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2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03
文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求.
1．已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C．（2，3] D．[-2，3）
【答案】C
【分析】根据阴影部分，可以表示为 在集合 下的补集，利用补集的运算性质即可.
【详解】因为 ，则 ,由韦恩图可知，阴影部分表示
.则 ，即 .
故选：C
2．复数 ,则 的虚部为
A． B．i C．-1 D．1
【答案】D
【解析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z，则答案可求．
【详解】依题意， ， ，复数 的虚部为1，
故选D.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3． 是空气质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值
在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二级，在 以上空气质量
为超标.如图是某地11月1日到10日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不正确的是
（ ）
A．这 天中有 天空气质量为一级 B．这 天中 日均值最高的是11月5日
C．从 日到 日， 日均值逐渐降低 D．这 天的 日均值的中位数是
【答案】D
【分析】由折线图逐一判断各选项即可.
【详解】由图易知：第3,8,9,10天空气质量为一级，故A正确，11月5日 日均值为82，显然最大，
故B正确，从 日到 日， 日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故C正确，中位数是
，所以D不正确，故选D.
【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.
4．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的诱导公式，即可求得答案.
【详解】
故选：B
5．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是
以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化
时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某
个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为 ，且当训练迭代轮数为 时，学习率为 ，
则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
【答案】C【分析】由已知可得 ，再由 ，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．
【详解】由题设可得 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为 次．
故选：C．
6．等差数列 中，已知 且公差 ，则其前 项的和 取得最小值时 的值为
A．9 B．8 C．7 D．10
【答案】A
【详解】∵ 且公差 ，
∴ ，从而 .
∴ ，
∴ .
∴当数列 前 项的和 取得最小值时 的值为9.选A．
7．已知函数 的部分图象如下所示，则 可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】结合图象的特点，分别结合选项排除，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为 ，函数的图象关于 轴对称，则函数为偶函数，
则选项C中，函数 的定义域为 不符合题意，排除C；
对于B中，函数 ，
则函数 为奇函数，不符合题意，排除B；对于A中，函数 恒成立，不存在负值，不符合题意，排除A；
对于D中，函数 ，则函数 为偶函数，且函数值可正、
可负，符合题意.
故选：D.
8．设命题 在 上单调递增，命题 ，则 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求导得： ，由已知可得： 在 上恒成立，即 ，由
，可知： ，问题得解.
【详解】由已知可得： ，
在 上单调递增，
即 在 上恒成立，
令
，当 时等号成立，
.
所以 是 成立的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了恒成立问题和基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题.
9．已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据 满足 ，从而得出 ，再根据 是奇函数，且当
时， ，从而得出 的值，即可得解．【详解】解：依题意， 满足即 ，
又 是定义域为 的奇函数， ，即 ，
因为当 时， ， ，
故
故选：
【点睛】考查奇函数的应用，以及函数求值的方法，属于基础题．
10．曲线 上的点到直线 的最短距离是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】求出曲线与已知直线平行的切线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】依题意，曲线 与直线 相离，
设曲线 在点 处的切线与直线 平行，
求导得 ，则 ，解得 ，有 ，切点坐标为 ，
因此切点 到直线 的距离为 ，
所以曲线 上的点到直线 的最短距离是 .
故选：B
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若
，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得 ，从而可得
答案．
【详解】如图，连接 ，设准线与 轴交点为抛物线 的焦点为 ，准线 ：
又抛物线的定义可得 ，又 ，所以 为等边三角形，
所以 ，
所以在 中， ，则 ，所以抛物线 的方程为 .
故选：A.
12．已知可导函数 的导函数为 ，若对任意的 ，都有 ，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构函数 ，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.
【详解】构造函数 ，则 ，
∴函数 在 上单调递减，∵ ，∴ ，
由 得 ，∴ ，
∵函数 在 上单调递减，∴ ，
故选：C.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 ，若 ，则 ______ .
【答案】
【分析】根据题意求得 ，结合向量的数量积的运算公式求得 的值，得到 的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
14．圆心在直线 上，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为________．
【答案】
【分析】设圆心坐标为 ，利用点到直线距离公式和两点距离公式求解即可.
【详解】设圆心坐标为 ，因为圆与直线 相切于点 ，
所以 ，可得： ，
解得 ，
所以所求圆的圆心为 ，半径 ，
所以所求圆的方程为 .
故答案为： .
15．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓
碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，并且球
的表面积也是圆柱表面积的 ”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 ，则该圆
柱的内切球体积为________.
【答案】
【分析】设圆柱的底面半径为 ，则其母线长为 ，由圆柱的表面积求出 ，代入圆柱的体积公式，求
出其体积，结合题目中的结论，即可求出该圆柱的内切球体积.
【详解】设圆柱底面半径为 ，则其母线长为 ，
因为圆柱的表面积为
所以 ，得到
所以圆柱的体积为 ，
根据题意可知圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ，
所以该圆柱的内切球的体积为 .
故答案为： .【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式，考查对题意的理解和转化，属于中档题.16．已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是
______．
【答案】
【分析】将零点问题转化为函数 的与 的交点个数问题，画出两函数的图象，利用导函
数求出当直线 与 相切时的 的值，数形结合求出实数 的取值范围.
