专题02函数及其应用、指对幂函数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）_2024年3月_02按日期_16号

专题 02 函数及其应用、指对幂函数 易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及 解析式的求算） 已知函数的具体解析式求定义域的方法 法1：若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域 的交集. 法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变 量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可. 函数解析式的常见求法 法1：配凑法：已知 f(h(x))g(x)，求 f(x)的问题，往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子， 然后用x将h(x)代换. 法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数 f(x)可设 为 f(x)ax2 bxc(a0)，其中a,b,c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a,b,c即可. 法3：换元法：已知 f(h(x))g(x)，求 f(x)时，往往可设h(x)t，从中解出x，代入g(x)进行换元. 应用换元法时要注意新元的取值范围. 1 法4：解方程组法：已知 f x满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如 f   x (或 f(-x))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f x． 分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解 析式求值． 第二步：当出现 f f a的形式时，应从内到外依次求值． 第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。 结论：复合函数： 一般地，对于两个函数y f(u)和ug(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数 为函数y f(u)和ug(x)的复合函数，记作y f(g(x))，其中y f(u)叫做复合函数y f(g(x))的外层函 数，ug(x)叫做y f(g(x))的内层函数. 抽象函数的定义域的求法： (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数 f(g(x))的家义域由a„ g(x)„ b求出. (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b]，则 f(x)的定义域为g(x)在x[a,b]时的值域. 易错提醒：函数的概念 ①一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则 f ，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：x y f(x)， xA.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{y y f(x),xA}叫做值域，记为C. ②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射. ③函数表示法：函数书写方式为y f(x)，xD ④函数三要素：定义域、值域、对应法则. ⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： ①分式的分母不为零； ②偶次方根的被开方数大于或等于零： ③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零；   ⑤三角函数中的正切ytanx的定义域是x xR,且xkx ,kZ； 2 ⑥已知 f x的定义域求解 f gx的定义域，或已知 f gx的定义域求 f x的定义域，遵循两点：     ①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； ⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 基本初等函数的值域 ①ykxb(k 0)的值域是R. 4acb2 ② yax2 bxc(a0)的值域是：当 a0时，值域为 {y y }；当 a0时，值域为 4a 4acb2 {y y }． 4a k ③y (k 0)的值域是{y y0}. x ④yax (a0且a1)的值域是(0，). ⑤ylog x(a0且a1)的值域是R. a 分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决， 即分段函数问题，分段解决． 3x 例．函数 f x 的定义域为（ ） x1 A． ,3 B．1, C．1,3 D．,13,  x,0x1  2  变式1：设 f x ，若 f m f m1，则 f  （ ）  2x1,x1 m A．14 B．16 C．2 D．6     变式2：已知集合A x y  x 2 ,B y yx22x2 ，则AI B（ ） A．2,2 B．0, C．1,2 D．0,2  1 x 变式3：已知函数 f x    2   ,x1 ，则下列正确的是（ ）  f x1,x1 A． f f 0 1 B． f f 1 2 C． f f log 3 2 D． f x的值域为0,1 2 4 2 2 ex1 1．