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3.1.2椭圆的简单几何性质（1） -B提高练
一、选择题
1.（2020广东湛江高二期末）曲线 与曲线 的
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【解析】曲线 表示焦点在 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为 ，焦距为8．
曲线 表示焦点在 轴上，长轴长为 ，短轴长为 ，
离心率为 ，焦距为8．对照选项，则 正确．故选： ．
2.（2020·上海黄浦高二期末）设椭圆 ，若四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上，则不在 上的点为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， 关于y轴对称，所以椭圆经过 ， ，
所以 ，当 在椭圆上时， ，解得 ，
椭圆方程为： 成立.因为 ，所以椭圆不经过 ，故选：A
3. （2020·湖北宜昌高二月考）设椭圆 的离心率为 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当 ，所以 ， ，所以 ，所以 是 的充分条件.
当 ，若焦点在 轴上，则 ，所以 ；若焦点在 轴上，则 ，
所以 ，所以 不是 的必要条件.故选：A.
x2 1 1
4.已知椭圆 +y2=1,F,F 分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 +
4 1 2 |PF | |PF |
1 2
的取值范围为( )
A.[1,2] B.[√2,√3] C.[√2,4] D.[1,4]
【答案】D
【解析】根据椭圆的定义|PF |+|PF |=2a=4,设m=|PF |,n=|PF |,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],
1 2 1 2
1 1 1 1 4 4
即m,n∈[2-√3,2+√3],则 + = + = = ∈[1,4].
|PF | |PF | m n m(4-m) -(m-2)2+4
1 2
5．（多选题）（2020·江苏省苏州中学园区校高二开学考试）如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和
左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别
为 和 ，离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【解析】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得 ，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦
点，可得 ；因为 ，且 ，则
，所以A正确；因为 ，所以B
正确；因为 ， ，则有
，所以C错误；因为 ，
所以D正确；故选：ABD.
6．（多选题）（2020·江苏广陵扬州中学高二月考）在平面直角坐标系 中，椭圆
上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，
则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设椭圆的焦距为 ，由椭圆的定义可得 ，解得 ，
，
由题意可得 ，解得 ，又 ，所以， ，所以，该椭圆离心率的取值范围是 .故符合条件的选项为BD.
二、填空题
7.（2020·全国高二课时练）已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心
率为 .
1
【答案】
2
2c 4 1
【解析】如图,|AB|=2c=4,∵点C在椭圆上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e= = = .
2a 8 2
8．（2020·洋县中学高二期中）万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年
北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同
学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的
椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴
长为__________.cm
【答案】
【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，
由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为 cm，故离心率为 ，
所以小椭圆离心率为 ，小椭圆的短轴长为10cm，即 cm，由 ，可得：
cm，所以长轴为 cm.9.（2020·南京市秦淮中学高二期中）已知椭圆 的右焦点为 ，过 点作
轴的垂线交椭圆于 ， 两点，若 ，则椭圆的离心率等于__________.
【答案】
【解析】椭圆 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两
点，
由 ，若 ，则 是等腰直角三角形 为坐标原点），
可得 ，即 ，可得 且 ，解得 ．
10. （2020·全国高二课时练）已知F是椭圆C:x2 y2 =1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,
+
a2 b2
则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP| 为半径的圆
经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为 .
√3-1
【答案】
2
【解析】如图,|AB|= ,a-c≤|PF|≤a+c,
√a2+b2
由题意可得,a-c≤ ≤a+c,不等式左边恒成立,则 ≤a+c,
√a2+b2 √a2+b2
-1-√3 √3-1
两边平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤ (舍)或e≥ .
2 2
√3-1
∴椭圆C的离心率的最小值为 .
2
三、解答题11.（2020·全国高二课时练）（1）计算:
x2 y2
①若A,A 是椭圆 + =1长轴的两个端点,P(0,2),则k ·k 为？
1 2 PA PA
9 4 1 2
②若A
1
,A
2
是椭圆x2
+
y2=1长轴的两个端点,P(
-√5,
4),则
k ·k
为？
9 4 3 PA 1 PA 2
③若A,A 是椭圆x2 y2=1长轴的两个端点,P( 4√2),则 为？
1 2 + 1,- k ·k
9 4 3 PA 1 PA 2
(2)观察①②③,由此可得到:若A,A 是椭圆x2 y2 =1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,
1 2 +
a2 b2
则 =?并证明你的结论.
k ·k
PA PA
1 2
2-0 2-0 4
【解析】（1）①由椭圆方程可得A(-3,0),A(3,0),又P(0,2),∴k ·k = × =- .
1 2 PA 1 PA 2 0+3 0-3 9
②由椭圆方程可得A
1
(-3,0),A
2
(3,0),又P(
-√5,
4),
3
4 4
-0 -0 4
∴ 3 3 =- .
k ·k = × 9
PA 1 PA 2 3-√5 -3-√5
③由椭圆方程可得A(-3,0),A(3,0),又P( 4√2),
1 2 1,-
3
4√2 4√2
- -0 - 4
∴ 3 3 =- .
k ·k = × 9
PA
1
PA
2
1+3 1-3
(2)若A,A 是椭圆x2 y2 =1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则 =-b2 .
1 2 + k ·k
a2 b2 PA 1 PA 2 a2
证明如下:设P(x,y).由题意 y -0 y -0 ,
0 0 k = 0 ,k = 0
PA 1 x +a PA 2 x -a
0 0
y -0 y -0 y2
则 k ·k = 0 · 0 = 0 .
PA 1 PA 2 x +a x -a x2-a2
0 0 0
又P为椭圆上任意一点,满足
x2
0+
y2
0=1,得 y2=b2( 1-
x2
0 ) ,
a2 b2 0 a2
(
x2
)
b2 1- 0 b2
代入可得 a2 =- ,得证.
k ·k = a2
PA 1 PA 2 x2-a2
0
12.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆 与椭圆 有相同的焦点，且椭圆 过点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆 上，且 的面积为1，求点 的坐标.
【解析】（1） 的焦点为 ，设 方程为 ，焦距为 ，
则 ，把 代入 ，
则有 ，整理得 ，
故 或 （舎）， ，故椭圆方程为 ．
（2） ，设 ，
则 面积为 ，则 ，而 ，
所以 ， ，所以 点有4个，它们的坐标分别为
．
