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级⾼⼀ ⽉学情检测
2025 12
数学（⼈教 版）试题
A
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请
在答题卡上作答.
第I卷（选择题 共58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. ⻆的终边在（ ）
A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
A.4 B. C. D.4或
4. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. C.1 D.
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的⼤⼩关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 在 上不具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7.Deepseek（深度求索）是⼈⼯智能的⼀种具有代表性的实现⽅法，它是以神经⽹络为出发点.在神经⽹络
优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每⼀轮优化时使⽤的学习率， 表示初始学习
率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学
习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司含0.3）所需的训练迭代轮数⾄少为（ ）
（参考数据： ， ）
A.14 B.15 C.16 D.17
8. 若 ，且 ，则下列不等式⼀定正确 是（ ）
A. B. C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每个⼩题给出的四个选项中，有多项是
符合题⽬要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 第三象限的⻆⼀定⼤于第⼆象限的⻆
B. 终边在 轴负半轴上的⻆的集合为
C. 若 是第三象限⻆，则 是第⼆或第四象限⻆
D. 函数 的零点是
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 的单调增区间为
B. 的图象关于直线 对称
C. 若 的定义域为R，则实数 的取值范围
D. 若 的值域为R，则实数 的取值范围
11. 已知定义在实数集上的函数 满⾜ ，且当 时， ，则下列说法
正确的是（ ）
A. 可以是
B. 是偶函数
C. 在区间 上的最⼩值为
D. 不等式 的解集为
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（⾮选择题 共92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知 ， ，则 __________.
13.“数折聚清⻛，⼀捻⽣秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从⼀个⼤圆中剪下⼀个扇
形 ，再在该扇形内剪下⼀个同⼼⼩扇形 （作为扇⻣留⽩)，形成扇环形状的扇⾯ .当扇⼦
扇形的圆⼼⻆为弧度 时，扇⾯看上去形状较为美观.已知 ，弧 的⻓为 ，则此
扇⾯的⾯积为__________ .（结果保留 ）
14. 已知正数 ， 满⾜ ，则 最⼤值是__________.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答题应写出⽂字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知函数 .
（1）判断 的单调性，并⽤定义证明；
（2）求使不等式 成⽴的 的取值集合.
16 已知集合 ，集合 .
（1）若 且 ，求 取值范围；
（2）若 ，且“ ， ”是真命题，求 的取值范围.
17.2025年8⽉8⽇⾄12⽇，由中国电⼦学会、世界机器⼈合作组织共同主办的2025世界机器⼈⼤会在北
京经济技术开发区北⼈亦创国际会展中⼼举⾏.现如今，机器⼈产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业
为抓住“机器⼈时代”带来的机遇，决定开发⽣产⼀⼤型电⼦设备，该设备分为 ， 两种型号，两种型号
均能满⾜需求.⽬前研发设备已经耗费资⾦3亿元，现在准备投⼊资⾦进⾏⽣产经市场调查与预测，⽣产 型
该设备的⽑利润 （亿元）与投⼊的资⾦成正⽐，⽐例系数 ；⽣产 型该设备的⽑利润 （亿元）
与投⼊的资⾦ （亿元）的函数关系为 ，其图象如图所示.
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求 与 的函数关系式；
（2）现在公司准备投⼊20亿元资⾦同时⽣产 ， 两种型号，设投⼊ 亿元⽣产 型号，⽤ 表示公
司所获净利润，当 为多少时，可以获得最⼤净利润？并求出最⼤净利润.
（净利润= 型⽑利润+ 型⽑利润 研发耗费资⾦）
18. 已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 .
（1）若实数 ， 满⾜ ，求关于 的不等式 的解集；
（2）若 ，求函数 在 上的最⼩值 的解析式；
（3）若 ， 对 恒成⽴，求实数 取值范围.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司级⾼⼀ ⽉学情检测
2025 12
数学（⼈教 版）试题
A
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请
在答题卡上作答.
