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2024届新高考二轮复习第十讲：直线与圆的方程
6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线
C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【详解】设 ，由 ，则 ，
由 在直线 上，故 ，
化简得 ，即 的轨迹为 为直线且与直线 平行，
上的点到 的距离 ，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：直线的方程
【典例例题】
例1.（2024春新高考）已知直线 和以 ， 为端点的线段相交，则实数k的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知直线 恒过定点 ，根据斜率公式结合图象分析求解.
【详解】因为直线 恒过定点 ，如图.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
又因为 ， ，所以直线的斜率k的范围为 .
故选：C.
【变式训练】
1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）直线 关于直线 对称的直线方
程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.（2024春·广东·校联考一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，得 ，代入曲线 ，
所以 的最小值即为点 到直线 的距离 .
故选：B.
3.（2024春·陕西西安）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交
河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
．若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将军饮马”的
最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设点 关于直线 的对称点为 ， 与直线交于 ，且设饮马处为
，
由轴对称性质得， ， ，
解得 ， ，故 ，
即 与 重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为 .
故选：C
4.（2024·四川成都）在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ，点 关于直线 的对
称点为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设点 ，因为 ， 关于直线 对称，
所以 ，可得： .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 ， ，所以 .
当 时， ；
当 时， ，此时 ，所以 .
当 时， ，此时 ，
所以 ，故 .
综上所述： ，故 的最大值为 .
故选：D.
题型二：圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·广东省潮州市）（多选）设过点 的直线与圆 相交于A，B两点，
若点 ，则 的值可能为（ ）
A. 8 B. C. 12 D.
【答案】ABC
【解析】
【详解】由题意知， ，圆 的半径为4，设 的中点 ，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
即点D 的轨迹方程为 ，圆心 ，半径为1，
所以 的最大值为 ，最小值为 .
因为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 .
故 的值可能为8， ，12，不可能为 .
故选:ABC.
【变式训练】
1.（2024春·山东济南）已知 是圆 上的动点，点 满足 ，点 ，则 的最
大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【详解】设 ， ，
由 ，得 ， ，
因为点 在圆 上，即 ，
则 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，3为半径的圆，
因为 ， ，所以点 在圆外，
所以 的最大值为 .
故选：C
2.（2024春·广东省）动点 与两个定点 ， 满足 ，则点 到直线 ：
的距离的最大值为______.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】
3.（2024春·重庆）在同一直角坐标平面内，已知点 ，点P满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
，所以 的最小值为 .
故选：A
4.（2024春·北京海淀）已知 是圆 ： 的直径， 、 是圆 上两点，且 ，则
的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，不妨设弦 的中点为 ，因为 ，则 为等边三角形，所以可得
，
则 ，设 与 的夹角为 ，
所以 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型三：直线与圆的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）（多选）如图， 是连接河岸 与 的一座古桥，因保护古迹与发展的需
要，现规划建一座新桥 ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥 与河岸 垂直；
②保护区的边界为一个圆，该圆与 相切，且圆心 在线段 上；
③古桥两端 和 到该圆上任意一点的距离均不少于 .
经测量，点 分别位于点 正北方向 ､正东方向 处， .根据图中所给的平面直角
坐标系，下列结论中，正确的是（ ）
A．新桥 的长为
B．圆心 可以在点 处
C．圆心 到点 的距离至多为
D．当 长为 时，圆形保护区的面积最大
【答案】AC
【详解】如图，以 为 轴建立直角坐标系，则 ， ，
依题意，直线 的斜率 ，直线 方程为： ，
直线 的斜率 ，则直线 方程为 ，
由 ，解得 ，即 ， ，A正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设 ，即 ，直线 的一般方程为 ，
圆 的半径为 ，显然 ，由 ，得 ，
则 ，解得 ，即 长的范围是 ，B错误，C正确；
当 ，即 长为 时，圆 的半径 最大，圆形保护区的面积最大，D错误.
故选：AC
【变式训练】
1.（2024春·广东省深圳市）过圆 上一点A作圆 的切线，切点为B，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设圆 与圆 的圆心分别为O，C，则 ，当 最
小时， 最小，由于点A在圆O上，则 的最小值为 ，所以 的最小值为
.
故选：B.
