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期末测试卷 02
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A B C D A C C ABC BCD AB
AB
二、填空题
1+a+bi { 1+a=2b
13.【1】设复数z=a+bi,则 =2i,所以(1+a)+bi=2b+2(1-a)i,所以 ,
1-(a+bi) b=2(1-a)
3
{ a=
5
解得 ，所以z=❑√a2+b2=1.
4
b=
5
60
14.【12】200× =12件
200+400+300+100
15.【5：3：2】因为2⃗PA+3⃗PB+5⃗PC=0,所以2(⃗PA+⃗PC)=-3(⃗PB+⃗PC),设 F 为 AC 中点，
G为BC中点，则⃗PA+⃗PC=2⃗PF,⃗PB+⃗PC=2⃗PG,所以
3
2⃗PF=-3⃗PG,所以F，P，G三点共线，且PF= PG，GF为△ABC的中位线，设
2
1
×PC×h
S 2 1 h PG 3
h ,h 分别为△APC 和△BPC 在 PC 边上的高，所以 △APC = = 1= = .因
1 2 S 1 h PF 2
△BPC ×PC×h 2
2 2
1
为S = S ，所以△APB，△APC，△BPC的面积之比为5:3:2
△APB 2 △ABC
16.【72π】如图，因为 DA=DC=6，AB=3❑√6，AC=2BC=6❑√2，所以 DA2+DC2=AC2，即
DA⊥DC，BA⊥BC，所以△ABC和△ACD均为直角三角形.
公共斜边为AC.取AC的中点E，连接BE，DE，则AE=
BE=CE=DE，所以点E为三棱锥D-ABC的外接球球心，则
三棱锥外接球的半径 R=3❑√2.所以三棱锥的外接球的表
面积为4πR2=72π.
{m2-5m-6=0, {m=6或m=-1,
17.(1)由题意得 解得 所以 m=6.
m2-2m-3≠0, m≠3且m≠-1,
(2)复数z在复平面内对应的点的坐标为(m2-5m-6,m2-2m-3)，因为点的坐标满足x- y+9＞0，所以(m2-5m-6)-(m2-2m-3)+9＞0.解得m＜2，所以m的取值
范围为(-∞，2)
18.(1)由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：
0.1-(0.010+0.020+0.030+0.012)=0.028，成绩不低于120分的频率为：
(0.030+0.028+0.012)×10=0.7；所以高三年级不低于120分的人数为：
0.7×1000=700人.
x=105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.28+145×0.12=126.2
(2)由频率分布直方图知，成绩在[140,150]的人数是6，记女生为A，B，男
生为 c,d,e,f，从这 6 人中抽取 2 人的情况有 AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，
Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共 15种.其中至少有一名女生的情
9 3
况有9种，故至少有一名女生的概率为 = .
15 5
19.(1)由正弦定理及❑√3c+b(sinA-❑√3cosA)=0可得，
❑√3sinC+sinBsinA-❑√3sinBcosA=0.又A+B+C=π.
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴❑√3sinAcosB+❑√3cosAsinB+sinBsinA-❑√3sinBcosA=0.
∴❑√3sinAcosB+sinBsinA=0.又A∈π，∴sinA≠0，
2π
∴❑√3cosB+sinB=0,B= .
3
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2ac·cosB，
得49=(c-a) 2+3ac=4+3ac，解得ac=15.
1 1 ❑√3 15❑√3
∴S = ac·sinB= ×15× = .
△ABC 2 2 2 4
20.(1)证明：连接 BD，交AC于点O，连接EO，∵四边形 ABCD为正方形，∴O是
BD 的中点.又 E 是 PD 的中点，∴ EO//PB.又 PB⊄平面 EAC，EO⊂平面
EAC,∴PB//平面EAC.