第I卷（选择题 共58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. ⻆的终边在（ ）
A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】把 变成0到360度内的⻆即可判断.
【详解】因为 ，所以 ⻆的终边在第三象限.
故选：C.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数型复合函数定义域、绝对值不等式的求法可分别求得集合 ，由交集定义可得结果.
【详解】 ，
，
，即 .
故选：B.
3. 已知幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
A.4 B. C. D.4或
【答案】A
第1⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可.
【详解】因为函数 是幂函数，
则 ，解得 或 ，
⼜因为幂函数 在 上单调递增，则
所以 .
故选：A.
4. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ）
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可知 ，代⼊指定解析式得 ，
【详解】 是定义在 上的奇函数， ， 时， ，
所以 ， .
故选：D
5. 已知 ， ， ，则 ， ， 的⼤⼩关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数以及指数的单调性即可求解.
【详解】由于 ， ， ，
故 ，
第2⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：D
6. 已知函数 在 上不具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题函数为⼆次函数，在 上不具有单调性，则对称轴在区间中间，列不等式进⾏求解．
【详解】函数 图象的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上不具有单调性，
所以 ，解得 ．
故实数 的取值范围为 ．
故选：B.
7.Deepseek（深度求索）是⼈⼯智能的⼀种具有代表性的实现⽅法，它是以神经⽹络为出发点.在神经⽹络
优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每⼀轮优化时使⽤的学习率， 表示初始学习
率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学
习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不
含0.3）所需的训练迭代轮数⾄少为（ ）
（参考数据： ， ）
A.14 B.15 C.16 D.17
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列⽅程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性
质求解即可．
【详解】由于 ，所以 ，
第3⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司依题意 ，则 ，
则 ,由 ，
两边同时取对数可得 ， ， ，
，
即 ，所以所需的训练迭代轮数⾄少为15次．
故选：B
8. 若 ，且 ，则下列不等式⼀定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 ，得到 为递减函数，化简得到 和
，转换为 ，转化为 ，结合 的单调
性，即可求解.
【详解】令 ，因为 和 在 上都是递减函数，
所以 在 上是递减函数，
⼜由 ，
因为
⼜因为 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即
因为 在 上是递减函数，可得 ，所以⼀定成⽴的是 .
故选：A.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每个⼩题给出的四个选项中，有多项是
符合题⽬要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分.
第4⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司9. 下列说法正确的是（ ）
A. 第三象限的⻆⼀定⼤于第⼆象限的⻆
B. 终边在 轴负半轴上的⻆的集合为
C. 若 是第三象限⻆，则 是第⼆或第四象限⻆
D. 函数 的零点是
【答案】BC
【解析】
【分析】利⽤赋值法可判断A；根据⻆的终边可直接得到⻆的集合，判断B选项；根据象限⻆的范围求得
的范围，结合象限⻆的范围判断C选项；求得函数的零点判断D选项.
【详解】对于A， 是第三象限⻆， 是第⼆象限⻆，但 ，故A错误；
对于B，终边在 轴负半轴上的⻆的集合为 ，故B正确；
对于C，若 是第三象限⻆，则 ，则 ，
当 时， ，所以 是第四象限⻆，
当 时， ，所以 是第⼆象限⻆，故C选项正确；
对于D，令 ，得 ，解得 ，
所以函数 零点是 .故D选项错误.
故选：BC.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 的单调增区间为
B. 的图象关于直线 对称
C. 若 的定义域为R，则实数 的取值范围
D. 若 的值域为R，则实数 的取值范围
第5⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】ABC
【解析】
【分析】利⽤复合函数的单调性可判定A项，利⽤抽象函数的对称性性质可判定B项，根据⼆次函数恒能
成⽴可判定C、D项
【详解】对于A项，当 时， ，
令 得 或 ，
⽽由⼆次函数的单调性可知 的单调递增区间为 ，
根据复合函数同增异减的性质知 的单调增区间为 ，故A正确；
对于B项，易知 ，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C项，若 的定义域为R，则 在R上恒成⽴，
所以 ，即 ，故C正确；
对于D项，若 的值域为R，则 在R上有解，即 ，
解得 ，故D错误.
