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第二章 直线和圆的方程（复习小结）（B提高练）
一、选择题
1．（2020重庆四中高二期中）设 为直线 与圆 的两个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心 到直线的距离 ,
所以直径 ②直线与圆联立方程,由弦长公式 来求得 .故选D.
2．（2020湖南衡阳五中高二月考）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，
则|PQ|的最小值为 ( )
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x＝－3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，－1)到直线x
＝－3的距离减去半径2，即最小值为4，故选B.
3．（2020全国高二课时练）已知直线 ： 是圆 的对称轴.
过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】直线l过圆心 ，所以 ，所以切线长 .
4．（2020山东泰安一中高二月考）一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线的斜率为 ，则
反射光线所在直线方程为： ，即： .
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： ，或 ,故选D．
5．（多选题）（2020·江苏建邺高二期中）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 恒过定点
B．圆 ： 的圆心到直线 的距离为2
C．圆 ： 与圆 ： 恰有三条公切线
D．两圆 与 的公共弦所在的直线方程为：
【答案】AC
【解析】对于A选项，当 时 ，所以直线过定点 ，故A选项正确.对于B选项，圆 的圆心
为 ，到直线 的距离为 ，所以B选项错误.对于C选项，圆 的圆心为
，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 .圆心距为 ，所以两圆
外切，故恰有三条公切线，故C正确.对于D选项，由 两式相减并化简得，所以D选项错误.综上所述，正确的选项为AC.故选：AC
6.（多选题）（2020山东枣庄高二月考）已知 分别为圆 ： 与圆 ：
上的动点， 为 轴上的动点，则 的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】CD
【解析】圆 ，关于 轴对称的圆为圆 ，则 的
最小值为 ，又 ，故选： .
二、填空题
7．（2020·天津高考真题）已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，由 可得
，解得 ．
8．（2020辽宁盘锦四中高二期中）设点M（ ,1），若在圆O: 上存在点N，使得
∠OMN=45°，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，过OA⊥MN，垂足为A，在 中，因为∠OMN=45，所以 = ，
解得 ，因为点M（ ,1），所以 ，解得 ，故 的取值范围是
.
9．（2020·南京市秦淮中学高二期中）已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则
m的值为_____，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．
【答案】0或2； ．
【解析】由题意，直线mx﹣y＝1与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，所以m×1+（﹣1）×m（m﹣1）＝0，解
得m＝0或m＝2；动直线l：mx﹣y＝1过定点（0，﹣1），圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0化为（x﹣1）2+y2＝9，
圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣1＝0的距离的最大值为 ，
所以动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x2﹣2x+y2﹣8＝0截得的最短弦长为 ．
故答案为0或2； ．
10．（2020山东菏泽三中高二月考）在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为
__________．
【答案】
【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径
的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：
（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，
即3k2≤4k，∴0≤k≤ ，故可知参数k的最大值为 .
三、解答题
11.（2020山东泰安实验中学高二期末）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1
交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由 ，解得： ．
故当 ，过点A（0，1）的直线与圆C： 相交于M，N两点．
（2）设M ；N ，
由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程 ，
可得 ，∴ ，
∴ ，
由 ，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2
12．（2020湖北襄阳高二月考）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规
划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A
到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向
170 m处(OC为河岸),tan∠BCO= .
（1）求新桥BC的长;
（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
【解析】
（1）如图，以 为 轴建立直角坐标系，则 ，由题意 ，直线 方程为 ．
又 ，故直线 方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以 ；
（2）设 ，即 ，由（1）直线 的一般方程为 ，
圆 的半径为 ，由题意要求 ，
由于 ，因此 ，
∴ ∴ ，
所以当 时， 取得最大值 ，此时圆面积最大．