2.（2024春·河北衡水） 是直线 上的一动点，过 作圆 的两
条切线，切点分别为 ，则四边形 面积的最小值为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
点 到直线 的距离 ，显然 ，
由于 切圆 于点 ，则 ，
四边形 的面积 ，
当且仅当直线 垂直于直线 时取等号，
所以四边形 面积的最小值为 .
故选：B
3.（2024春·江西南昌）直线 与圆 交于A，B两点，则 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题易知直线 恒过 ，
圆 化为标准方程得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
即圆心为 ，半径 ，
圆心到 距离 ，
所以 在圆 内，
则直线 与圆 交点弦 最大值为直径即8，
最小时即为圆心到直线距离最大，
即 时，此时 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D
3.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）在直角坐标系 内，圆 ，若直线
绕原点 顺时针旋转 后与圆 存在公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】连接 ，设 （即以 轴正方向为始边， 为终边的角），
由题意对于直线 上任意一点 ，存在 ，使得 ，
则 直 线 绕 原 点 顺 时 针 旋 转 后 ， 点 对 应 点 为更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，即 ，
因为 在直线 上，所以满足
设 ，所以 ，
即 所在直线方程为 ，
而圆 的圆心，半径分别为 ，
若直线 绕原点 顺时针旋转 后与圆 存在公共点，
所以圆心 到直线 的距离 ，解得 .
故选：A.
4.（2024春·湖北十堰）已知点 ， ，动点 在圆 ： 上，则（ ）
A．直线 截圆 所得的弦长为
B． 的面积的最大值为15
C．满足到直线 的距离为 的 点位置共有3个
D． 的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，因为 ， ，所以直线 的方程为 ，圆心 到直线 的
距离为 ，又因为圆 的半径 ，
所以直线 截圆 所得的弦长为 ，A错误．
对于B，易知 ，要想 的面积最大，只需点 到直线 的距离最大，而点 到直线 的距
离的最大值为 ，
所以 的面积的最大值为 ，B正确．
对于C，当点 在直线 上方时，点 到直线 的距离的范围是 ，即 ，由对称性可知，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
此时满足到直线 的距离为 的 点位置有2个．
当点 在直线 下方时，点 到直线 的距离的范围是 ，即 ，此时满足到直线 的
距离为 的 点位置只有1个．
综上所述，满足到直线 的距离为 的 点位置共有3个，C正确．
对于D，由题意知 ．
又因为 ， ， ，所以 ， ，
故 ， ．
设点 满足 ，
则 ，故 解得 即 ， ．
所 以
．
又因为 ，
所以 ，即 的取值范围为 ， ，D正确．
故选：BCD
题型四：圆与圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）（多选）已知圆 ，圆更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
分别是圆 与圆 上的点，则（ ）
A.若圆 与圆 无公共点，则
B.当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当 时，则 斜率的最大值为
D.当 时，过 点作圆 两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
【答案】
【解析】解：当两圆内含时， 可以无穷大所以 不正确；当 时两圆相交，两圆的方程作差可以公
共弦的直线方程 为正确选项；当 时如图一， 和 为两条内公切线，有半径比可知 ，
可得 选项正确对于D
选项，点P在 位置时
点 在 位置时
所以中间必然有位置使得 故选
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1.（2024春·湖南衡阳）（多选）已知圆 ： ，圆 ： ，P，Q分别是 ，
上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时，四边形 的面积可能为7
B. 当 时，四边形 的面积可能为8
C. 当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为
D. 当直线PQ与 和 都相切时， 的长可能为4
【答案】ACD
【解析】
【详解】圆 ： 的圆心 ，半径 ；
圆 ： 的圆心 ，半径 ；
可知 ，可知两圆外离，
对于选项AB：设 ，
因为 ，可知梯形 的高为 ，
所以四边形 的面积为 ，
可知四边形 的面积可能为7，不可能为8，故A正确，B错误；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对于选项CD：设直线 与x轴的交点为 ，根据对称性可知：
如图，因为 ，可知 ，
则 ，可知 ，
所以 ；
如图，因为 ，可知 ，
则 ，可知 ，
所以 ；
故CD正确；
故选：ACD.
2．（2024春·黑龙江哈尔滨）已知圆 ，圆 ，直线 ．若直线
与圆 交于 两点，与圆 交于 两点， 分别为 的中点，则 ．
【答案】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】设圆 的半径为 ，由题可得： ，
故 ，满足 ，故两圆相交，
连接 ，过 作 ，垂足为 ，如下图所示：
由点到直线的距离公式可得 ， ，
则 ，又 ，
在直角三角形 中，
由勾股定理可得 .