已知函数 f xln ，则 f   f 3  （ ） ex1 A．ln3 B．3 C．e3 D．e3ln3 2．给出下列4个函数，其中对于任意xR均成立的是（ ） A． f sin3xsinx B． f sin3xx3x2x C． f  x22   x2 D． f  x24x   x2 1x2 3．已知函数 f 1x x0，则 f x（ ） x2 1 1 A． 1x0 B． 1x1 x12 x12 4 4 C． 1x0 D． 1x1 x12 x12 4．已知函数 f x满足 f 2x f x1，则 f x可能是（ ）． A． f xx B． f xlog x 2 1,xQ C． f x2x D． f x 0,xQ 5．设集合A  x|4x213x0  ，B  y| y x23  ，则AI B（ ）  13  13 A．0,2 B．0,3 C．  2,  D．  3,   4   4  6．集合P  x x 2  ，Q  y y x2 1  ，则PI Q（ ） A．1,2 B． x1x2 C． x1x2 D． x1x2 易错点二：忽视单调性与单调区间的主次（函数的单调性与最值）1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 2.函数 f(x)在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 3.函数的单调定义中的x 、x 有三个特征：（1）任意性（2）有大小（3）属于同一个单调区间。 1 2 4.求函数的单调区间必须先求定义域。 5.判断函数单调性常用以下几种方法： 方法1：定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号→得出结论. 方法2：图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定 单调性. 方法3：导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间. 方法4：性质法：（1）对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及 f(x)g(x) 增减性质进行判断； 6.求函数最值（值域）的常用方法 方法1：单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 方法2：图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. 方法3：基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 方法4：导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 结论： 1.单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设x ，x 是 f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x x ； 1 2 1 2 ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： 结论1：若 f(x)是增函数，则f(x)为减函数；若 f(x)是减函数，则f(x)为增函数； 结论2：若 f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在 f(x)和g(x)的公共定义域上 f(x)g(x)为增（或减） 函数； 1 结论3：若 f(x)0且 f(x)为增函数，则函数 f(x) 为增函数， 为减函数； f(x) 1 结论4：若 f(x)0且 f(x)为减函数，则函数 f(x) 为减函数， 为增函数． f(x) 易错提醒：1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为A，区间D A： 如果对于D内的任意两个自变量的值x ，x 当x x 时，都有 f(x ) f(x )，符号一致那么就说 f(x) 1 2 1 2 1 2 在区间D上是增函数． 如果对于D内的任意两个自变量的值x ，x ，当x x 时，都有 f(x ) f(x )，符号相反那么就说 f(x) 1 2 1 2 1 2 在区间D上是减函数． ①属于定义域A内某个区间上； ②任意两个自变量x ，x 且x x ； 1 2 1 2 ③都有 f(x ) f(x )或 f(x ) f(x )； 1 2 1 2 ④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数 f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)在区间D上具有 单调性，D称为函数 f(x)的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增 （减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函 数. 2．函数的最值 前提：一般地，设函数y=f x的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件：（1）对于任意的xI，都有 f xM ；（2）存在x I ，使得 f x ＝M 结论M 为最大值 0 0 （1）对于任意的xI，都有 f xM ；（2）存在x I ，使得 f x ＝M 结论M 为最小值 0 0例．若函数 f xax2ax1a0且a1在区间1,上单调递增，则a的取值范围是（ ）  1 A．0,1 B．0,   2 C．1,2 D．2, f x  f x  变式1．下列函数中，满足“对任意的x,x (0,)，使得 1 2 0”成立的是（ ） 1 2 x x 1 2 1 A． f(x)x22x1 B． f(x) x C． f(x)x1 D． f(x)log (2x)1 x 2 变式2．