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1993 年河北高考文科数学真题及答案
一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）2
（2）函数 的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是 时，圆锥的轴截面顶角是
（A）450 （B）600 （C）900 （D）1200 （ C ）
（4）当 时， 的值等于 （ D ）
（A）1 （B）-1 （C）i （D）-i
（5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是
（A）三棱锥 （B）四棱锥 （C）五棱锥 （D）六棱锥 （ D ）
（6）在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB （ B ）
（A）有最大值 和最小值0 （B）有最大值 ，但无最小值
（C）即无最大值也无最小值 （D）有最大值1，但无最小值
（7）在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则
（ B ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）
（8） 是偶函数，且 不恒等于零，则
（ A ）
第1页 | 共7页（A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数
（9）设直线 与y轴的交点为P，点P把圆 的直径分为两段，
则其长度之比为 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（10）若 是任意实数，且 ，则 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（11）已知集合 ，那么 为区
间 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（12）一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为
（ C ）
（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆
（13）若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则 （ D ）
（A）ab>0,bc>0（B）ab>0,bc<0（C）ab<0,bc>0 (D)ab<0,bc<0
（14）如果圆柱轴截面的周长 为定值，那么圆柱体积的最大值是
（ A ）
（A） （B） （C） （D）
（15）由 展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有
（ B ）
（A）50项 （B）17项 （C）16项 （D）15项
（16）设 都是正数，且 ，那么 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
第2页 | 共7页则四张贺年卡不同的分配方式有 （ B ）
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
（18）在正方体ABCD-ABCD中，M、N分别为棱AA和BB的中点（如图）。若 为直线CM
1 1 1 1 1 1
与DN所成的角，则 （ D ）
1
D C A
D C 1 1 1
（A） （B） 1 1
A B
1 1
（C） （D）
M N B
1
二．填空题：本大题共6小题;每小题3分，共18分。 把答案 D 1 C 1 A 1
D C D C A
填在题中横线上。 B
A B
（19）抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长 为 ，
B
1 D C A
则焦点到AB的距离为________________. 1 1 1
D C A
[答]：2
B
（20）在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，
B
1
且其轴截面顶角为1200。若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________m（精确
D C A
到）.
B
[答]：
（21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共
_________种（用数字作答）.
[答]：4186
（22）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价每平方米分
别为120元和80元，那么水池的最低造价为_______元.
[答]：1760
（23）设 ，则 =__________
[答]：1
（24）设 ____________
[答]：-1
三．解答题：本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。
第3页 | 共7页（25）（本小题满分8分）
解方程
解：原方程可化为
（26）（本小题满分8分）
已知数列 S 为其前n项和，计算得
n
观察上述结果，推测出计算S 的公式，并用数学归纳
n
法加以证明。
解：
证明如下：
（1）当n=1时， 等式成立。
（2）设n=k时等式成立，即
第4页 | 共7页由此可知，当n=k+1时等式也成立
根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。
（27）（本小题满分10分）
如图，ABC-ABC是直三棱柱，过点A、B、C 的平面和平面ABC的交线记作L。
1 1 1 1 1
（Ⅰ）判定直线AC 和L的位置关系，并加以证明;
1 1
（Ⅱ）若AA=1，AB=4，BC=3，∠ABC=900，求顶点A 到直线L的距离。
1 1
解：（Ⅰ）L∥AC 证明如下：
1 1
A
1
根据棱柱的定义知
平面A 1 B 1 C 1 和平面ABC平行。 C 1
B
由题设知直线 1
A D
AC=平面ABC∩平面ABC，
1 1 1 1 1 1 1
E
直线L=平面ABC∩平面ABC， 根据两平
1 1 1 1 1 L C
面平行的性质定理 B
有L∥AC
1 1
（Ⅱ）过点A 作AE⊥L于E，则AE的长为点A 到L的距离。连接AE，由直棱柱的定义知
1 1 1 1
AA⊥平面ABC
1
∴直线AE是直线AE在平面ABC上的射影。
1
又L在平面ABC上，根据三垂线定理的逆定理有AE⊥L
由棱柱的定义质AC∥AC，又L∥AC，∴L∥AC
1 1 1 1
作BD⊥AC于D，
则BD是Rt△ABC斜边AC上的高，且BD=AE，
从而
在Rt△AAE中，∵AA=1，∠AAE=900，
1 1 1
第5页 | 共7页∴
故点A 到直线L的距离为
1
（28）（本小题满分10分）
在面积为1的△PMN中， .建立适当的坐标系，求出以M，N为焦
点且过点P的椭圆方程。
解：建立直角坐标系如图：
以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴
设所求的椭圆方程为
分别记M、N、P点的坐标为
Y
（-c,0),(c,0)和(x,y)
0 0
∵tgα=tg(π-∠N）=2
∴由题设知
解得
P
α
M O N X
在△PMN中，MN=2c MN上的高为
∴S =
△PMN
第6页 | 共7页故所求椭圆方程为
（29）（本小题满分12分）
设复数 求 。
解：
第7页 | 共7页
