文档内容
1.1 集合的概念
【本节明细表】
知识点、方法 题号
集合的概念 1,4,11
集合中元素的特性 3,12
元素与集合的关系 2, ,8,9
集合相等 6,14
列举法 7,10,13
描述法 5,10
集合表示法应用 15
基础巩固
1.①某班很聪明的同学;②方程x2-1=0的解集;③漂亮的花儿;④空气中密度大的气体.其中能组成集合
的是( )
A.② B.①③ C.②④ D.①②④
【答案】A
【解析】求解这类题目要从集合中元素的确定性、互异性出发.①③④不符合集合中元素的确定性.
2.下面有三个命题:
①集合N中最小的数是1;
②若-a N,则a∈N;
③若a∈∉N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】因为自然数集中最小的数是 0,而不是1,故①错;②中取a=√2,-√2 N,且√2∉N,故②错;对于
③中a=0,b=0时,a+b的最小值是0,故选A. ∉
3.已知集合A中只含1,a2两个元素,则实数a不能取( )
A.1 B.-1 C.-1和1 D.0
【答案】C
【解析】由集合元素的互异性知,a2≠1,即a≠±1.
4.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合B等于( )
A.{-4,4} B.{-4,0,4}
C.{-4,0} D.{0}
【答案】B
【解析】集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},∴集合B={-4,0,4},故选B.5.已知集合M={ a | 6 ∈N*,且a∈Z },则M等于( )
5-a
A.{2,3} B.{1,2,3,4}
C.{1,2,3,6} D.{-1,2,3,4}
【答案】D
【解析】因为集合M={
a
| 6
∈N*,且a∈Z
},所以5-a可能为1,2,3,6,
5-a
即a可能为4,3,2,-1.所以M={-1,2,3,4},故选D.
6.已知集合A含有两个元素1,2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解的集合,且集合A与集合B相等,则
a+b= .
【答案】-1
【解析】∵集合A与集合B相等,且1∈A,2∈A,
{1+2=-a, {a=-3,
∴1∈B,2∈B,∴1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根,∴ ∴ ∴a+b=-1.
1×2=b, b=2.
7.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为 .
【答案】{-1,4}
【解析】∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
8.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则集合A中的元素个数为 .
【答案】9
【解析】由已知可知x,y只有可能取-1,0,1,因此满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),
(1,-1),(1,0),(1,1),共9个.
9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;
(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1 ,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
10.选择适当的方法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合;
(4)三角形的全体组成的集合.
【答案】见解析
【解析】(1){x|x=5k+1,k∈N}.
(2){1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3){(x,y)|xy=0}.
(4){x|x是三角形}或{三角形}.
能力提升
11.定义一种关于*的运算:A*B={x|x=x +x ,其中x∈A,x∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中所有元
1 2 1 2
素之和为( )
A.9 B.14
C.18 D.21
【答案】B
【解析】当x=1时,x=1+1=2或x=1+2=3;
1
当x=2时,x=2+1=3或x=2+2=4;
1
当x=3时,x=3+1=4或x=3+2=5.
1
所以集合A*B={2,3,4,5},A*B中所有元素之和为2+3+4+5=14.故选B.
12.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的
元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是 .
【答案】8
【解析】a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.
1+a
13.已知集合M满足:当a∈M时, ∈M,当a=2时,用列举法表示集合M= .
1-a
【答案】{ 1 1}
2,-3,- ,
2 31+2 1-3 1 1
【解析】当a=2时,因为2∈M,所以 =-3∈M;因为-3∈M,所以 =- ∈M;因为- ∈M,所以
1-2 1+3 2 2
1 1
1- 1+
2 1 1 3 { 1 1}
= ∈M;因为 ∈M,所以 =2∈M,所以M= 2,-3,- , .
1 3 3 1 2 3
1+ 1-
2 3
14.已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,求集合B.
【答案】B={3-√2,3+√2}
【解析】由A={2},得方程x2+px+q=x有两个相等的实根,且x=2.
从而有{ 4+2p+q=2,
(p-1)2-4q=0,
{p=-3,
解得
q=4.
从而B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.
解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得x=3±√2.
故B={3-√2,3+√2}.
素养达成
15.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A是单元素集合,求a的取值范围;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
【答案】见解析
【解析】(1)若A是单元素集合,则方程ax2-3x+2=0有一个实数根,当a=0时,原方程为-3x+2=0,解得
2
x= ,满足题意.
3
当a≠0时,由题意知方程ax2-3x+2=0只有一个实数根,
9 9
所以Δ=(-3)2-4×a×2=0,解得a= .所以a的值为0或 .
8 8
(2)当A中恰有一个元素时,
2
若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x= ;
3
9
若a≠0,则令Δ=9-8a=0,解得a= ,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
8当A中有两个元素时,
9
则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a< ,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
8
9
综上,a≤ 时,A中至少有一个元素.
8
(3)当A中没有元素时,
9
则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a> ,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
8
当A中恰有一个元素时,
9
由(2)知,此时a=0或a= .
8
9
综上,a=0或a≥ 时,A中至多有一个元素.
8