故答案为： .
3.（2024春·云南昆明）一动圆圆E与圆 外切，同时与圆 内切．
求动圆圆心E的轨迹方程；
【答案】
【详解】设动圆E圆心坐标 ，半径为 ，由题意可知， ， ，
当 与 相外切时，有 ；①
当 与 相内切时，有 ．②
将①②两式的两边分别相加，得 ，所以 的轨迹为椭圆，
所以 ，所以 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
一、单项选择
1.（2024春·山东聊城）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定
的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学
模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：
若点 是曲线 上任意一点，则 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数 ，可得 ，令 ，可得 ，
因为 ，可得 ，则 ，
即平行于直线 且与曲线 相切的切点坐标为 ，
由点到直线的距离公式，可得点 到直线 的距离为 .
故选：B
2．（2024春·山西运城）直线 与直线 相交于点 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】直线 的方程可化为 ，由 可得 ，
对于直线 ，由 可得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以，直线 过定点 ，直线 过定点 ，
又因为 ，则 ，即 ，
则 ， ，
所以， ，所以， ，
当 ， ，点 不在直线 上，
所以，点 的轨迹是曲线 ，
设 可得 ，
由题意可知，直线 与曲线 有公共点，
且圆 的圆心为原点，半径为 ，所以， ，解得 ，
当 ， 时， ；当 ， 时， .
因此， 的取值范围是 .
故选：B.
3．（2024春·云南昆明）已知线段 是圆 的一条动弦，且 ，若点P为直线
上的任意一点，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
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【详解】
解析：取 中点为 ，连接 ， ，
因为 是圆 的一条动弦，且 ，
所以 ，
又 ， ，即 ，
因此 取最小值，即是 取最小值，所以只需 取最小，
又点 为直线 上的任意一点，
所以原点 到直线 的距离即是 的最小值，
即 ，即 .
故选：D.
4．（2024春·江西）已知复数 .且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由复数 满足 ，即为 ，
根据复数的几何意义，可得复数 在复平面内对应的点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆 ，
即圆 ，
如图所示， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
又由 的几何意义为过圆 上的点与定点 的直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，
由题意可知，圆心 到直线 的距离 ，即 ，
解得 ，即 ，
又由 ，可得 .
故选：C.
5．（2024春·河南周口）鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性
质，如图是一个鞋匠刀形. 若 ， ，点 在以 为直径的半圆弧上，以 的中点 为
原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系（ 在第一象限），则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 、 、 ，
则 中点为 ，且 ，
则以 为直径的半圆弧的方程为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
令 ，有 ，又 ，故 ，
即 ，则 .
故选：A.
二、多项选择
6.（2024春·深圳市宝安区）直线 与圆 ，则（ ）
A.圆 的半径为2 B.直线 过定点
C.直线 与圆 一定有公共点 D.圆 的圆心到直线 的距离的最大值是3
【答案】BCD 由题意可得圆 的圆心坐标为 ，半径为3，直线 过定点 ，则 错误， 正确.
因为点 在圆 上，所以直线 与圆 一定有公共点，则 正确.圆 的圆心到直线 的距离的最大值
是 ，则 正确.
7.（2024春·湖南长沙）在平面直角坐标系 中，点 ，动点 ，记 到 轴的距离
为 .将满足 的 的轨迹记为 ，且直线 ： 与 交于相异的两点 ，
，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线 的方程为 B．直线 过定点
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【答案】BCD
【详解】依题意，点 到直线 的距离等于到点 的距离，
因此点 的轨迹 是抛物线，其方程为 ，A错误；
直线 ： 恒过定点 ，B正确；
由 消去y得： ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，解得 ， ，
，C正确；
，
，D正确.
故选：BCD
8．（2024春·江苏南京）已知圆 ，圆 分别是圆 与圆
上的动点，则（ ）
A．若圆 与圆 无公共点，则
B．当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当 时， 的取值范围为
D．当 时，过 点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
【答案】BC
【详解】易知圆 的圆心为 ，半径 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ；
对于A，圆 与圆 无公共点，则 或 ，
即可得 或 ，解得 或 ，可知A错误；
对于B，当 时，公共弦 ，
整理可得 ，即B对；
对于C，当 时可知两圆外离， ，即
故C对；
对于D，若 ，可知四边形 为正方形，如下图所示：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则可得 ，而 ，即 ，
而 ，所以存在 满足 ，即D错误.
