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专题 02 二项式定理
一、单选题
1．（2020·吐鲁番市高昌区第二中学高二期末） 展开式中的常数项为（ ）
A．第5项 B．第5项或第6项 C．第6项 D．不存在
【答案】C
【详解】
解：根据题意， 展开式中的通项为 ，
令 ，可得 ；则其常数项为第 项；
故选 ．
2．（2021·全国高二课时练习）在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C．30 D．50
【答案】B
【详解】
表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选 ，其余的3个因式都选1，相乘可得含 的项；
或者有3个因式选 ，有1个因式选 ，1个因式选1，相乘可得含 的项，
故 项的系数为 ，
故选B．
3．（2020·江苏高一期中）二项式 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由 得：
展开式的通项为 ，
令 ，
据题意此方程有解，
，
当 时，
最小为 ，
故选：B.
4．（2021·山东济宁市·高三一模）若 的展开式中 的系数是80，则实数
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】
二项式展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
则 ，所以 ，解得 .
故选：A5．（2020·山东枣庄市·高二期末）若 展开式的常数项等于 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】
解： 展开式的通项公式为： ，
所以当 时， 项的系数为： ，
的展开式无常数项，
所以 展开式的常数项为： ，解得：
故选：C.
6．（2021·贵州高三开学考试（理））已知二项式 的展开式中，第二项和第四项的二项式系数相
等，则 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】
因为二项式展开式中第二项和第四项的二项式系数相等,
所以 ,
所以 ,
故选：C
7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A．-80 B．80 C．-160 D．-120
【答案】C
【详解】
解：因为二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，所以 ，所以 的展开式的
通项为 ，令 ，得 ，故 ，故展开式中
的系数为
故选：C
8．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））已知
，则 ( )
A． B．0 C．14 D．
【答案】B
【详解】
解：由题知， ，
且 ，
则 ，
，
所以 .
故选：B.
9．（多选）（2021·全国高三其他模拟）已知 ，则（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】
因为
令 ，得 ，故选项A正确；
令 ，得 ，
所以 ，故选项C正确；
易知该二项展开式的通项 ，所以 ，故选项B正确；
对 两边同时求导，得 ，
令 ，得 ，故选项D错误.
故选:：ABC
10．（多选）（2021·全国高二课时练习）(多选题)若二项式 展开式中的常数项为15，则实数m
的值可能为（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】AB
【详解】
二项式 展开式的通项为，，
令 ，得 ，
常数项为 ，
，得 ，故答案为 .
故选：AB
11．（多选）（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）对于 展开式的二项式系数下列结论
正确的是（ ）
A． B．
C．当 为偶数时， D．
【答案】ABCD
【详解】
解：选项A：由组合数的运算直接可得 ，故选项A正确；
选项B：由杨辉三角直接可得 ，故选项B正确；
选项C：二项式展开式中，令 ，不论 为奇数还是偶数，都可得 ，故
选项C正确；
选项D：由选项C可知 ，故选项D正确.
故选：ABCD
12．（多选）（2021·江苏省天一中学高三二模）已知 的展开式中各项系数的和为2，则
下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若 为偶数，则展开式中 和 的系数相等
【答案】ACD
【详解】
对于A，
令二项式中的 为1得到展开式的各项系数和为 ，
，故A正确；
对于B，
，
展开式的通项为 ，
当 展开式是中常数项为：令 ,得
可得展开式中常数项为： ，
当 展开式是中常数项为：
令 ,得 (舍去)
故 的展开式中常数项为 .故B错误；对于C，求其展开式系数的绝对值的和与 展开式系数的绝对值的和相等
，令 ，可得：
展开式系数的绝对值的和为： .故C正确；
对于D，
展开式的通项为 ，
当 为偶数，保证展开式中 和 的系数相等
① 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为：
此时 和 的系数相等，
② 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为：
此时 和 的系数相等，③ 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为：
此时 和 的系数相等，
故D正确；
综上所在，正确的是：ACD
故选：ACD.
二、填空题
13．（2020·全国高二课时练习）在如图所示的三角形数阵中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一
个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比
为 ，则这一行是第______行（填行数）.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
【答案】98
【详解】
三角形数阵中，第n行的数由二项式系数 组成，
如果第n行中有 ， ，
那么 ，解得 ，
故答案为：98.14．（2020·湖南高二月考）如图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章
算法》．它有很多奇妙的性质，如除1以外的每个数等于它“肩上”两数之和、揭示了 （ 为非
负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律等．由此可得图中第7行从左到右数第4个数是______；第
行的所有数字之和为______．
【答案】35
【详解】
解：根据除1以外的每个数等于它“肩上”两数之和得第7行从左到右数第4个数是第 行从左到右数第
个与第 个数之和，即 ；第 行的所有数字之和为 的展开式的所有项的二项式系数和
．
