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3.1.2椭圆的简单几何性质（2） -A基础练
一、选择题
1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆 ，若长轴长为8，离心率
为 ，则此椭圆的标准方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆 长轴长为8，所以 ，即 ，
又离心率为 ，所以 ，解得： ，则 = ，
所以椭圆的标准方程为： ．
2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，
一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 ，
则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题意可得 , , ,所以 , .
①若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,则所经过的路程为
,②若光线从椭圆一个焦点沿 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,则所经过的路程
为 .③若光线从椭圆一个焦点沿非 轴方向出发,则所经过的路程为 ，故选:B3．（2020·金华市曙光学校月考）无论k为何值，直线 和曲线 交点情况满足
（ ）
A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．有公共点
【答案】D
【解析】因为 过定点 ，且椭圆 的上顶点也为 ，所以当直线的斜
率为 时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两
个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.
4. （2019·安徽安庆月考）椭圆 的左焦点为 ，若 关于直线
的对称点 是椭圆 上的点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点 关于直线 的对称点A为 ，且A在椭圆上，
即 ，∴ ，∴椭圆C的离心率 ．
5．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆 的焦距为 ，则 的值为（ ）
A．9 B．23 C． D．
【答案】AB
【解析】椭圆 的焦距为 ，即 得 .依题意当焦点在 轴上时，则，解得 ；当焦点在 轴上时，则 ，解得 ，∴ 的值为9或
23.
6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙
运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一
个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表
面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）
A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
【答案】AD
【解析】设该椭圆的半长轴长为 ，半焦距长为 .依题意可得月球半径约为 ，
， ， ， ，
，椭圆的离心率约为 ，可得结论A、D项正确，B项错
误；
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误.综上可知，正确的为AD，故选：AD.
二、填空题
7. （2020·全国课时练习）若直线 与椭圆 有且只有一个交点，则斜率 的值
是_______.
【答案】【解析】已知直线 与椭圆 有且只有一个交点，由 消去 并整
理，得 ，由题意知， ，解得：
.
8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点
发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点 ,
的椭圆 与双曲线 构成,现一光线从左焦点 发出,依次经 与 反射,又回到了点 ,历时
秒;若将装置中的 去掉,此光线从点 发出,经 两次反射后又回到了点 ,历时 秒;若
,则 与 的离心率之比为______.
【答案】
【解析】如图,由双曲线定义得: ① ,
由椭圆定义得: ②,
② ①得: ;
椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为:对于单椭圆光学装置,光线经过 次反射后回到左焦点,
路程为 ;
由于两次光速相同,路程比等于时间比,
, . .
9. （2020·福建漳州高二月考）已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，点
在 上，线段 与 轴交于点 ， 为坐标原点，若 为 的中位线，且 ，
则 ________.
【答案】6
【解析】如图所示，因为 为 的中位线，且 ，所以 ，
由椭圆定义可得： .
10．（2020上海华师大二附中月考）已知点 为椭圆 的左焦点，点 为椭圆 上
任意一点，点 为坐标原点，则 的最大值为________
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，则 ，则 ，可得 ，
椭圆 的左焦点为 ， ， ，则，
二次函数 在区间 上单调递增，
所以， .因此， 的最大值为 .
三、解答题
11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径 ）的中心 为
一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点） 到火星表面的距
离为 ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点） 到火星表面的距离为 ．假定
探测器由近火星点 第一次逆时针运行到与轨道中心 的距离为 时进行变轨，其中 分
别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到 ）．
【解析】设所求轨道方程为
． ．
于是 ．所以所求轨道方程为 ．
设变轨时，探测器位于 ，则
．解方程组，得 （由题意）．
所以探测器在变轨时与火星表面的距离为 ．
所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为 .
12. （2020全国高二课时练习）已知椭圆C: 经过点 , 是椭
圆 的两个焦点， ， 是椭圆 上的一个动点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 在第一象限，且 ,求点 的横坐标的取值范围；
【解析】（1）由已知得 ， ，∴ ，
，同理 ，
∴ ， ，∴ ，
椭圆标准方程为 ．
（2）设 （ ），
则
， ，∴ ，
∴ ，即 点横坐标取值范围是 ．
