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2024-2025 学年安徽省皖南八校高一下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 ，则 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 =(1−2 )(3B−.第2 二) 象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在三棱台 ′ ′′中，截去三棱锥 ′ ′′，则剩余部分是( )
A.三棱锥 − B .三棱台 C.−四 棱锥 D.三棱柱
3. ， 是平面内不共线的两向量，已知 ， ， ，若 ， ， 三点
共线 1 ， 则 2 的值为( ) = 1 − 2 =3 1 +4 2 =4 1 + 2
A. B. C. D.
7 7
−2 2 −3 3
4.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，若满足条件的 有两个，则
的值可能 △ 为 ( ) = 4 =10 △
A. B. C. D.
5.已7知 ， 是两个单位向量，5 且2向量 在向量9 上的投影向量为 10，则向量 ， 的夹角 ( )
+4 3 =
A. B. C. D.
6.如3 图，一块三角形铁皮，其4一角已破裂，小明为6了了解原铁皮的规格 − ，3现测得如下数据： ，
， ， ，则破裂的断点 ， 两点间距离为( ) =20 3
=10 =14 = = 6
A. B. C. D.
7.如10图，3 有 两个相同的直三棱15柱 ，高为 ，底面三1角0 形2的 三边长分别为14 ， ， ，用这两个三棱柱拼成一个
三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表1 面积不可能为( ) 3 4 5
A. B. C. D.
36 38 40 42
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1 88.已知 中， ， ， 是 外接圆的圆心，则 的最大值为( )
△ = 3 ∠ = 3 △ ⋅ − ⋅
A. B. C. D.
二、1多选题：本题共3小题，共3 18分。在每小题2给出的选项中，有多2项符3合题目要求。
9.已知向量 ， ，则下列选项正确的是( )
A. ， 能作 为=平(1面,3内) 所 有=向(2量,−的4一)组基底
B.
C.( + )⊥
D.
| ，+2的 夹|=角1为0
3
10. 已知 ， 为复4 数，则下列说法正确的是( )
A.若 1 2 ，则 B.若 ，则
2 2
C.若| 1|=| 2| ，则 1 = 2 D. | 1− 2|=0 1 = 2
11.如 图1+， 一2 >圆0锥的侧 面2 >展−开 1图中， ，弧 | 长1 为2|= | 1||， 2则| 下列说法正确的是( )
=3 2 3
A.该圆锥的侧面积为
B.该圆锥的体积为 3 3
C.该圆锥可以整体放6入 半径为 的球内
7
D.该圆锥可以整体放入边长为4 的正方体中
三、填空题：本题共3小题，每2小2题5分，共15分。
12.在复平面内，向量 对应的复数 ， 绕点 逆时针旋转 后对应的复数为 ，则
∘
． 1 =1+2 90 2
| 1− 2|=
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2 813.如图， ′ ′ ′为水平放置的 的直观图，其中 ′ ′ ，′ ′ ′′ ，则
的面积为△ ． △ =2 = = 5 △
14.有长度分别为 ， ， ， 的线段各 条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为 的四边形，
如图， ， 1 2 ，3 4 ， 1 ，则组成的四边形 面积的最大值为 ．10
=1 =3 =2 =4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知(复数 和1它3的共) 轭复数 满足 ．
求 3 + =4+4
(1)若 ;是关于 的方程 的一个根，求复数 的模长．
2
(126). 本 小题 分 + + =0( , ∈ ) +
( 15 )
记 的内角 ， ， 的对边长分别为 ， ， ，已知 ．
cos + cos
△求 2 = cos
(1) ;
若 ， ，求 的面积．
6
( 1 2 7 ). 本 小=题1 sin分 +sin = 2 △
如图(，已知圆15台的)轴截面为梯形 ， ， ，梯形 的面积为 ．
=4 =2 6 2
求圆台的体积
(1)在圆台的侧面上; ，从点 到点 的最短路径长度是多少
(2) ?
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3 818. 本小题 分
( 17 )
在平行四边形 中， ， ， ， 是线段 的中点，点 在直线 上，且
． =4 =6 ∠ = 3 = (−
1≤ ≤ 1)
当 时，求 的值
1
(1) =3 ⋅ ;
当 时， 与 交于点 ， ，求 的值
1
(2)
求
=2
的最
小值
．
= + − ;
(139). 本 小 ⋅题 分
在平(面直角坐17标系) 中，对于非零向量 ， ，满足 ，则称
| 1 2− 2 1|
=( 1, 1) =( 2, 2) ( , )= 2 2 2 2 ( , )
为这两个向量的“协方差”． 1+ 1⋅ 2+ 2
若 ，证明： ．
(1)已知 (向 , 量 )=，0 的夹角为 //， 向量 ， 的夹角为 ，且 证明： ．
(2)在 中 ， 线段 ， 1 为 的 两条内角 平2 分线 ，( 点 , )，= 分( 别, 在). ， sin边 上1 =，sin 2 ，且
∘
(3) △ ，求 △ =60 3 ⋅
=2 ⋅ ( , ).
