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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质（共2课时）
（第1课时）
一、选择题
1．【2018-2019学年银川一中】下列说法正确的是( )
A.某人月收入 不高于 元可表示为" "
B.小明的身高 ,小华的身高 ,则小明比小华矮表示为" "
C.某变量 至少是 可表示为" "
D.某变量 不超过 可表示为" "
【答案】C
【解析】对于 应满足 故 错;对于 应满足 ,故 不正确; 正确;
对于 与 的关系可表示为 ,故 错误.
2．【2018-2019正定一中期中】3.已知 ,记 , ,则 与 的大
小关系是( )
A. B.
C. D.不确定
【答案】B
【解析】由题意得 ,故 .故选B
3. 【2018-2019莆田二中期末】某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如
下估计：语文成绩 高于85分，数学成绩 不低于80分，用不等式组可以表示为
． ．
． ．【答案】A
【解析】 语文成绩 高于85分，数学成绩 不低于80分，
，故选： ．
4．【2018-2019湖南师大附中月考】有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄
分
别为 、 、 ，则下列选项中能反映 、 、 关系的是
． ．
． ．
【答案】C
【解析】 一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为 、 、 ，
， ， ．故选： ．
5. 【2018-2019六安中学月考】若 且 ,则 的值与 的大小关系
是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ,
∵ ,∴ , ,因此 .故 .
6．【2018-2019攀枝花市级联考】某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表
规定实施：
项目 计算方法基础工资
2016年1万元，以后每年逐增
住房补贴 按工龄计算：400元 工龄
医疗费 每年1600元固定不变
若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的 ，到2018年底这
位职工的工龄至少是
．2年 ．3年 ．4年 ．5年
【答案】C
【解析】设这位职工工龄至少为 年，则 ，
即 ，即 ，所以至少为4年．故选： ．
二、填空题
7．【2018-2019银川一中】若x∈R，则与的大小关系为________．
【答案】 ≤
【解析】∵－＝＝≤0，∴≤.
8.【2018-2019学年山东威海市期中】一辆汽车原来每天行驶 ，如果该汽车每天行驶的路程比
原来多 ，那么在8天内它的行程将超过 ，用不等式表示为 ．
【答案】
【解析】 汽车原来每天行驶 ，该汽车每天行驶的路程比原来多 ，
现在汽车行驶的路程为 ，
则8天内它的行程为 ，
若8天内它的行程将超过 ，
则满足 ； 故答案为： ；9．【2017-2018学年上海市金山中学】如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形
构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母
的不等式表示出来__________
【答案】
【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积
(2)的面积 ,所以有
10．【2018广西玉林高一联考】近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为
元/斤、 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每
周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在
横线上填甲或乙即可）
【答案】乙
【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为 ，
乙购买产品的平均单价为 ，由条件得 ．
∵ ，
∴ ，即乙的购买方式更优惠．
三、解答题11．【陕西省安康市高级中学检测】有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这
个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么
对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？
【答案】见解析；
【解析】 设这个公园原来的长方形布局的长为a,宽为b(a>b).若保持原面积不变，则规划后的正
方形布局的面积为ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b)，所以其边长为
a+b a+b a+b
2 2 2
,其面积为（ ）2.因为ab-（ ）2
(a+b) 2 4ab−(a+b) 2 (a−b) 2 a+b
= =− <0
4 4 4 2
=ab- (a>b),所以ab<（ ）2.故保持原周长不变的布
局方案可使公园的面积较大.
12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社
提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方
案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社
外出旅游合算?
【答案】见解析；
【解析】设该家庭除户主外,还有 人参加旅游, 甲、乙两旅行社收费总金额分别为 ,
—张全票的票价为 元,则只需按两家旅行社的优惠条件分别计算出 ,
再比较 的大小即可.
∵ ,
而 .
∴当 时. ;当 时, .
又 为正整数,所以当 时, ,即两口之家应选择乙旅行社;
当 时, ,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.2.1等式性质与不等式性质（第2课时）
一、选择题
1．（2019湖南高一期中）若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
a 5
=
【解析】由题意，因为 ，所以 sinA 2，即 ，
又因为 ，所以 ， 故选：A．2．（2019·福建高二期末）若 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 代入，排除A、B、D，故选：C。
3．（2019·哈尔滨市呼兰区第一中高一期中）设 ，则下列不等式恒成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以
当 时，A,B不成立，当 时，C不成立，综上选D.
4．（2019安徽郎溪中学高一期末）已知 为非零实数，且 ，则下列不等式成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，若 ，则 ，两边平方得到 ，故A不正确；
对于B，若 ，则 ， ，则 ，故B不正确；
对于C， ，由于 为非零数， ，则 ， ，故
，即 ，所以C正确。对于D，若 ，则 ， ， ，则 ，故D不正确；
5.（2019福建三明一中高一期中）已知实数 满足 且 ，则下列选项中不一定成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 且 ，故 ，所以 ，故A正确；
又 ，故 ，故B正确；
而 ，故 ，故C正确；
当 时， ，当 时，有 ，故 不一定成立，
综上，选D.
6（2019浙江绍兴一中高一月考）已知实数 ， 满足 ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ， ， ,
则
又 ，因此 ，故本题选B.
二、填空题1 1
7．【2019咸阳中学高一检测】已知不等式：①a2b0> ；③a30>b且
a b
a2>b2，则其中正确不等式的个数是_______；
【答案】2
【解析】因为a>0>b且a2>b2，所以a>|b|>0，①a2bb2，显然正确；②
1 1
>0> 显然正确；③a30,x+a>0,b-a<0,x>0,所以 所以 .
9．（2019·浙江绍兴一中高一月考）已知 , ,则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】 ，而 ，
根据不等式的性质可得 ，所以 的取值范围为 .
10．（2019·上海高一期末）已知 ，则 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，
即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]
三、解答题
11．（2019·福建高一期中已知下列三个不等式：c d
①ab>0；② > ；③bc>ad，
a b
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？
【答案】可组成3个正确命题．
c d bc-ad
【解析】（1）对②变形得 > ⇔ >0，
a b ab
由ab>0,bc>ad得②成立，即①③⇒②．
bc-ad
（2）若ab>0, >0，则bc>ad，即①②⇒③．
ab
bc-ad
（3）若bc>ad， >0，则ab>0，即②③⇒①．
ab
综上所述，可组成3个正确命题．
12．【沈阳市东北育才学校2018-2019高一】已知f(x)=ax2-c,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求f(3)
的取值范围.
【答案】[-1,20]
【解析】由题意得¿
解得¿
5 8
所以f (3)=9a-c=- f (1)+ f (2),
3 3
5 5 20
因为-4≤f (1)≤-1，所以 ≤- f (1)≤ ；
3 3 3
8 8 40
因为-1≤f (2)≤5，所以- ≤ f (2)≤ 。
3 3 3
两式相加得-1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[-1,20].
