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专题 10 预备知识十：函数的表示法
1、掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法
2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
优点 缺点 联系
①简明、全面的概括了变量之间的关 ①并不是所有的函数都有解析
系； 式；
解析法 ②可以通过解析式求出在定义域内任意 ②不能直观地观察到函数的变
自变量所对应的函数值； 化规律； 解析法、图象法、
③便于利用解析式研究函数的性质； 列表法各有各的优
①能直观、形象地表示自变量的变化情 ①并不是所有的函数都能画出 缺点，面对实际情
况及相适应的函数值的变化趋势； 图象； 境时，我们要根据
图象法
②可以直接应用图象来研究函数的性 ②不能精确地求出某一自变量 不同的需要选择恰
质； 相应的函数值； 当的方法表示函
①不需要计算就可以直接看出与自变量 ①不够全面，只能表示自变量 数．
的值对应的函数值； 取较少的有限值的对应关系；
列表法
②不能明显地展示出因变量随
自变量变化的规律；
知识点二：求函数解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知 这类复合函数的解析式，求函数 的解析式的问题，在使用
换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知 与 、 、 ……的方程，求 解析式。
知识点三：分段函数
对于函数 ，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数
叫分段函数．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．
知识点四：函数的图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个 加或者减，注意当 前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
① 的图象 的图象；
② 的图象 的图象；
③ 的图象 的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
① 的图象 的图象；
（口诀；以 轴为界，保留 轴上方的图象；将 轴下方的图象翻折到 轴上方）
② 的图象 的图象.
（口诀；以 轴为界，去掉 轴左侧的图象，保留 轴右侧的图象；将 轴右侧图象翻折到 轴左侧；本
质是个偶函数）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：函数的三种表示法的应用
典型例题
例题1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，
后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）已知两个函数 和 的定义域和值域都是集合 ，其定义
如下表：
x 1 2 3 x 1 2 3
2 3 1 1 3 2
则 的值为 ．
精练
1．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在 上的函数 表示为:
x 0
y 1 0 2
设 ， 的值域为M，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．任意一个函数都可以用解析式表示
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司B．函数 ， 的图象是直线上一些孤立的点
C．表格可以表示y是x的函数
x 有理数 无理数
y 1
D．图象
可以表示函数 的图象
对点特训二：求函数的解析式---待定系数法
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数 是R上的减函数，且 ，则
= .
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知 是二次函数，若 ，且 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当 时，求二次函数的最大值与最小值．
精练
1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已已知 是一次函数，且 ，求 .
2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数 满足 ，且 ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，比较 与 的大小.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训三：求函数的解析式---换元法
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数 ，则 ．
精练
1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
2．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 1 D． 的图象与 轴有1个交点
题型四：求函数的解析式---凑配法
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数 ，则函数 的解析式是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，则 （ ）．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．4 C． D．
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
2．（22-23高一上·福建厦门·期末）已知 ，则 .
对点特训五：求函数的解析式---方程组法
典型例题
例题1．（2024高一·江苏·专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数 对定义域 内的任意实数 满足
，则 .
精练
1．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数 ， 满足 ，且
，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（23-24高一上·全国·课后作业）若 ，则 ．
对点特训六：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．4 B．3 C．2 D．1
例题2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数 ，则 的值为 .
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数 ，则 （ ）
A． B．-3 C． D．
2．（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数 ，则 的值为 ；
对点特训七：分段函数图象
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数 .
(1)求 ， 的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出 的简图（不用列表）.
精练
2．（23-24高一·山西·期中）设 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）在图的直角坐标系中画出 的图像；
（2）若 ，求t值；
（3）求函数 的最小值．
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2．（2024·山东·二模）如图所示，动点 在边长为1的正方形 的边上沿 运动， 表
示动点 由A点出发所经过的路程， 表示 的面积，则函数 的大致图像是（ ）．
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． D．
3．（2024·吉林长春·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知函数 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数
形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，
已知函数 在的大致图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知 ，则 的解析式为 （ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． D．
8．（23-24高一上·上海奉贤·期末）某车辆装配车间每 装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产 .
从当天开始生产的时刻起经过的时间 （单位： ）与装配完成的车辆数 （单位：辆）之间的函数表达
式正确的是（ ）（数学上，常用 表示不大于 的最大整数．）
A． ， ； B． ， ；
C． ， ； D． ， .
二、多选题
9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（ ）
A． B． 的最小值为
C． 的定义域为 D． 的值域为
三、填空题
10．（23-24高一上·广东韶关·期中） ，用 表示 中的最小者，记为
，则函数 的最大值为 .
四、解答题
11．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.
12．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同 上课开
始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；
渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定 设上课开始 分钟时，学生的接受能力为
（ 值越大，表示接受能力越强）， 与 的函数关系为： ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
(2)若一个数学难题，需要 及以上的接受能力（即 ）以及 分钟时间才能讲述完，则老师能否
及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
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