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专题 10 预备知识十：函数的表示法
1、掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法
2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
优点 缺点 联系
①简明、全面的概括了变量之间的关 ①并不是所有的函数都有解析
系； 式；
解析法 ②可以通过解析式求出在定义域内任意 ②不能直观地观察到函数的变
自变量所对应的函数值； 化规律； 解析法、图象法、
③便于利用解析式研究函数的性质； 列表法各有各的优
①能直观、形象地表示自变量的变化情 ①并不是所有的函数都能画出 缺点，面对实际情
况及相适应的函数值的变化趋势； 图象； 境时，我们要根据
图象法
②可以直接应用图象来研究函数的性 ②不能精确地求出某一自变量 不同的需要选择恰
质； 相应的函数值； 当的方法表示函
①不需要计算就可以直接看出与自变量 ①不够全面，只能表示自变量 数．
的值对应的函数值； 取较少的有限值的对应关系；
列表法
②不能明显地展示出因变量随
自变量变化的规律；
知识点二：求函数解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知 这类复合函数的解析式，求函数 的解析式的问题，在使用
换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知 与 、 、 ……的方程，求 解析式。
知识点三：分段函数
对于函数 ，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数
叫分段函数．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．
知识点四：函数的图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个 加或者减，注意当 前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
① 的图象 的图象；
② 的图象 的图象；
③ 的图象 的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
① 的图象 的图象；
（口诀；以 轴为界，保留 轴上方的图象；将 轴下方的图象翻折到 轴上方）
② 的图象 的图象.
（口诀；以 轴为界，去掉 轴左侧的图象，保留 轴右侧的图象；将 轴右侧图象翻折到 轴左侧；本
质是个偶函数）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：函数的三种表示法的应用
典型例题
例题1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，
后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据速度的变化快慢得答案.
【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，
故图像上升速度变快，选项C符合.
故选：C.
例题2．（23-24高一上·北京·期中）已知两个函数 和 的定义域和值域都是集合 ，其定义
如下表：
x 1 2 3 x 1 2 3
2 3 1 1 3 2
则 的值为 ．
【答案】2
【分析】根据表格的函数表示得 ，进而求目标式函数值.
【详解】由表知： ，则 .
故答案为：2
精练
1．（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在 上的函数 表示为:
x 0
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司y 1 0 2
设 ， 的值域为M，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据自变量所在区间判断出 的值，然后根据表中数据可知值域 .
【详解】因为 满足 ，所以 ，
由表中数据可知： 的取值仅有 三个值，所以 ，
故选：B.
2．（多选）（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．任意一个函数都可以用解析式表示
B．函数 ， 的图象是直线上一些孤立的点
C．表格可以表示y是x的函数
x 有理数 无理数
y 1
D．图象
可以表示函数 的图象
【答案】BC
【分析】利用函数的定义及表示方法一一判定选项即可.
【详解】对于A项，并非所有函数都有解析式，故A错误；
对于B项，函数 ， ，是直线 上对应的五个点 ，故B正
确；
对于C项，表格表示函数，因为对于任意自变量 ，都有唯一的函数值 与之对应，故C正确；
对于D项，图中对于任意自变量 ，并非都有唯一的函数值 与之对应，故D错误.
故选：BC
对点特训二：求函数的解析式---待定系数法
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司典型例题
例题1．（23-24高一上·四川内江·期中）已知一次函数 是R上的减函数，且 ，则
= .
【答案】
【分析】设 ，代入 ，可得解析式.
【详解】因为 是R上的减函数，所以设 ，
故 ，
所以 ，解得 或 ，
又 ，得 ，所以 .
故答案为：
例题2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知 是二次函数，若 ，且 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当 时，求二次函数的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，根据系数相等得到方程组，求出 的值即可；
（2）根据二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
由 ，
得 ，
即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）函数 的对称轴为 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 .
精练
1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已已知 是一次函数，且 ，求 .
【答案】 或
【分析】利用待定系数法求解．
【详解】设 ，
则 ，
，
或 ，
或 ．
故答案为： 或 .