(2)∵底面 ABCD 为正方形，∴CD⊥AD.∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面
PAD∩平面 ABCD=AD，∴CD⊥平面 PAD.∵AE⊂平面 PAD，∴CD⊥AE.又∵侧面
PAD 是正三角形，E 为 PD 的中点，∴AE⊥PD.又 PD∩CD=D，∴AE⊥平面
PCD.∵AE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面PCD.
21.(1)由频率分布直方图可知，线上学习时间在[200，300)的频率为(0.002+0.006)×50=0.4，所以可以用数字 0，1，2，3 表示线上学习的时
间在[200，300)的同学，数字 4，5，6，7，8，9表示线上学习的时间不在
[200，300)的同学.观察题中给出的随机数可得，基本事件一共有 30 个，
其中 3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在[200，300)的事件共有 191，
271，812，932，431，393，027，730，206，433，138，602，共有12个.
根据古典概型的定义可知该市 3 名同学中恰有 2 人线上学习时间在[200，
12
300)的概率为P= =0.4
30
(2)抽取的 20 人中线上学习时间在[350，450)的同学有 20×(0.003+0.002)
×50=5人，其中线上学习时间在[350，400)的同学有3名设为A，B，C，线
上学习时间在[400，450)的同学有两名设为 a,b，从 5名同学中任取 2名的
基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共有10个，其中两
名同学来自同一组的事件有AB，AC，BC，ab共有4个.所以所求概率为
4
P= =0.4
10
22.(1)∵⃗AB⋅⃗AC=0，∴⃗AB⊥⃗AC.以A为原点，⃗AB，⃗AC的正方向分别为x轴，y轴
建立平面直角坐标系.令|⃗AC|=a，则C(0,a),B(2a,0)，所以
⃗AB-⃗AC=(2a,-a), ⃗AB+⃗AC=(2a,a),设向量 ⃗AB-⃗AC与向量⃗AB+⃗AC的夹角为
(⃗AB-⃗AC)·(⃗AB+⃗AC) 4a2-a2 3
θ，∴cosθ= = = .
|⃗AB-⃗AC|·|⃗AB+⃗AC| ❑√5a·❑√5a 5
(2)∵⃗AB⋅⃗AC=0，∴⃗AB⊥⃗AC. 以 A 为原点，⃗AB，⃗AC的正方向分别为x轴，
1
y轴建立平面直角坐标系.∵|⃗AB|=2|⃗AC|=2,则C(0,1),B(2,0),M(1, ).
2
( x)
设O x, ,x∈[0,1],∴⃗OA·⃗OB+⃗OC·⃗OA=⃗OA·(⃗OB+⃗OC)=2⃗OA·⃗OM=
2
2 ( -x,- x) · ( 1-x, 1 - x) =2 ( x2-x+ x2 - x) = 5 (x2-x)
2 2 2 4 4 2
5 1 2 5 5 1 5
= (x- ) - ,∵ ＞0，∴当且仅当x= 时，⃗OA·⃗OB+⃗OC·⃗OA取得最小值 - .
2 2 8 2 2 8
π
(3)设∠CAP= y,则∠BAP= - y.∵|⃗AP|=2,且⃗AP·⃗AC=2,⃗AP·⃗AB=4，
2
1 π 2
∴2·|⃗AC|cosy=2,|⃗AC|= .同理得2·|⃗AC|cos( - y)=4,|⃗AB|= .
cosy 2 siny|⃗AB+2⃗AC+⃗AP|2=⃗AB2+4⃗AC2+⃗AP2+4⃗AB·⃗AC+4⃗AC·⃗AP+2⃗AB·⃗AP
4 4 (sin2y+cos2y sin2y+cos2y)
= + +4+8+8=4 + +20
sin2y cos2y sin2y cos2y
(sin2y cos2y) √sin2y·cos2y
=4 + +28≥8❑ +28=36,
cos2y sin2y cos2y·sin2y
sin2y cos2y
当且仅当 = ,即tany=1时，|⃗AB+2⃗AC+⃗AP|取得最小值6.
cos2y sin2y
