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格致课堂
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
一、选择题
1.设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA
＝4i＋2j，则OA的坐标是( )
A．(4，－2) B．(4,2)
C．(2,4) D．(-4,8)
【答案】B
【解析】因为OA＝4i＋2j，所以OA＝(4,2)，故选B。
2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
【答案】C
【解析】记O为坐标原点，则OA＝2i＋3j，OB＝4i＋2j，所以AB＝OB－OA＝2i－j.故选C。
3.已知AB＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
【答案】D
【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．故选D。
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(
)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】x2＋x＋1＝2＋＞0，
x2－x＋1＝2＋＞0，
所以向量a对应的坐标位于第四象限．故选D。
5. （多选题）下列说法正确的是（ ）
A.相等向量的坐标相同；
B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
C.一个坐标对应唯一的一个向量；
D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。
【答案】ABD
【解析】由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误。所以选ABD.格致课堂
i⃗ =(1,0)，⃗j=(0,1) ⃗a
6.（多选题）已知向量 ，平面内的任意向量 ，下列结论中错误的是（ ）
⃗a=(x,y)
A.存在唯一的一对实数x，y，使得 。
x ,x ,y ,y ∈R,⃗a=(x ,y )≠(x ,y ), x ≠x ,y ≠y
B.若 1 2 1 2 1 1 2 2 则 1 2 1 2。
x,y∈R，⃗a=(x,y) ⃗a≠0⃗ ⃗a
C.若 ，且 ，则 的起点是原点O。
x,y∈R，⃗a≠0⃗ ⃗a (x,y) ⃗a=(x,y)
D.若 ，且 的终点坐标是 ，则 。
【答案】BCD
⃗a=(1,0)≠(1,3)
【解析】由平面向量基本定理，可知A中结论正确； ，但1=1，故B中结论错误；
⃗a=(x,y) ⃗a ⃗a
因为向量可以平移，所以向量 与向量 的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当
(x,y) ⃗a=(x,y) ⃗a
的终点坐标是 时， 是以 的起点是原点为前提的，故D中结论错误。故选BCD。
二、填空题
7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基
底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
【答案】(，)
【解析】由题意知
a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j＝(，)．
8.若向量 与 相等，则 =_________.
【答案】-1
【解析】因为 ，所以 =0且 =2，解得 .
9.如图,在6×6的方格中,已知向量 的起点和终点均在格点,且满足向量 ,
那么 _______.格致课堂
【答案】3
【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为
则 ,
又因为 ,
所以 ,解得
所以
答案为3.
10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为 ，向量OA
的坐标为________．
【答案】(－，1) (－，1)
【解析】设A(x，y)，
∴x＝|OA|cos 150°＝2×＝－，y＝|OA|sin 150°＝2×＝1，
所以点A 的坐标为(－，1)．
∴OA的坐标为(－，1)．
三．解答题
11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，
j是y轴上的单位向量，试求AC和BD的坐标．
【解析】 由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，格致课堂
因为AB＝4，AD＝3，
所以AC＝4i＋3j，
所以AC＝(4,3)．
又BD＝BA＋AD＝－AB＋AD，
所以BD＝－4i＋3j，
所以BD＝(－4,3)．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝a，AB＝
b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量BA的坐标；
(3)求点B的坐标．
【解析】 (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
∴C，
∴AB＝OC＝，
即b＝.
(2)BA＝－AB＝.
(3)OB＝OA＋AB＝(2，2)＋格致课堂
