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格致课堂
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
线面垂直性质定理的应用 1,2,4,5,7,8
空间距离 3,6
综合应用 9,10,11,12
基础巩固
1．已知直线 平面 ，直线 ，则（ ）
A． B．
C． 异面 D． 相交而不垂直
【答案】A
【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 ，
故选A
2．如图，点 ，点 ，点 ， ， 是 内异于 和 的动点，且 ，则动
点 在平面 内所组成的集合是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．半圆 D．半圆，但要去掉两个点
【答案】B格致课堂
【解析】连接 ， ，由于 ， ，
所以 平面 ， 平面
所以 ，说明动点 在以 为直径的圆上，
但不与点 重合.所以B正确
故选：B
3．在长方体 中，M，N分别为 ，AB的中点， ，则MN与平面 的
距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】如图，
BC ,又 平面 ， 平面 .
1
∴MN与平面 的距离为N到面 的距离.又N到平面 的距离为 .
∴MN与平面 的距离为2.
故选：C
4．如图， ，点 ，点 ，且 ， ，那么直线l与直线 的关系是
（ ）格致课堂
A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定
【答案】C
【解析】 ， ， ， ；
同理 ；
又 ， 平面 .
平面 ， .
故选：C.
5．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】∵BD是菱形ABCD的一条对角线，菱形对角线互相垂直，
∴AC⊥BD.
∵MC⊥平面ABCD，
∴MC⊥BD，
∵MC和AC相交于点C，
∴BD⊥平面ACM，
∵MA 平面AMC，
∴MA⊂⊥BD.
又∵MA与BD是异面直线，格致课堂
∴MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
故选C.
6．在长方体 中，E，F，G，H分别为 ， ， ， 的中点， ，则
平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
【答案】2
【解析】如图
平面A BCD//平面EFGH
又 平面 .
平面ABCD与平面EFGH的距离为 .
故答案为：2
7．已知矩形 的边 ， 平面 .若 边上有且只有一点 ，使
，则 的值为______.
【答案】
【解析】 平面 ， 平面 ， .格致课堂
边上存在点 ，使 ，且 ， 平面 .
平面 ，
∴以 为直径的圆和 有公共点.
，∴圆的半径为 .
∴点 是唯一的， 和半径为 的圆相切， ，即 .
故答案为： ．
8．如图， 平面 ， 平面 ， ， 分别为 ， 上的点，且 .求证：
.
【答案】证明见解析
【解析】∵ 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面
∴ ， ， .格致课堂
又 ， 平面
∴ 平面 .
又 ， ，
平面 ∴ 平面 ，
∴ // ，∴ .
能力提升
9．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB
的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正
确的是( )
A．①② B．①②③ C．① D．②③
【答案】B
【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
又PC 平面PAC，∴BC⊥PC，对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，
∵PA ⊂平面PAC，OM 平面PAC，
∴OM⊂∥平面PAC，对⊄于③，由①知BC⊥平面PAC，
∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
10．如图，在直角梯形 中， ， ， 、 分别是 、 的中点，将三角形
沿 折起，则下列说法正确的是______________.格致课堂
（1）不论 折至何位置（不在平面 内），都有 平面 ；
（2）不论 折至何位置，都有 ；
（3）不论 折至何位置（不在平面 内），都有 ；
（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使 .
【答案】（1）（2）（4）
【解析】
折叠后如图，分别取 中点 ，连接 ，易知 是 的交点，因此 也是
中点，而 别是 的中点，
∴ ， ，∴ 是平行四边形，∴ ，
平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．（1）正确；
折叠过程中 保持不变，又 ，所以 平面 ，从而 ，格致课堂
所以 ，（2）正确；
若 ，则 共面，即 共面，从而直线 共面，这样 在平面 也
即在平面 内，矛盾，（3）错误；
当 时，又 ，而 ，∴ 平面 ， 平面 ，所以
．（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．
11．如图所示，已知 平面 ，四边形 为矩形，四边形 为直角梯形，
， // ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在直角梯形 中，
， ，则 ，
所以 ，故 .
因为 平面 ， // ，格致课堂
所以 平面 ，所以 .
又 平面 ， ，
所以 平面 .
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，所以 .
又 平面 ， ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
素养达成
12．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）详见解析（2） ．格致课堂
【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
连结OB．因为AB=BC= ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2．
由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