2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知二次函数 满足 ，且 ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，比较 与 的大小.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设出二次函数 代入 ，以及对称轴，求解即可；
（2）依题意 ，分类讨论，得到结果.
【详解】（1）设二次函数 .
由 ，得 图象的对称轴为 ，
所以 ，解得 .
由 得， ，
可得 .
由 得， ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 .
（2）
，
当 或 时， ，此时 .
当 时， ，此时 .
当 或4时， ，此时 .
对点特训三：求函数的解析式---换元法
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）已知 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】设 ， ，则 ，
， ，
所以函数 的解析式为 ， ．
故选：B.
例题2．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）若函数 ，则 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令 ，再用 表示 代入原函数即可得 .
【详解】令 ，则 ，
∴ ，故 ，
∴ .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】利用换元法求出函数解析式，根据二次函数求最值即可.
【详解】令 ，则 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， .
故选：B
2．（多选）（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． 的最小值为 1 D． 的图象与 轴有1个交点
【答案】ACD
【分析】利用换元法求出 的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令 ，得 ，则 ，得 ，
故 ， ， ，A正确，B错误.
，所以 在 上单调递增，
， 的图象与 轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
题型四：求函数的解析式---凑配法
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数 ，则函数 的解析式是
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】利用配凑法求解析式即可.
【详解】 ，且 ，所以 ， .
故选：B.
例题2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，则 （ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．
【详解】函数 ，
所以 ， ．
故选：A．
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数 ，且 ，则 （ ）
A．7 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入 即可求解.
【详解】 ,
.
,解得 ．
故选：A.
2．（22-23高一上·福建厦门·期末）已知 ，则 .
【答案】
【分析】根据函数解析式凑项法得 的解析式，从而可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，则 .
故答案为： .
对点特训五：求函数的解析式---方程组法
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司典型例题
例题1．（2024高一·江苏·专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 为 ，则 ，然后与 联立可求出
【详解】令 为 ，则 ，
与 联立可解得， ．
故选：D．
例题2．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数 对定义域 内的任意实数 满足
，则 .
【答案】
【分析】本题可以构造方程组来求函数的解析式
【详解】因为 ，取 ，则 ，即 ，两式相加可得
，所以 ，
故答案为：
精练
1．（22-23高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数 ， 满足 ，且
，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据方程组法求解函数 的解析式，代入求出 ， ，再利用 求出 ，从而得
解.
【详解】因为 ，所以 ，
联立可得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：C.
2．（23-24高一上·全国·课后作业）若 ，则 ．
【答案】
【分析】将 用 代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由 ①，
将 用 代替得 ②，
由①②得 .
故答案为： .
对点特训六：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：A.
例题2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数 ，则 的值为 .
【答案】 /
【分析】
利用 的解析式，依次计算 与 即可得解.
【详解】
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ,
则 .
故答案为： .
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数 ，则 （ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】依题意， ，所以 .
故选:C.
2．（23-24高一上·广西贺州·期末）设函数 ，则 的值为 ；
【答案】1
【分析】
代入即可求解.
【详解】 , ,
故答案为：1
对点特训七：分段函数图象
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数 .
(1)求 ， 的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出 的简图（不用列表）.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ，
(2)作图见解析
【分析】（1）将 以及 代入解析式，即可得出答案；
（2）在坐标系中，描出合适的点，用光滑的曲线连起来，即可得出函数图象.
【详解】（1）由已知可得， ， .
（2）在坐标系中描点 ， ， ， ， ，
作出 的简图
精练
2．（23-24高一·山西·期中）设 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）在图的直角坐标系中画出 的图像；
（2）若 ，求t值；
（3）求函数 的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2） 或 ，或 ；（3）-1.
【分析】（1）根据解析式作出函数图像即可；
（2）分别将 时， 时，当 时的解析式代入方程，即可求得答案.
（3）根据 的图像，即可求得最小值.