若定义在,0U0,上的函数 f x同时满足：① f x为奇函数；②对任意的x,x 0,， 1 2 x f x x f x  且x  x ，都有 2 1 1 2 0，则称函数 f x具有性质P．已知函数 f x具有性质P，则不等式 1 2 x x 1 2 f  x24  f x2 的解集为（ ） x2 A．,1 B．3,2 C．,3U1,2 D．,32, f x  f x  变式3．定义在0,上的函数 f x满足：对x,x 0,，且x  x 都有 1 2 1，则不等式 1 2 1 2 x x 1 2 f 2log x f xlog x2x的解集为（ ） 2 2 A．1,2 B．2,4 C．4,8 D．8,16 1．已知函数 f x 2x2xsinx ，若对于一切的实数x，不等式 f  2kx2  f   3 kx  恒成立，则k的取值 2 8  范围为（ ） A．2,0 B．2,0 C．3,0 D．3,0 f m f n 2．已知函数 f x是定义在R上的奇函数，且对任意的0＜m＜n，都有 ＜0，且 f 40，则 mnf x2 f x2 不等式 ＞0的解集为（ ） x A．6,0 B．,62, C．,6U0,2 D．,6U2,0U2, 2x 3．已知函数 f xxlg ，且 f m f 2m10，则实数m的取值范围是（ ） 2x  1 1  A．,  B． ,  3 3  1 3  1 1 C． ,  D． ,  3 2  2 3 4．已知函数 f(x)的定义域为R， f x1的图象关于点(1,0)对称， f 30，且对任意的x,x ,0， 1 2 f x  f x  x  x ，满足 2 1 0，则不等式x1 f x10的解集为（ ） 1 2 x x 2 1 A．,12, B．4,10,1 C．4,11,2 D．4,12, 5．已知函数 f(x)x|x|，关于x的不等式 f  x21  4f(ax1)0在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） A．[0,2] B．[0,1] C．[2,2] D．[1,1] f x  f x  6． f x为定义在R上的偶函数，对任意的x x 0，都有 2 1 2，且 f 24，则不等式 2 1 x x 2 1 f x2 x 的解集为（ ） A．,22, B．2, C．0,2 D．,2 x1,xa 7．函数 f x ，其中a2，则满足 f x f x15的x取值范围是（ ） x33x29x5,xa  3  A．1, B． ,  2  C．   3,  D．0, exlnx11,x0 8．已知函数 f x   1 ，若 f  ex2   f  e2x 0，则实数x的取值范围为（ ） 1 ln1x,x0  exA．,0 B．0, C．ln2,0 D．,ln2 9．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识 到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值， 这也正是导数的几何意义．设 fx是函数 f x的导函数，若 f¢(x)>0，对x ，x 0, ，且x  x ， 1 2 1 2 f x  f x  x x  总有 1 2  f  1 2 ，则下列选项正确的是（ ） 2  2  A． f 2 f e f π B． fπ fe f2 C． f2 f 3 f 2 f3D． f3 f 3 f 2 f2 sin2x 10．设函数 f x ，则（ ） sinxcosx  π π A． f x的一个周期为π B． f x在 , 上单调递增  4 4 C． f x在   π , 3π 上有最大值 2 D． f x图象的一条对称轴为直线x π  4 4  4 4 11．已知函数 f xax31ax，则（ ） A．函数 f x为奇函数 1 1 B．当 f  1时，a 或1 a 2 C．若函数 f x有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为0,1  1  D．若函数 f x在区间1,1上的值域为1,1，则实数a的取值范围为  ,4    2  易错点三：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别（函数的奇偶性、 周期性、对称性） 1.奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数 f(x)是偶函数函数 f(x)的图象关于y轴对称； 函数 f(x)是奇函数函数 f(x)的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数y f(x)在x0处有意义，则有 f(0)0； 偶函数y f(x)必满足 f(x) f(|x|). (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的 两个区间上单调性相同. (5)若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则函数 f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记 1 1 g(x) [f(x) f(x)]，h(x) [f(x) f(x)]，则 f(x)g(x)h(x). 2 2 (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的 函数，如 f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)g(x). 