故选：ABC
11. 已知定义在实数集上的函数 满⾜ ，且当 时， ，则下列说法
正确的是（ ）
A. 可以是
B. 是偶函数
C. 在区间 上的最⼩值为
D. 不等式 的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据定义域判断A，利⽤赋值法结合偶函数的定义判断B正确.判断出函数的单调性后可判断C错
误，根据单调性和偶函数结合对数函数的单调性求出不等式的解后判断D.
第6⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】对于选项A:不满⾜定义域是全体实数,故A错误.
对于选项B: 令 ,则有 ，故 .
令 ,则 ，故 .
令 ,有 ，故 是偶函数，故B正确.
对于选项C:令 ,则有 ,
当 时, ,所以 ,即 在 单调递增,
⽽ 为偶函数，故 在 上单调递增,
故当 ,则 在 单调递减,所以最⼩值应为 .故C错误.
对于选项D:因为 是偶函数,所以 ,
从⽽有 或 ,解得 或 .故D正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷（⾮选择题 共92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知 ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数与对数的运算性质来求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以： ，因此 ，
所以： ，
，
所以： .
故答案为： .
第7⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司13.“数折聚清⻛，⼀捻⽣秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句.如图，假设这把折扇是从⼀个⼤圆中剪下⼀个扇
形 ，再在该扇形内剪下⼀个同⼼⼩扇形 （作为扇⻣留⽩)，形成扇环形状的扇⾯ .当扇⼦
扇形的圆⼼⻆为弧度 时，扇⾯看上去形状较为美观.已知 ，弧 的⻓为 ，则此
扇⾯的⾯积为__________ .（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】⾸先根据弧⻓公式计算扇形 的半径 ，再利⽤扇形⾯积公式计算扇形 和扇形 的
⾯积，最后相减即可.
【详解】在扇形 中，弧 的⻓为 cm，圆⼼⻆ ，
由弧⻓公式 得： ，
解得： ，
由扇形⾯积公式 得：
扇形 的⾯积为： ，
扇形 的⾯积为： ，
所以扇⾯的⾯积为： ，
故答案为： .
14. 已知正数 ， 满⾜ ，则 的最⼤值是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】通过 “变量替换（⽐值法）” 将⼆元问题转化为⼀元函数的最值问题，然后由“判别式法”求得最⼤
值.
第8⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】设 ，即 ，
则 ，
∵关于 的⼆次三项式 的判别式 ，即 恒成⽴，
∴ ，
则 ， ，
∴ ，
令 ，则 ，⽅程⼀定存在正根，
则 ，
即 ，解得 ，
当 时，⽅程整理为 即 ，符合题意，
∴ 的最⼤值为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答题应写出⽂字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知函数 .
（1）判断 的单调性，并⽤定义证明；
（2）求使不等式 成⽴的 的取值集合.
【答案】（1）函数 单调递增，证明⻅解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义进⾏证明即可.
第9⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）先求出 解，然后根据函数的单调性求出不等式的解集即可.
【⼩问1详解】
函数 单调递增，证明：
设 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以函数 单调递增.
⼩问2详解】
令 ，则 ，化简得 ，解得 .
由（1）知函数 单调递增，所以要使得不等式 成⽴，
则 ，所以使不等式 成⽴的 的取值集合为 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）若 且 ，求 的取值范围；
（2）若 ，且“ ， ”是真命题，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合属于和不属于关系列式求解即可；
（2）根据 ，可得 ，分析可知 ，结合包含关系列式求解即可.
【⼩问1详解】
因为集合 ，且 且 ，
则 ，解得 ，
第10⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 .
