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期末测试卷 01
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题（4分×10题=40分）
a+i
1.已知a是实数， 是纯虚数，则a等于（ ）
1-i
A.-❑√2 B.-1 C. ❑√2 D. 1
2.已知向量a=(2,1),b=(x,-2)，若a// b，则a+b=（ ）
A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)
3.正四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，则异面直线EF与BC所成的角
等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.120°
4.在△ABC中，若A=30°，a=8,b=8❑√3，则S =（ ）
△ABC
A.32❑√3 B.16❑√3 C.32❑√3或16❑√3 D.12❑√3
1
5.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，⃗AE= ⃗AC ，若⃗DE=λ⃗AB+μ⃗BC,则λ+μ=（
3
）
5 1 1 5
A.- B. - C. D.
6 6 6 6
6.有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放
入一个小球，则小球的编号和盒子的编号全部相同的概率为（ ）
8 5 2 1
A. B. C. D.
27 6 3 3
1 1 1
7.一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为 , , ，则三人独立解答，仅有
2 3 4
一人解出的概率为 （ ）
1 11 17
A. B. C. D.1
24 24 24
8.设l为直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若l//α，l//β，则α//β B.若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l⊥α，l//β，则α//β D.若α⊥β，l//α，则l⊥β
9.如图，长方体 ABCD-A B C D 的体积是 36，点 E 在棱 CC 上，且 CE=2EC ，则三
1 1 1 1 1 1
棱
锥E-BCD的体积是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.6
cosB 3cosC
10.在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a,b,c，且 =- ，则角 A
b c
的最大值为（ ）
π π π π
A. B. C. D.
6 4 3 2
二、填空题（4分×5题=20分）
3+2i
11. i是虚数单位，复数 =_______.
1-i
12.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对
甲乙丙丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中
甲社区有驾驶员 96 人.若在甲乙丙丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12，
21，25，43，则这四个社区的驾驶员总人数为_______人.
2π
13.在△ABC中，AC=3，3sinA=2sinB，且∠C的大小是 ，则AB=_______.
3
14.一直直三棱柱 ABC-A B C 的 6 个顶点都在球O的球面上.若 AB=3，AC=4，
1 1 1
AB⊥AC，AA =12，则球O的表面积为_______.
1
15.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，
∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，
当⃗AE·⃗BE取最小值时，DE的长为_______.
三、解答题（5小题，共60分）
16.(10 分)在甲乙两个盒子中分别装有编号为 1，2，3，4 的四个球，现从甲乙
两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.(1)请列出所有可能的结果
(2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率
(3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率
17.(12 分 ) 在 △ ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c. 已 知
asinA=4bsinB,ac=❑√5(a2-b2-c2 ).
(1)求cosA的值
(2)求sin(2B-A)的值
18.(12分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.
(1)求a与b的夹角θ
(2)求|a+b|
(3)若(a-b)⊥(a+λb)，求实数λ的值
19.(13 分)在如图所示的四棱锥 P-ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，AD//BC，
∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点.
(1)求证：CE//平面PAD
(2)求证：平面PAC⊥平面PDC
(3)求直线EC与平面PAC所成角的正切值20.(13分)如图，四棱柱ABCD-A B C D 的底面ABCD是菱形，AA ⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1
AB=1，AA =2，∠BAD=60°，点P为DD 中点.
1 1
(1)求证：直线BD //平面PAC
1
(2)求证：BD ⊥AC
1
(3)求二面角B -AC-P的余弦值.
1