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶. (7)复合函数y f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 ax 1 ax 1 奇函数：①函数 f(x)m( )(x0)或函数 f(x)m( )． ax 1 ax 1 ②函数 f(x)(ax ax)． xm 2m xm 2m ③函数 f(x)log log (1 )或函数 f(x)log log (1 ) a xm a xm a xm a xm ④函数 f(x)log ( x21x)或函数 f(x)log ( x21x)． a a 2m 2m 注意：关于①式，可以写成函数 f(x)m (x0)或函数 f(x)m (mR)． ax 1 ax 1 偶函数：①函数 f(x)(ax ax)． mx ②函数 f(x)log (amx 1) ． a 2 ③函数 f(|x|)类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧       结论1：若对于非零常数m和任意实数x，等式 f xm f x 恒成立，则 f x 是周期函数，且2m是 它的一个周期.         证明： f x2m  f xmm f xm  f x T 2m也可理解为：平移m个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的 距离为2m，T 2m 结论2：定义在R上的函数 f x，对任意的xR，若有 f xa f xb (其中a,b为常数，a b)， 则函数 f x是周期函数， ab 是函数的一个周期.         证明： f xaa  f xab  f x  f xba T  ba 口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究x前的正负. 结论 3：定义在 R上的函数 f x，对任意的 xR，若有 f xaf xb (其中a,b为常数， a b)，则函数 f x是周期函数，2 ab 是函数的一个周期. 证明： f xaf xb先向左平移a个单位得 f  xaa  f  xab   f  x  f  xba  令ba m  f  x  f  xm 如同结论1 1 1 结论4：定义在R上的函数 f x，对任意的xR，若有 f(xa) ，(或 f(xa) )(其中 f(x) f(x) a为常数，a  0)，则函数 f x是周期函数，2 a 是函数的一个周期. 1 1         证明： f xa  ， f x2a  f xaa   f x T 2a     f x f xa 结论5:定义在R上的函数 f x，对任意的xR，有 f  ax   f  ax  且 f  bx   f  bx  ，   (其中a,b是常数，a b)则函数y  f x 是周期函数，2ab 是函数的一个周期. 另一种题干出现的信息：①若y  f x的图象关于直线xa,xb都对称，则等价于 f  ax   f  ax  且 f  bx   f  bx  ，则y  f x为周期函数且T 2ab . ②若y  f x为偶函数且图象关于直线xa对称，则y  f x为周期函数且T 2a          证明： f ax  f ax 向左平移a个单位，得 f xaa  f a xa              f x  f 2ax ，同理 f x  f 2bx ， f 2ax  f 2bx 利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究x前的正负.秒出周期 结论6:若定义在R上的函数y  f x对任意实数xR，恒有 f  x   f  ax   f  xa  成立(a 0)，则f x是周期函数，且6a 是它的一个周期.             证明：由函数 f x  f ax  f xa  f xa  f x2a  f x              f x  f x2a  f x  f xa  f xa f x2a ，向右平移a个单位得           f x f x3a  f x3a3a f x3a  f x T 6a 口诀：内同号，外异号，内部只差需2倍，出现周期很easy. 1 f(x) 结论7:若对于非零常数m和任意实数x，等式 f(xm) 成立，则 f x是周期函数，且4m是 1 f(x) 它的一个周期. 1 f(x) 1 1 f(x) 1 f(xm) 1 f(x) 1 证明： f(xm)  f(x2m)   1 f(x) 1 f(xm) 1 f(x) f x 1 1 f(x) 1 1       f x2m  如同结论4， f x2m2m   f x T 4m     f x f x2m 1 f(x) 结论8:若对于非零常数m和任意实数x，等式 f(xm) 成立，则 f x是周期函数，且2m是 1 f(x) 它的一个周期. 1 f(x) 1 1 f(x) 1 f(xm) 1 f(x) 证明： f(xm)  f(x2m)   f x 1 f(x) 1 f(xm) 1 f(x) 1 1 f(x) T 2m 1 结论9:若对于非零常数m和任意实数x，等式 f(xm)1  f(x)0成立，则 f x是周期函数， f(x) 且3m是它的一个周期. 1 证明： f(xm)1  f(x)0得 f(x) 1 1 1 1 f(x3m)1 1    f x f(x2m) 1 f(xm)1 1 1 1 1 f(xm) f xT 3m 结论10:①若定义在R上的函数 y  f x的图象关于两点A  a,y  ,B  b,y  都对称，则 f x是周期函数， 0 0 且2ba 是它的一个周期. ②若奇函数y  f x的图象关于点A  a,0  对称，则 f x是周期函数，且2a 是它的一个周期.           证明：函数y  f x 满足 f ax  f ax 2y 且 f bx  f bx 2y ， 0 0           则 f x 2y  f 2ax 2y  f 2bx  f 2ax  f 2bx 0 0 利用口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究x前的正负.