文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知，则（ ）.
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.
【详解】由，得，
则，所以.
故选：C.
2．集合，集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用交集的意义求出即得.
【详解】集合，，则，
所以集合中元素的个数为3.
故选：B
3．已知等差数列的前n项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知得出，公差，然后返和(即)分类计算.
【详解】由题意知是等差数列的前n项和中的最小值，必有，公差，
若，此时，，是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，即，则；
若，，此时是等差数列的前n项和中的最小值，
此时，，即，
则，综上可得：的取值范围是，
故选:B．
4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设
有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点
都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式
A．540 B．660 C．980 D．1200
【答案】B
【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即和，分别求出其方法种数，即可得
出答案.
【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，
①，有；
②，有，
共有（种）.
故选：B.
5．设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简为，当时，得到.若函数在恰好有5个零点，只需函数在区间上恰有5条对称轴．结合正弦
函数的图象可建立，求解即可.
【详解】，
令，得，
因为函数在恰好有5个零点，
所以函数在上恰有5条对称轴．
当时，，
令 ，
则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．
故选：B．6．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由双曲线定义及，应用勾股定理列方程求得，进而求离心率.
【详解】中，中，
所以，，
又，则，又，
所以，令，则，，
而，由，则，，
可得，即 .
故选：D
7．已知函数，设，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再判断自变量的大小，即可根据函数的单调性，比较大小.
【详解】依题意，得的定义域为，函数为偶函数，且在上为增函数，
而，
因为，所以，即，
因为在上为增函数，且，所以，
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
8．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】先设切点写出切线方程，再求的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令的切点为，因为，
所以过切点的切线方程为，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时恒成立，此时单调递减，
当时恒成立，此时单调递增，
所以，所以，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
A． B．展开式中的常数项为
C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为
【答案】BC
【分析】先根据各项系数和结赋值法得判断A，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含的系数
及无理项系数之和判断BCD.
【详解】根据题意令，得的展开式中各项系数和为，则，A错误；
则，
又的展开式的通项为，，
所以展开式中的常数项为，B正确；
含的项为，其系数为160，C正确；
展开式中无理项的系数之和为，D错误.
故选：BC.
10．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，为棱的中点，分别在棱上，且满足取得最小值．记四棱锥、
三棱锥的体积分别为，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A,根据平面展开图可得线段最短时，即可根据锥体体积公式判断
BCD.
【详解】正三棱柱的体积为，由图可知，所以，所以A正确；
沿着侧棱将棱柱展开得到一个矩形，连接，
因为取得最小值，即线段，
由于四边形为边长为3的正方形，所以，因为为的中点，所以
，，
，所以B正确，C不正确，D正确．
故选:ABD．
11．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】ABC
【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，
过作于，
则由抛物线的定义可得，故A正确；
，则以PQ为直径的圆的半径，
线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立消去x，并整理得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．
故选：ABC．
12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰
勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；
对于C，由 ，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；
对于D，由，证明
即可.
【详解】对于A、B，由，
两边求导得，
，
，
又，
，
，故A正确，B错误；
对于C，已知，则.
因为 ，则，即成立，故C正确；
故C正确；
对于D，,，
，
当，；；；
，,
所以，所以成立，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：
应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征
进行适当的放缩，证明不等式成立.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量在向量上的投影向量为，则 ．
【答案】1
【分析】利用向量在向量上的投影向量计算公式建立方程，解出即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为，则，解得．
故答案为：
14．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球面
上，则该球的表面积是 ．
【答案】
【分析】根据题意，把鳌臑补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑的外接球，从而求出鳌臑的外接
球半径为，再利用球的体积公式即可求出结果．
【详解】把鳌臑补成一个长方体，如图所示：
则长方体的外接球即是鳌臑的外接球，
又，，
长方体的外接球半径，
鳌臑的外接球半径为，
则该球的表面积是，
故答案为：．
15．已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程 .
