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期末模拟卷3
一．选择题（共8小题）
1．复数z满足z（1+i）＝1﹣i，则z的虚部等于（ ）
A．﹣i B．﹣1 C．0 D．1
2．在一个随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，
0.4，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B+C是互斥事件，也是对立事件
B．B+C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A+B与C+D是互斥事件，但不是对立事件
D．A+C与B+D是互斥事件，也是对立事件
3．已知△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝ ，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，非零向量 ， ，且BC⊥OA，C为垂足，若 ，则 ＝（ ）
λ
A． B． C． D．
5．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，
只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为 、s2，新平均分和新方差分别为 、
s 2，若此同学的得分恰好为 ，则（ ）
1
A． ＝ ，s2＝s 2 B． ＝ ，s2＜s 2
1 1
C． ＝ ，s2＞s 2 D． ＜ ，s2＝s 2
1 16．如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 OA'B'C'，且直观图
OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
7．某实验单次成功的概率为0.8，记事件A为“在实验条件相同的情况下，重复 3次实验，
各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件 A
的概率：先由计算机给出0～9十个整数值的随机数，指定0，1表示单次实验失败，
2，3，4，5，6，7，8，9表示单次实验成功，以3个随机数为组，代表3次实验的结果
经随机模拟产生了20组随机数，如表：
752 029 714 985 034
437 863 694 141 469
037 623 804 601 366
959 742 761 428 261
根据以上方法及数据，估计事件A的概率为（ ）
A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.904
8．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球面上，且 PA⊥平面ABC，AB＝2，AC＝1，
∠ACB＝90°，若该棱锥的体积为 ，则此球的表面积为（ ）
A．16 B．20 C．8 D．5
二．多选题π （共4小题） π π π
9．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的
产品质量，公司质监部要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ）
A．应采用分层随机抽样抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
10．下列叙述中，正确的是（ ）A．若| |＝0，则 ＝0 B．若| |＝0，则 ∥
C．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ D．若 ＝ ， ＝ ，则 ＝
11．雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示
多变量数据的图形方法．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满
分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽
象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）
A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
12．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，P在线段BC （含端点）上运动，则下
1 1 1 1 1
列判断正确的是（ ）
A．A P⊥B D
1 1
B．三棱锥D ﹣APC的体积不变，为
1C．A P∥平面ACD
1 1
D．A P与D C所成角的范围是
1 1
三．填空题（共4小题）
13．如表为武汉市2018年月平均降水量：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均降水 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6
量/cm
则武汉市2018年月平均降水量的三个四分位数分别为 cm， cm，
cm．
14．已知i是虚数单位，则 ＝ ．
15．已知等边△ABC，D 为 BC 中点，若点 M 是△ABC 所在平面上一点，且满足
，则 ＝ ．
16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得
到的（如图）．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石
凳的表面积是 cm2．
四．解答题（共6小题）
17．设 ＝（2，0）， ＝（1， ）．
（1）若（ ﹣ ）⊥ ，求实数 的值；
λ λ
（2）若 ＝x +y （x，y R），且| |＝2 ， 与 的夹角为 ，求x，y的值．
∈18．甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的
概率为0.95，丙射中的概率为0.95．求：
（1）三人中恰有一人没有射中的概率；
（2）三人中至少有两人没有射中的概率．（精确到0.001）
19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC
且AC＝BC＝ ，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB．20．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
① ＝ ；
②2ccosC＝acosB+bcosA；
③△ABC的面积为 c（asinA+bsinB﹣csinC）．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．
（1）求C；
（2）若D为AB中点，且c＝2，CD＝ ，求a，b．21．“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史．明代万
历十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，
原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护．某超市在
旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，
当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理．根据该超市以往的销售情
况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）已知该超市某天购进了 150 个肥桃，假设当天的需求量为 x 个（x N，
0≤x≤240），销售利润为y元． ∈
（ⅰ）求y关于x的函数关系式；
（ⅱ）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650
元的概率．22．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公
元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它
的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组
成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空： ⊥ ，则三棱锥P﹣
ABC为“鳖臑”；
（2）如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC＝90°．
（ⅰ）证明：平面ADE⊥平面PAC；
（ⅱ）设平面ADE与平面ABC的交线为l，若PA＝2 ，AC＝2，求二面角E﹣l﹣C的
大小．