秒出周期 结论11:①若定义在R上的函数y  f x的图象关于点A  a,y  和直线xb都对称，则 f x是周期函数， 0 且4ba 是它的一个周期. ②若奇函数y  f x的图象关于直线xa对称，则 f x是周期函数，且4a 是它的一个周期.           证明：函数y  f x 满足 f ax  f ax 2y 且 f bx  f bx ， 0             则 f x 2y  f 2ax  f 2bx  f x 2y  f 2b2ax 2y  f 2ax 0 0 0          f 2bx 2y  f 2ax  f x 2y  f 2b2ax 0 0        f x 2y  f 2b2ax 2y  f 4b4ax 2y T 4ba 0 0 0 3.对称性技巧 （1）若函数y f(x)关于直线xa对称，则 f(ax) f(ax)． （2）若函数y f(x)关于点(a，b)对称，则 f(ax) f(ax)2b． （3）函数y f(ax)与y f(ax)关于y轴对称，函数y f(ax)与yf(ax)关于原点对称． 结论： 1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x|). 2.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若 f(xa)f(x)，则T 2a(a0).1 (2)若 f(xa) ，则T 2a(a0). f(x) 1 (3)若 f(xa) ，则T 2a(a0). f(x) 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y f(xa)是偶函数，则函数y f(x)的图象关于直线xa对称. (2)若对于R 上的任意x都有 f(2ax) f(x)或 f(x) f(2ax)，则y f(x)的图象关于直线xa对 称. (3)若函数y f(xb)是奇函数，则函数y f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 易错提醒：奇偶性的前提及两个函数与一个函数的区别 1．函数的奇偶性 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在 定义域内(即定义域关于原点对称)． 2．函数的对称性 (1)若函数y f(x＋a)为偶函数，则函数y f(x)关于xa对称． (2)若函数y f(x＋a)为奇函数，则函数y f(x)关于点(a，0)对称． (3)若 f(x) f(2ax)，则函数 f(x)关于xa对称． (4)若 f(x)＋f(2ax)2b，则函数 f(x)关于点(a，b)对称． 例 ．设函数 f x的定义域为R，且 f x1是奇函数， f 2x3是偶函数，则（ ） A． f 00 B． f 40 C． f 50 D． f 20 变式1．已知函数 f x是定义域为R的偶函数， f 2x11是奇函数，则下列结论不正确的是（ ） A． f 11 B． f 00 C． f x是以4为周期的函数 D． f x的图象关于x6对称 1 变式2．已知函数y f(x)x (x1)，下列结论中：①当x1时， f(x)的最小值为3；②函数 x1 y f(x1)1是奇函数；③函数y f(x)的图象关于点(1,1)对称 ；④y10是y f(x)图象的一条切线，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．已知定义域为R的函数 f x满足 f xf x， f 1x f 1x，当x0,1时， f x2log x1，则 f 2023的值为（ ） 2 A．2 B．1 C．1 D．2 1．已知函数 f x的定义域为R， f xf x, f 1x f 1x，当x1,2时， f xxlnx1，则 f 2025的值为（ ） A．2 B．1 C．1 D．2 π 2．定义在R上的奇函数 f x满足 f x1是偶函数，当x0,1时， f x2sin x，则 f 2024（ ） 2 A．2 B．1 C．0 D．2 3．已知函数 f(x)与g(x)的定义域均为R， f(x1)g(x2)3， f(x1)g(x)1，且g(1)2，g(x1) 为偶函数，下列结论正确的是（ ） A． f(x)的周期为4 B．g(3)1 2024 2024 C． f(k)4048 D．g(k)2024 k1 k1 4．已知函数 f(x)和其导函数g(x)的定义域都是R，若 f(x)x与g(2x1)均为偶函数，则（ ） A． f(0)0 f(x) B． 关于点(0,1)对称 x C．g(2023)1 D．(g(1)1)(g(2)1)(g(2)1)(g(3)1)L (g(2023)1)(g(2024)1)0 5．已知非常数函数 f x及其导函数 fx的定义域均为R，若 f 2x为奇函数， f 2x4为偶函数，则 （ ） A． f 21 B． f 2024f 2020 C． f1 f7 D． f2021 f2025 6．已知函数 f(x)的定义域为R，并且对xR，都有 f(x) f(x2)f(2x)，则下列说法正确的是（ ） A．y f(x)的图象关于x1对称 B．函数 f(x)为偶函数 2024 C． f(k)0 k1 D．若x(0,1)时， f(x)log (x1)，则x(3,4)时， f(x)log (5x) 2 2 7．已知函数 f x的定义域为R，函数 f x的图象关于点1,0对称，且满足 f x3 f 1x ，则下列结 论正确的是（ ） A．函数 f x1是奇函数 B．函数 f x的图象关于y轴对称 C．函数 f x是最小正周期为2的周期函数 2024 D．若函数gx满足gx f x32，则gk4048 k1 8．已知定义在R上的偶函数满足 f x2 f x2，且当x0,2时， f x是减函数，则下列四个命题 中正确的是（ ） A．