【详解】（1） 的图像如下边：
（2）当 时， ，∴ ；
当 时， ，解得： ；
当 时， ，∴ ，
综上所述： 或 ，或 ．
（3）由图可知：当 时， ，
所以函数 的最小值为 ．
一、单选题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
，
所以 .
故选：A
2．（2024·山东·二模）如图所示，动点 在边长为1的正方形 的边上沿 运动， 表
示动点 由A点出发所经过的路程， 表示 的面积，则函数 的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分 ， ， 求出解析式，然后可知图象.
【详解】当 时， ，是一条过原点的线段；
当 时， ，是一段平行于 轴的线段；
当 时， ，图象为一条线段.
故选：A．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3．（2024·吉林长春·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【详解】由函数可得， .
故选：B.
4．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知函数 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，分 和 两种情况分别求解即可.
【详解】由已知得：
当 时， ，解得： ，或 （舍），
当 时， ，解得： ，
综上： 的值为 或 ,
故选：C.
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.
【详解】因为 ，所以当 时， ，故排除ABC，
又 的图象可由函数 的图象向右平移一个单位得到，则D正确.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：D.
6．（23-24高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数
形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，
已知函数 在的大致图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意取特值点分析判断.
【详解】由题意可知： ，排除CD； ，排除B.
故选：A.
7．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知 ，则 的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】换元法求函数解析式即可.
【详解】设 ，则 ，
所以 ，
故 ，
故选：C
8．（23-24高一上·上海奉贤·期末）某车辆装配车间每 装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产 .
从当天开始生产的时刻起经过的时间 （单位： ）与装配完成的车辆数 （单位：辆）之间的函数表达
式正确的是（ ）（数学上，常用 表示不大于 的最大整数．）
A． ， ； B． ， ；
C． ， ； D． ， .
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据条件知当 时， ，再对选项B、C、D逐项分析，即可判断出选项B、C、D不正
确，即可得出结果.
【详解】因为车间每 装配完成一辆车，所以当 时， ， 时， ， 时，
， 时， ， 时， ，所以选项A正确，
对于选项B，当 时， ，所以选项B错误，
对于选项C，当 时， ，所以选项C错误，
对于选项D，当 时， ，所以选项D错误，
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 则（ ）
A． B． 的最小值为
C． 的定义域为 D． 的值域为
【答案】CD
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数 的解析式，再逐项判断即得.
【详解】依题意， ，则 ，A错误；
当 时， ，当且仅当 时取等号，B错误；
在 中， ，解得 ，因此 的定义域为 ，C正确；
显然 ， ，于是 ，因此 的值域为 ，D正确.
故选：CD
三、填空题
10．（23-24高一上·广东韶关·期中） ，用 表示 中的最小者，记为
，则函数 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】画出函数 的图象，结合图象即可求得结果.
【详解】如图所示，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司，即 ，
，即 ，
由图可知， ，
所以 的图象如图所示，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为： .
四、解答题
11．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式和 求得 ，进而确定解析式，再从内到外计算 ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）分 ， 分别求解，注意检验即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，
故 ，解得 ，故 ，
所以 ， .
（2）因为 ，
当 时， ，解得 （舍去）；
当 时， ，解得 或 （舍去）；
综上， .
12．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）心理学研究表明，学生在课堂上各时段的接受能力不同 上课开
始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；
渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定 设上课开始 分钟时，学生的接受能力为
（ 值越大，表示接受能力越强）， 与 的函数关系为： ．
(1)上课开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
(2)若一个数学难题，需要 及以上的接受能力（即 ）以及 分钟时间才能讲述完，则老师能否
及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？
【答案】(1)开始10分钟接受能力最强，且能维持5分钟；
(2)不能.
【分析】（1）分别求出各段的最大值即可得解；
（2）分段求解不等式 即可得解.
【详解】（1）由题意可知，当 时， ，
所以当 时， 的最大值为 ，
因为当 时， ，
当 时， ，当 时， .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以开讲后 分钟接受能力最强，且能维持 分钟.
（2）当 时， ，
解得 ，
当 时， ，满足要求，
当 时， ，
解得 ，
故 分钟 分钟，
老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题．
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