………………………………………………"分
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!&"解’连接#;#因为2"#,’ #所以0"#-是正三角形#所以#;/"-!…………0分
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以;为坐标原点#;"#;##;7所在的直线分别为%轴&’轴&@轴#建立如图所示的空间直
角坐标系!
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令"#’&#则,!*&#槡(#+"#?! # #+"#7!+#+#槡("#
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则,?’! #* #+"#,7’!&#*槡(#槡("!………………………………………………1分
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设平面,?7的法向量为#’!%#’#@"#则3 & + & +
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令%’槡(#得#’!槡(#/#("!………………………………………………………………2分
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由题可知#$’!+#+#!"是平面",?的一个法向量!……………………………………!+分
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47?,##$-’ ’ ’ #……………………………………………………!!分
’#’’$’ 槡(0 (0
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由图可知#二面角"*,?*7为锐角#则二面角"*,?*7的余弦值为 !……!&分
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