T 4 B．直线x2为函数y f x图象的一条对称轴 C．函数 f x在区间2,9上存在3个零点 D．若 f xm在区间4,0上的根为x,x ，则x x 2 1 2 1 2 易错点四： 遗漏幂函数的特征及二次函数弦长公式（幂函数与二次函数） 1、根据图象高低判断幂指数大小的方法 幂函数的幂指数的大小，大都可通过幂函数的图象与直线xa(a1)的交点纵坐标的大小反映.一般地，在 区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1,)上，幂函数 中指数越大，图象越远离x轴(不包括幂函数y  x0 ，在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低")，在区间(1,)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 2、对于函数 f(x)ax2 bxc，若是二次函数，就隐含a 0，当题目未说明是二次函数时，就要分a 0 和a 0两种情况讨论.在二次函数y ax2 bxc(a 0)中，a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小 决定开口大小)c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置). 3、根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数 在某区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调，则对称轴在该区间内（非端 点）， 4、二次函数在闭区间上的最值 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比 较大小，最后确定最值. 结论： 1.幂函数yxa(aR)在第一象限内图象的画法如下： ①当a0时，其图象可类似yx1画出； 1 ②当0a1时，其图象可类似 画出； yx2 ③当a1时，其图象可类似yx2画出． 2．实系数一元二次方程ax2 bxc0(a0)的实根符号与系数之间的关系  b24ac0 （1）方程有两个不等正根x ,x   1 2  b x x  0 1 2 a   c xx  0   1 2 a  b24ac0  （2）方程有两个不等负根x ,x   b 1 2 x x  0 1 2 a   c xx  0   1 2 a c （3）方程有一正根和一负根，设两根为x ,x  x x  0 1 2 1 2 a 3.一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑：b （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 2a 设x ,x 为实系数方程ax2 bxc0(a0)的两根，则一元二次ax2 bxc0(a0)的根的分布 1 2 与其限定条件如下所示. ①m x  x ， 1 2 0  限定条件 b  m 2a  f(m)0  ②x m x 1 2 限定条件 f(m)0 x  x m ③ 1 2 0  限定条件 b  m 2a  f(m)0  在区间(m,n)内没有实根y m n x O 限定条件0 y O m n x 0 限定条件x  x m 1 2 或x  x m 1 2 y O m n x 0   b 限定条件 m 2a  f(m)0  y O m n x 0   b 限定条件 n 2a  f(n)0 y m n O x f(m)0 限定条件 f(n)0 在区间(m,n)内有且只有一个实根 y n m O x f(m)0 限定条件 f(n)0 y m n x O f(m)0 限定条件 f(n)0 在区间(m,n)内有两个不等实根 y m n x O0  b  m n 限定条件 2a f(m)0  f(n)0 4.有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间 和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对 称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴 穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值 正负. 易错提醒：幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①xa的系数为1； ②xa的底数是自变量； ③指数为常数. 掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种） （1）一般式： f(x)ax2 bxc(a0)； （2）顶点式： f(x)a(xm)2 n(a 0)；其中，(m,n)为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程. （3）两点式： f(x)a(xx )(xx )(a0)，其中，x ,x 是抛物线与x轴交点的横坐标. 1 2 1 2 与x轴相交的弦长 当b2 4ac0时，二次函数 f(x)ax2 bxc(a0)的图像与x轴有两个交点M (x ,0)和 1 1  M (x ,0)，|M M ||x x | (x x )2 4x x  . 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 |a| 例 1若函数 f xax2ax1a0且a1在区间1,上单调递增，则a的取值范围是（ ）  1 A．0,1 B．0,   2 C．1,2 D．2, 变式1．若函数 f xx22a4x2在,3上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A．