故选：BC
9．（2024春·福建龙岩）已知点 与圆 是圆 上的动点，则（ ）
A． 的最大值为 B．过点 的直线被圆 截得的最短弦长为
C． D． 的最小值为
【答案】ACD
【详解】对A，圆 的圆心坐标 ，半径 ，
将原点 代入圆的方程有 ，则原点在圆外，
则 ，则 ，故A正确；
对B，将 代入圆方程得 ，则点 在圆内，
设圆心到过点 的直线距离为 ，则 ,
而被截的弦长为 ，
则弦长最短为 ，故B错误；
对C，作出 在 上投影向量 ，
则 ，因为 ，
即 ，
则 ，故C正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对D，对 与 共线，则 的最小值为点 到直线 的距离，
易知直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 ，故D正确.
故选：ACD.
10．（2024春·湖南邵阳）已知平面直角坐标系中， ，动点 满足 ，点
的轨迹为曲线 ，点 到直线 的距离的最小值为 ，下列结论正确的有（ ）
A．曲线 的方程为 B．
C．曲线 的方程为 D．
【答案】AB
【详解】对于A、C项，由已知可得， ， .
则由 可得， ，
平方整理可得， ，
化为标准方程可得， ，圆心为 ，半径 .故A正确，C错误；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对于B、D项，圆心 到直线 的距离为 ，
所以，圆上点到直线 的最小距离 .故B正确，D错误.
故选：AB.
三、填空题
11．（2024春·广东佛山）在如图所示的长方形台球桌面示意图中， ，桌面的六个网分别位
于长方形的四个顶点及长边中点上．现有三个台球分别在 三点所在的位置上，且
三点共线．用球 贴着桌面移动去击球 （不能碰到球 ），使得球 沿球 运动的方向径直落
入 三个网 中之一．若球和网 近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球 碰到桌边缘后
反弹符合入射角等于反射角．则球 击中球 前，球 移动的最短路径的路程为 ．
【答案】
【详解】因为用球 贴着桌面移动去击球 （不能碰到球 ），
连接 并延长交 于点 ，直线 ，即 ，
令 得， ，故 ，则 为 的中点，
故 的反射直线为 ，则 ，
将 代入 中，得 ，故 ，
令 得 ，故 ， 为 的中点，
直线 经过反射得到直线 ，
将 代入 中，得 ，故 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
其中 满足 上，
故 球的轨迹为 ，其中 ，
， ，
故轨迹长度为 ，
连接 并延长，交 于点 ，
直线 的方程为 ，即 ，令 得 ，
故 ，根据反射得到反射直线 ，将 代入得，
，解得 ，故直线 ，
令 得 ，解得 ，故 ，
根据反射得到直线 ，将 代入得，
，解得 ，故直线 ，
令 得 ，解得 ，故 ，
根据反射得到直线 ，将 代入得，
，解得 ，故直线 ，
令 得 ，故 ，
由于 ，故令 中的 得 ，
故点A不在直线 上，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故要想点A在直线 上，也要经过多次反射，故路径会大于 ，不合要求，舍去；
连接 并延长，交 于点 ，则直线 的方程为 ，
令 得 ，故 ，
根据反射得到直线反射直线 ，
将 代入上式得， ，解得 ，
故直线 ，令 得 ，解得 ，故 ，
根据反射得到反射直线 ，将 代入得，
，解得 ，故 ，
令 得 ，故 ，
根据反射得到反射直线 ，将 代入得 ，
故 ，
由于 ，故令 中的 得 ，
故 不在反射直线 上，
故要想点A在直线 上，也要经过多次反射，故路径会大于 ，不合要求，舍去；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
综上，球 移动的最短路径的路程为 .
故答案为：
12．（2024春·河北廊坊）已知圆C满足以下两个条件：①圆C的半径为 ；②直线 被圆C
所截得的弦长为2．写出一个符合以上条件的圆C的标准方程为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】设圆C的圆心坐标为 ，因为直线 被圆C所截得的弦长为2，圆的半径为 ，
所以 ，整理得 或 ，所以 或 ．
可取 ，此时圆 ．
故答案为： （答案不唯一）