【答案】（答案不唯一，也满足）
【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由得，结合点线距离公式即
可求解判断.【详解】由题意得，半径，，
故在圆外，设O到直线的距离为d，
由得，即，
解得，
当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；
当直线l斜率存在时，设为，即，
则， 即，解得，故直线为.
故答案为：（答案不唯一，也满足）
16．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则 ．
【答案】6
【分析】根据为偶函数，可得，两边求导后可得，令，得，令，得；由，可得的周期为6，进而得，从而
可得答案.
【详解】因为为偶函数，所以，
两边同时求导得，即，
所以，即，
令，得，
令，得，又因为，所以，
由，所以，
所以的周期为6，则，
而，所以，
所以.
故答案为：6.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角的对
边分别为，且满足
(1)求角；
(2)若的外接圆周长为，求边上的中线长.
【答案】(1)所选条件见解析，；
(2).
【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角形面积公式、向量数量积定义、三角恒等变换化
简条件求角；（2）由已知易得为顶角为的等腰三角形，是中点，则，利用向量数量积的运算律求中线长度.
【详解】（1）选（1），则，
所以，而，则，
所以 ；
选（2），则，
所以，而，则；
选（3），则，，
所以，
所以，则，
而，则.
（2）由，则，故，，即，
结合（1）易知：为顶角为的等腰三角形，如下图，是中点，
的外接圆周长为，若外接圆半径为，则，
所以，而，
所以，
则 ，即求边上的中线长为.
18．若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推式关系再写一项做差，之后利用等比数列定义证明；
（2）先求出的表达式，之后进行裂项求和即可.
【详解】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
19．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递
首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，
在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．
(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
年龄
性别 总计
满50周岁 未满50周岁
男 15 45 60
女 5 35 40
总计 20 80 100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据小概率值的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；
(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看
足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
【答案】(1)全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）
(2)
【分析】（1）根据列联表中的数据，求得的值，结合附表，即可得到结论；
（2）设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，结合条件概率和全概率公式，即可求解.
【详解】（1）解：零假设为：：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），
根据列联表中的数据，计算得，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认定为成立，
全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）．（2）解：设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，
则，
所以这位火炬手是男性的概率约为．
20．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点．
(1)证明：；
(2)若点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由平面平面，得平面，得，
又因得平面，进而可证；
（2）由向量法先根据到平面的距离为，求出的坐标，再由向量法求平面与平面的夹角.
【详解】（1）
连接,
因为四边形为正方形，所以．
在直三棱柱中，平面平面，
由得，又平面平面，
所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，．
设为平面ABD的一个法向量，
则，即，得，令，则，
故，
由题意，，解得，
所以，．
设为平面BCD的一个法向量，
则，即，
令，则，，即，
平面ABC的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以，
所以平面和平面的夹角的正弦值为．
21．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或或【分析】（1）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为，由坐标运算即可
求解.
【详解】（1）由题知，，所以双曲线的渐近线方程为．
（2）双曲线的右焦点坐标为，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，
化简可得：，
设,则．
则
∴线段中点的坐标为，
直线方程为．
（i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得．
此时直线方程为．
（ii）当时，令可得，可得点的坐标为，
由于所以，
由，即，也即：．
化简可得，解出，
由于直线要交双曲线右支于两点，所以，即，故舍去．
可得直线的方程为．
综上：直线方程为或或．
22．已知函数.
(1)若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；
(2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求
解,
（2）将问题转化为没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理
即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
则在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即.
由得，即.
因为函数定义域为，所以方程有非零实数根，
当时，，符合题意，当时，则，即，且，
所以实数a的取值范围是.
（2）因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根，
所以当时，无实根，
因为，即是偶函数，所以在上无实根.
，
记则，.
①当时，，又，则，所以，满足在上无实根.
②当时，在上有实根，不合题意，舍去.
③当时，，所以在单调递增，
则，所以在上单调递增，
所以，满足在上无实根.
④当时，因为在单调递增，且，，
则存在唯一的，使，列表得
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以当时，，则在单调递减，则，
又因为，且在上连续，
所以在上有实根，不合题意.
综上可知，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