a7 B．a7 C．a3 D．a7 a x2ax ,(x1) 变式2．已知函数 f(x) 4 ，若y f x在,上单调递增，则实数a的取值范围是  ax,(x1) （ ） A．2,4 B．2,4 C．2, D．2, 变式3．已知 f x,gx是定义域为R的函数，且 f x是奇函数，gx是偶函数，满足 gx gx  f xgxax2x2，若对任意的1x x 2，都有 1 2 3成立，则实数a的取值范围是 1 2 x x 1 2 （ ）  3  3  A．,  U0, B．   ,  4  4   1   1  C．   , D．   ,0  2   2  x24x,x0 1．已知函数 f x ，若 f  2a2  f a，则实数a的取值范围是（ ）  x24x,x0 A．,1U2, B．(-1,2) C．2,1 D．,2U1, 2．若幂函数 f(x)  2m23m1  xm在(0,)上单调递减，则m（ ） 1 1 A．2 B． C． D．-2 2 2 3．已知函数 f xx3a2x22xb在2c1,c3上为奇函数，则不等式 f(2x1) f abc0的 解集满足（ ）  5  A．2,4 B．3,5 C． ,2  D．2,2  2  4．已知 f(x)为奇函数，当0x2时， f(x)2xx2，当x2时， f(x) x3 1，则（ ） A．f   26   f  20.3  f  30.3 B． f  20.3  f  30.3 f   26  C．f   26   f  30.3  f  20.3 D． f  30.3  f  20.3 f   26 5．已知ax2bxc0的解集是2,3，则下列说法正确的是（ ）  1 1 A．不等式cx2bxa0的解集是 ,   2 3 12 8 B． b的最小值是 3b4 3 b4 C．若m2m 有解，则m的取值范围是m1或m>2 b3 D．当c2时， f x3ax26bx，xn,n 的值域是3,1，则n n 的取值范围是2,4 1 2 2 1  3x1,x1 6．已知函数 f(x) ，函数g(x) f(x)a，则下列结论正确的是（ ） 4x216x13,x1 A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1,2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是0,1 C．若g(x)有4个不同的零点x,x ,x ,x x x x x ，则x x 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 13 7 D．若g(x)有4个不同的零点x,x ,x ,x x x x x ，则x x 的取值范围是 ,  1 2 3 4 1 2 3 4 3 4  4 2 x2xa,xa, 7．已知函数 f x (即 fxx2 xa ，xR)则（ ） x2xa,xa 1  A．当a0时， f x是偶函数 B． f x在区间 ,上是增函数 2  1 C．设 f x最小值为N ，则N  D．方程 f x1可能有2个解 4 x22ax9,x1  8．已知函数 f(x) 4 ，若 f(x)的最小值为 f(1)，则实数a的值可以是（ ） x a,x1  x A．1 B．2 C．3 D．4 9．设a0，函数ye ax2x1的图象可能是（ ） A． B．C． D． 10．关于x的方程  x22x 2 2  2xx2 k 0，下列命题正确的有（ ） A．存在实数k，使得方程无实根 B．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 C．存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根 D．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 易错点五： 根式奇偶讨论（指对数函数考点） 指数 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数 幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换 而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函 数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小； 6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性 转化为一般不等式求解； 7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。对数： 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后 正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、 商、幂再运算.| 3.ab N blog N(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. a 4.识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a1时，是增函数；当0a1时，是减函数.注意对 数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线. 5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 6.