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4 8参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13. 10
14.4 2
15.2解：6 设 ，
则 (1) ， = + ( , ∈ )
则 = − ，
3 + =3( + )+( − )=4 +2 =4+4
所以 ，解得 ， ，
4 =4
=1 =2
故 ；
2 =4
=1是+关2于 的方程 的一个根，
2
(2)是∵关 于 的方 程 + + =0( , ∈的 另) 一个根，
2
∴ + + =0( , ∈ )
，解得 ， ，
1+2 +1−2 =−
∴ =−2 =5
(1+2 )(1−2 )= ．
∴16|. 解+： |=|5−2 | = 29 ，
(1) ∵ 2 cos = cos + cos ，
∴ 2sin cos， =sin cos +sin cos = sin ( + )= sin
∵ ≠0
得 ，
1
又cos =2，
∈(0, )
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5 8则 ．
= 3
， ，
(2 由 ) 正 ∵ 弦 = 定3理得 =1 ，
1 2
∴ sin =sin =sin = 3 = 3
2
则 ， ，
2 2
sin = 3 sin = 3
，
6
∵ sin +sin = 2
，
2 2 6
∴得 3 + 3 =，2
由余 +弦 定=理得2 ，
2 2
1= + −2 cos 3
得 ，
1
=3
则 的面积 ．
1 3
17 △ .解 ： 由 =2， sin =，1得2圆台的下底面的半径为 ，上底面的半径为 ，
(1) =4 =2 =2 =1
设圆台的高为 ，则 ，所以 ，
1
ℎ 2×(2+4)⋅ℎ =6 2 ℎ=2 2
所以圆台的体积为 ．
1 2 2 1 2 2 14 2
=3( + + ) ℎ=3(1 +2 +1×2) ⋅2 2= 3
在梯形 中， ，即母线长为 ．
2 2
(如2)图，由圆 台 性 质， 延 长= ，(2−，1) +(交2于2点) =，3 3
1
由 与 相似，得 ，即 ，解得 ．
1
△ △ + = +3=2 =3
设该圆台的侧面展开图的圆心角为 ，则 ，所以 ，
2
在侧面展开图中，连接 ， ，则 从点 3 到 = 的 2 最 短 = 路 2 径 为线段 =，3
又在 中， ， ， ，
1 2
△ =3 =6 ∠ =2× 3 =3
由余弦定理得 ，所以 ．
2 2 2 2 2 1
验证知，由 = ， + ， −2 ⋅ ， c 得 os3 = 6，此+3时−2×6×，3恰×与2扇=形3弧3 所在圆相切
2 2 2
=3 =6 =3 3 = + ⊥
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6 8于点 ，满足题意．
18.解：
2 2
1 1 1 1 5
(1) ⋅ =( + )⋅( − )=( +3 )⋅(2 − )= 2 −3 −6 ⋅ =
．
16 5 8
18− 3 −6×12= 3
当 时， ，即 为 的中点，因为 ， ， 三点共线，设 ，则
1 1
(2) =2 =2 = = + = +
因为 ， ， 三点共线，设 ，则
1−
= + ( − )=(1− ) + = 2 + = =
，又 ， 不共线，根据平面向量基本定理得，
1−
1 = 2 ,
= ( + )= ( +2 )= +2 1
2 = ,
解得 所以 ，又 ，则 所以
1 1
=5, 1 2 =5, 1 2 1
2 =5 +5 = + 2 − =5−5=−5
因为
=5, =5， ,
1
(3) = + + =− + + =( −1) + = + =2 + = +
，
1
2
所以
2 2
1 2 1 3 1 2
⋅ =[( −1) + ]⋅( +2 )=( − ) +2 +(2 −2) ⋅ =( − )×
，因为 ，所以
2 1 2 3 1 1 2 2
4 +2×6 +(2 −2)×4×6×2=16( − )+18+18 −6=16 +2 +12 ∈ [−1,1]
当 时， 取得最小值，且最小值为 ．
2 1 191
=−2×16=−16 ⋅ 16
19. 证明：因为 ， ，由题意得 ，
| 1 2− 2 1|
所以(1) ( ， 即 )=0 ， 1 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 2 2 =0
因为| ，1 2为−非 2零 1向|=量0， 1 2− 2 1 =0
所以
证 明//： ;因为 ， ，
1 2+ 1 2
(2) cos 1 = 1 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 2 2 1 ∈[0, ]
所以 ， ，
2 2 2 2 2
2 ( 1+ 1)( 2+ 2)−( 1 2+ 1 2) | 1 2− 2 2|
sin 1 = 1−cos 1 = 2 2 2 2 = 2 2 2 2 = ( )
1+ 1⋅ 2+ 2 1+ 1⋅ 2+ 2
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7 8同理 ， ，
因为sin ，2 = ( ， ) ，所以 ．
因 为( )= ( ) ，sin 1 =sin 2
(所3)以 3 ⋅ =2 ⋅ ，
所以3| |⋅| |⋅c，os∠ =2| |⋅| |⋅cos∠
设 3| |=，2则| | ，
∘
∠ = ∠ =60 +
在 中，由正弦定理，得 ，
| | sin 2
△ | | =sin(60 ∘ + )=3
解得 ，则 ， ，
3 21 2 7
tan = 2 sin = 7 cos = 7
故 ，
4 3
sin∠ =sin2 =2sin cos = 7
所以 ．
4 3
( , )= sin∠ = 7
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8 8