【⼩问2详解】
由题意可知：集合 ，
因为 ，则 ，解得 ，
⼜因为“ ， ”是真命题，可知 ，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
17.2025年8⽉8⽇⾄12⽇，由中国电⼦学会、世界机器⼈合作组织共同主办的2025世界机器⼈⼤会在北
京经济技术开发区北⼈亦创国际会展中⼼举⾏.现如今，机器⼈产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业
为抓住“机器⼈时代”带来的机遇，决定开发⽣产⼀⼤型电⼦设备，该设备分为 ， 两种型号，两种型号
均能满⾜需求.⽬前研发设备已经耗费资⾦3亿元，现在准备投⼊资⾦进⾏⽣产经市场调查与预测，⽣产 型
该设备的⽑利润 （亿元）与投⼊的资⾦成正⽐，⽐例系数 ；⽣产 型该设备的⽑利润 （亿元）
与投⼊的资⾦ （亿元）的函数关系为 ，其图象如图所示.
（1）求 与 的函数关系式；
（2）现在公司准备投⼊20亿元资⾦同时⽣产 ， 两种型号，设投⼊ 亿元⽣产 型号，⽤ 表示公
司所获净利润，当 为多少时，可以获得最⼤净利润？并求出最⼤净利润.
（净利润= 型⽑利润+ 型⽑利润 研发耗费资⾦）
第11⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 时，可以获得最⼤净利润 亿元.
【解析】
【分析】（1）由函数图象知图象经过的点坐标，将点坐标代⼊函数解析式，即可求得参数，即可求得解析
式；
（2）由题意写出 与 的函数关系式，由净利润公式写出表达式，通过换元将函数转变为⼆次函数，由⼆
次函数的对称轴求得最⼤值；
【⼩问1详解】
由函数图象可知，函数图象经过 ，
∴ ，解得 ，
∴
【⼩问2详解】
由题意可知 ，
则 ，
设 ，则 ，
∴函数 ，
函数 开⼝向下，且对称轴为 ，
则 ，
当 ，即 时，函数 取最⼤值 .
即当投⼊ 亿元⽣产 型号时，可以获得最⼤净利润 亿元.
18. 已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
第12⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性定义进⾏解答即可.
（2）将不等式进⾏化简，根据对数函数 性质求出解集即可.
⼩问1详解】
为奇函数.证明：
要使函数 有意义，则 ，解得 .
所以 的定义域为 ，关于原点对称.
⽽ ，所以 为奇函数.
【⼩问2详解】
由（1）知 为奇函数，所以 .
由 可得 .
函数 在 上都意识递减，
则 在定义域 上是减函数，所以需满⾜ ，
解得 .
19. 已知函数 .
（1）若实数 ， 满⾜ ，求关于 的不等式 的解集；
（2）若 ，求函数 在 上的最⼩值 的解析式；
（3）若 ， 对 恒成⽴，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案⻅解析；
第13⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）含参数分类讨论解不等式计算即可；
（2）利⽤⼆次函数的性质，分类讨论b的范围计算即可；
（3）根据指数函数、⼆次函数、对勾函数的单调性结合换元法计算即可.
【⼩问1详解】
由 得 ，
若 ，则 ；
若 ，则不等式解集为 ；
若 ，则不等式解集为 ；
若 ，则不等式解集为 或 ；
综上所述： 时，不等式解集为 ， 时，不等式解集为 ，
时，不等式解集为 ， 时，不等式解集为 或 ；
【⼩问2详解】
若 ，即 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，即 时，则 ，
第14⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司若 ，即 时，则 ，
若 ，即 时，则 ，
综上 ；
【⼩问3详解】
若 ，即 ，
所以 ，
令 ，易知 时， ，设 ，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，所以 ，
故 对 恒成⽴等价于
对 恒成⽴，
由⼆次函数的性质可知 ，所以 ,
即
第15⻚/共15⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