比较对数值的大小 (1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 (2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 (3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 解决对数函数的综合应用有以下三个步骤: 第一步：求出函数的定义域； 第二步：判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其 单调性，就必须对底数进行分类讨论； 第三步：判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 结论：  1 1.画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),1,   a 2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大. 3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域 形如yaf(x)的函数的定义域就是 f(x)的定义域. 求形如yaf(x)的函数的值域，应先求出 f(x)的值域，再由单调性求出yaf(x)的值域.若a的范围不确定， 则需对a进行讨论.求形如y f  ax的函数的值域，要先求出uax的值域，再结合y f(u)的性质确定出y f  ax的值域. (2)判断复合函数y f  ax的单调性 令u f(x),x[m,n]，如果复合的两个函数yau与u f(x)的单调性相同，那么复合后的函数yaf(x)在 [m,n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数yaf(x)在[m,n]上是减函数. 换底公式的两个重要结论 1 n (1)log b ;(2)log mbn  log b.其中a0，且a1,b0，且b1,m,nR. a log a a m a b 1  对数函数ylog x(a0，且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1), ,1 ，函数图象只在第一、四象限. a a  易错提醒：根式的性质：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数. 例 ．设函数y f x的定义域为R，其图象关于直线x2对称，且 f x2 f x2 .当x0,2时， 1 x f x  x，则下列结论正确的是（ ） 3 A． f x为偶函数 B． f 20234 C． f x的图象关于直线x2对称 D． f x在区间2,0上单调递减 变式1、设偶函数 f xlog xb 在,0上单调递增，则下列结论中正确的是（ ） a A． f a2 f b2 B． f a2 f b2 C． f a1 f b2 D． f a1 f b2  41 变式2、已知函数 f xlgx2x ，则（ ）  4  A． f x的最小值为1 B．xR， f 1 f x2 2  1  1 C． f log 2 f   D． f 90.1  f 30.18  9 3  2  2 变式3、已知a3a b5b 3，则下列不等关系正确的是（ ） A．0ab1 B．0ba1 C．b3a a5b D．blnaalnb1．下列说法正确的是（ ） A．函数yax22xa0,a1的图像恒过定点A2,5 B．“1x5”的必要不充分条件是“1x6” C．函数 f x1f x1的最小正周期为2 1 D．函数y 2x2 的最小值为2 2x2 x21 2．某数学课外兴趣小组对函数 f xlg x0,xR的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正 x 确的命题有（ ） A．函数 f x的图象关于y轴对称 B．当x0时， f x是增函数，当x0时， f x是减函数 C．函数 f x的最小值是lg2 D．函数 f x与x2有四个交点 3．给出下列说法，错误的有（ ） k3x A．若函数 f x 在定义域上为奇函数，则k1 1k3x B．已知 f xlg  x22xa  的值域为R，则a的取值范围是a 1 C．已知函数 f 2x1的定义域为1,1，则函数 f x的定义域为1,3 D．已知函数 f x1log x,x1,9，则函数y f2x f  x2 的值域为2,14 3 4．给出下列说法，错误的有（ ） k3x A．若函数 f x 在定义域上为奇函数，则k1 1k3x B．已知 f xlg  x22xa  的值域为R，则a的取值范围是a 1 C．已知函数 f x满足 f x1 f x1，且 f15，则 f 35 D．已知函数 f x1log x,x1,9，则函数y f2x f  x2 的值域为2,14 35．已知定义域为R的函数 f x满足 f x1f x1， f x的部分解析式为 2x2x1,0x1  f x  7 ，则下列说法正确的是（ ）   log 1   2x 4   ,x1 2  1 1 A．函数 f x在  , 上单调递减    4 4  1 B．若函数 f x在0,n内满足 f x1恒成立，则n0,   2 C．存在实数k，使得y f x的图象与直线ykx有7个交点 1 D．已知方程 f xmm0的解为x,x ,x ,x ，则x x x x  1 2 3 4 1 2 3 4 4 6．下列选项正确的是（ ） 1 A．2x1x 4 B．若正实数a，b满足ab1，则log alog b2 2 2 2 C．sin2 的最小值为2 2 sin2 4 1 D．已知正实数a、b，若a 1，则 b的最小值为9 b a  b1 7．已知函数 f x lgx1，实数a，bab满足 f a f  ， f 10a6b214lg2，则（ ）  b2 A．a1b2 B．a1b21 2 C．a D．b=-1 5 8．已知函数 f xln  x2xm mR，则（ ） 1 A．当m 时， f x的定义域为R 4 B． f x一定存在最小值 1 C． f x的图象关于直线x 对称 2 D．当m1时， f x的值域为R