【详解】作出函数 的与 图象如图：
当 时， ，则 ，
当 为 的切线时，即 ，解得 ，即切点为 ，
代入 得 ，
故当 时，函数 与 恰有三个交点，
故 恰有三个零点；
当 为 的切线时，即 ，解得 ，
即切点为 ，代入 得 ，
令当 过原点时， ，
所以由图象可知：当 时，满足函数 与 恰有三个交点，
故 恰有三个零点；
综上 的取值范围是 ．
故答案为：
三、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站
进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 ．
现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组 ，第2组 ，第3组，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求 ；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受
现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中
不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有 的把握认为是否关注民生与年龄有关？
附：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
， ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．
【解析】(1)根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，即可计算出频率分布直
方图中 的值；
(2)根据分层抽样的公式计算出第1组和第2组中的人数，列出从这5人中随机抽取2人的所有基本事件及
两人恰好属于不同组别的事件并求出相应的种数，再根据古典概型计算公式，即可求出这两人恰好属于不
同组别的概率；
(3)根据已知可求出200人中不关注民生问题的青少年有30人，然后列出 列联表，根据公式求 ，即
可得出结论．
【详解】(1)因为 ，
解得 ．
(2)由题意可知从第1组选取的人数为 人，设为 ， ，
从第2组选取的人数为 人，设为 ， ， ．
从这5人中随机抽取2人的所有情况有：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共10种．这两人恰好属于不同组别有 ， ， ， ， ， ，共6种．
所以所求的概率为 ．
(3)选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组： 人，
第2组： 人，
第3组： 人，
第4组： 人，
第5组： 人，
所以青少年组有 人，中老年组有 人，
因为参与调查者中关注此问题的约占 ，即有 人不关心民生问题，
所以选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人．
于是得 列联表：
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
所以 ，
所以没有 的把握认为是否关注民生与年龄有关．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算及独立性检验，同时考查基本计算和数据处
理能力．
18．在① ；② ；③ ，
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并对其进行求解．
在 中，内角 的对边分别为 ．已知________．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 边上高的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）选①：利用正弦定理角化边，整理可得 ，根据 的范围可得结果；
选②：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可求得 ，根据 的范围可得结果；选③：利用二倍角和辅助角公式化简 ，可得 ，根据 的范围可最终确定 的取
值；
（2）利用余弦定理和基本不等式可求得 面积的最大值，利用 可求得所求高的最大值.
【详解】（1）选①：由正弦定理得： ，整理得： ，
，又 ， .
选②：由正弦定理得： ，
即 ，
， ， ，
又 ， .
选③：
，
，
又 ， ， ，解得： .
（2）设 边上的高为 ，
由余弦定理得： ，
（当且仅当 时取等号）， ，
面积的最大值为 ，
又 ， ，即 边上的高的最大值为 .
【点睛】方法点睛：本题第二问考查解三角形中的最值问题，解题关键是能够将问题转化为三角形面积最
大值的求解，求解三角形面积最大值的常用方法是：在余弦定理中，利用基本不等式得到两边之积的最大
值.
19．如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，平面 平面 ， .（1）求证： ；
（2）若 ， ，求三棱锥 和三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）1,1
【分析】（1）连接 ，与 交于点 ，连接 易知 ， ，由线面垂直的判定定理可
得 平面 ，从而可证明 ；
（2）由面面垂直的性质可知， 平面 ，即 为三棱锥 的高，结合菱形、等边三角形
的性质，可求出 ，从而可求三棱锥 的体积；由 平面 ，可知点 到平面
的距离也为 ，由菱形的性质可知 ，从而可求出三棱锥 的体积.
【详解】（1）证明:如图，连接 ，与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ，
由四边形 是菱形可得 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ，即 为三棱锥 的高.
由 ，四边形 是菱形，且 ，
可得 与 都是边长为2的等边三角形，所以 ，
因为 的面积 ，故 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
故点 到平面 的距离也为 ，由四边形 是菱形得
因此 .【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直
的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥
的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.
20．已知椭圆C： 的离心率为 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当
直线l与x轴垂直时， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k 时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到
直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可得结果；
（2）根据题意分析可得x轴为直线PA与直线PB的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 .
（2）由（1）可得： ，
根据题意可设直线 ，
联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
可得 ，①
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则 ，
可得 ，
因为 ，可得 ，整理得 ，②将①代入②得： ，解得 ，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时 .
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
21．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 有两个零点 ，证明： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）将 代入后得 ，对其求导，利用导数与函数的单调性即可得解；
（2）由题意得 ，从而利用分析法将 变形为 ，构造函数
，利用导数证得 ，由此得证.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
则 ，
因为 ，则 ，所以 ，
当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）若函数 有两个零点，则 ，即 ，两式相减，可得 ，两式相加得 ，
要证 ，只要证 ，即证 ，即证 ，
只须证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则由 得 ，故须证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，即 成立，
故原不等式 成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化参数方程为直角坐标方程，然后将 代入整理即可.
（2）联立直线和（1）中的极坐标方程，结合韦达定理求解.
【详解】（1）由 可得 ，
将 代入可得， ，
整理可得 ，即为曲线 的极坐标方程.（2） 和 联立可得， ，
设 对应得极径分别为 ，根据韦达定理， ，
于是
23．已知 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
【分析】（1）由 可得 ，分类讨论 ， ， 三种情况，将原不
等式转化为不含绝对值的不等式求解即可；
（2）根据题意得到 ，从而得到关于 的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出
结果.
【详解】（1）由 可得 ，
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
当 时，原不等式可化为 ，显然不成立；
当 时，原不等式可化为 ，解得 ；
所以 的取值范围为 或 ；
（2）因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以由不等式 的解集为 ，可得 ，解得 ．
故实数 的取值范围是 ．公众号：高中试卷君
