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2.2.2直线的两点式方程 -B提高练
一、选择题
1.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.x-y-1=0 B.x-y-2=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
【答案】B
【解析】令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距
式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.
2．若直线 与两坐标轴围成的三角形的面积S为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝ ，令x＝0，得y＝ ，∴三角形的面积S＝ .
x y x y
3.（2020福建三明一中高二月考）两条直线 - =1与 - =1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中
m n n m
的( )
【答案】B
n m
【解析】两直线的方程分别化为y= x-n,y= x-m,易知两直线的斜率符号相同.
m n
4．（2020北京大兴区高二期中）3.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy( )
A.无最小值,且无最大值 B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值 D.有最小值,且有最大值
【答案】D
x y x x 4 3
【解析】线段AB的方程为 + =1(0≤x≤3),于是y=4 1- (0≤x≤3),从而xy=4x 1- =- x- 2+3,显然
3 4 3 3 3 23
当x= ∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.
2
5．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程
可以是( )
A.x+y-3=0 B.x+y+3=0 C.x-y-1=0 D.x-y+1=0
【答案】AC
x y x y 2 1 2 1
【解析】由题意设直线方程为 + =1或 + =1,把点(2,1)代入直线方程得 + =1或 + =1,
a a a -a a a a -a
x y x y
解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为 + =1或 + =1,即x+y-3=0或x-y-1=0.
3 3 1 -1
6.（多选题）（2020江苏省启东中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点 关于直线 的对称点为
C．过 ， 两点的直线方程为
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AB
【解析】A中直线在坐标轴上的截距分别为2， ，所以围成三角形的面积是2正确，B中 在
直线 上，且 连线的斜率为 ，所以B正确，C选项需要条件 ，故错误，
D选项错误，还有一条截距都为0的直线 .
二、填空题
7．以点 和 为端点的线段的方程是____________.
【答案】 .
【解析】过两点 ， 的线段的方程是 ，即 .
8．（2020·湖南省长郡中学高二月考）入射光线从P(2,1)出发，经x轴反射后，通过点Q(4,3)，则入射光线
所在直线的方程为________.
【答案】2x＋y－5＝0
【解析】利用反射定理可得，点Q(4,3)关于x轴的对称点Q′(4，－3)在入射光线所在直线上，故入射光线l
所在的直线PQ′的方程为 ，化简得2x＋y－5＝0.
9.如果直线 被两个坐标轴截得的线段长为5,则c的值为________.
【答案】±1
【解析】令 ，得 ，令 得 ，即直线与两坐标轴交点分别为 ，
∴ ，解得 ．
10．（2020山东青岛四中高二月考）设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________；
(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l
对应的方程为________________.
【答案】x－y＝0或x＋y－2＝0 x＋y－2＝0
【解析】(1)①当直线l经过坐标原点时，可得a＋2＝0，解得a＝－2．
所以直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；
②当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，
由条件得 ，解得a＝0，所以直线l的方程为x＋y－2＝0．
综上可得直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0．
(2)在(a＋1)x＋y－2－a＝0（a>－1）中，
令 ，得 ；令 ，得 ．所以 ．
由于 ，得 ．
所以
．
当且仅当 ，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0．
三、解答题
11．（2020全国高二课时练）求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)斜率是 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点 ， ;
(3)经过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
【解析】 (1)设直线l的方程为y＝ x＋b.
令y＝0，得x＝－ b，
∴ |b·(－ b)|＝6，b＝±3.
∴直线l的方程为y＝ x±3.
(2)当m≠1时，直线l的方程是 ＝ ，即y＝ (x－1)
当m＝1时，直线l的方程是x＝1.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当a≠0，b≠0时，l的方程为 ＋ ＝1；∵直线过P(4，－3)，∴ － ＝1.又∵|a|＝|b|，
∴ ，解得 ，或 .
当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，
∴l的方程为y＝－ x.
综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或 ＋ ＝1或y＝－ x.
4
12.直线过点P ,2 且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满
3
足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
x y
【解析】设直线方程为 + =1(a>0,b>0),
a b
若满足条件(1),则a+b+ =12. ①
√a2+b2
4 4 2
又∵直线过点P ,2 ,∴ + =1. ②
3 3a b
由①②可得5a2-32a+48=0,
12
{a= ,
解得{a=4, 5 ，
或
b=3 9
b= ,
2
x y 5x 2y
∴所求直线的方程为 + =1或 + =1,
4 3 12 9
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12, ③
4 2
由题意得 + =1,④
3a b
由③④整理得a2-6a+8=0,{a=4, {a=2,
解得 或
b=3, b=6,
x y x y
∴所求直线的方程为 + =1或 + =1,
4 3 2 6
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.
