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期末测试卷 01
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A B C C D B B C
A
二、填空题
3+2i (3+2i)(1+i) 1 5
11. = = + i
1-i (1-i)(1+i) 2 2
96
12.N=(12+21+25+43)× =808
12
13.由3sinA=2sinB及正弦定理得 3BC=2AC，因为 AC=3，所以 BC=2，由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=9+4-2×3×2×-
(1)
=19.所以AB=❑√19
2
13
14.球的直径 2R=BC ，因为BC=❑√AB2+AC2=5，所以 BC =13，R= ，所以球的表
1 1 2
13 2
面积 S=4πR2=4π×( ) =169π
2
15.如图，连接 BD.因为 AB=AD，∠BAD=120°，所以∠ABD=∠BDA=30°，又
AB⊥BC，AD⊥CD，所以∠BDC=60°.延长 BA，CD 交于点 F，则∠BFC=30°.因
为 AD⊥ CD ， 所 以 ⃗AD·⃗DE=0. 设 DE=x,则
⃗AE·⃗BE=(⃗AD+⃗DE)·(⃗BA+⃗AD+⃗DE)=⃗AD·⃗BA+|⃗AD|2+⃗AD·⃗DE+⃗DE·⃗BA+⃗DE·⃗AD+|⃗DE|2=x2- ❑√3 x+ 3 = ( x- ❑√3) 2 + 21
2 2 4 16
❑√3 21
所以当x= 时，⃗AE·⃗BE取得最小值
4 16
三、解答题
16.(1)从甲乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为(1,1), (1,2),
(1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3),
(3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),共16种情况(2)设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件A，则A的所有可能结果
为(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3),共6种情况，所以P(A)=
6 3
=
16 8
(3)设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件B，则B的所
有可能结果为(1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1),
11
(4,2), (4,3), (4,4),共11种情况，所以P(B)=
16
17.(1)由asinA=4bsinB及正弦定理得a=2b，由ac=❑√5(a2-b2-c2 )及余弦定理得
b2+c2-a2 ❑√5
cosA= =-
2bc 5
2❑√5 ❑√5
(2)由(1)，可得sinA= ，代入asinA=4bsinB，得sinB= ,由(1)知A为钝角，
5 5
2❑√5 4 3
所以cosB=❑√1-sin2B= ,所以sin2B=2sinBcosB= ，cos2B=1-2sin2B= ，所以
5 5 5
2❑√5
sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=- .
5
18.(1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=64-8a·b+27=43，∴
1 π
a·b=6.即|a|·|b|cosθ=12cosθ=6,∴cosθ= .∵θ∈[0,π] ，∴θ=
2 3
(2)∵|a+b|2=(a+b) 2=a2+2a·b+b2=16+12+9=37,∴|a+b|=❑√37.
(3)∵(a-b)⊥(a+λb)，∴(a-b)·(a+λb)=0，即a2+(λ-1)a·b-λb2=16-6(λ-1)-9λ=0，
10
解得λ= .
3
1
19.(1)证明：取 PA 的中点 M，连接 BM，ME，则 ME//AD 且 ME= AD.∵BC//AD 且
2
1
BC= AD，∴ME//BC且ME=BC，∴四边形 MECB是平行四边形，∴BM//CE.又CE
2
⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，∴CE//平面PAB.
(2) 证 明 ： ∵ PA⊥ 平 面 ABCD ， ∴ PA⊥ DC ， 又 AC2+CD2=AD2 ，
∴DC⊥AC.∵AC∩PA=A，∴DC⊥平面 PAC，又 DC⊂平面 PDC，∴平面 PAC⊥平
面PDC.
(3)取 PC 的中点 F，连接 EF，则 EF//DC，由(2)知 DC⊥平面 PAC，则 EF⊥平面1 ❑√3 1 ❑√2
PAC.∴∠ECF即为直线 EC与平面 PAC所成的角.∵CF= PC= ,EF= CD= ,
2 2 2 2
EF ❑√6 ❑√6
∴tan∠ECF= = ,即直线EC与平面PAC所成角的正切值为
FC 3 3
20.(1)证明：设 AC和BD交于点O，连接P,O，∵P,O分别是 DD ，BD的中点，∴
1
PO//BD .∵PO⊂平面PAC，BD⊄平面PAC，∴直线BD //平面PAC.
1 1 1
(2)证明：在四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 是菱形，则 AC⊥BD.∵DD ⊥
1 1 1 1 1
平面 ABCD，且 AC⊂平面 ABCD，∴DD ⊥AC.∵BD⊂平面 BDD B ，D D⊂平面
1 1 1 1
BDD B ，BD∩D D=D，所以AC⊥平面BDD B ，又BD 平面BDD B ，∴BD ⊥AC.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(3)连接 B P，B O，∵PO⊥AC，B O⊥AC，∴∠B OP为二面角 B -AC-P 的平面
1 1 1 1 1
❑√17 ❑√5 B O2+PO2-B P2 7❑√85
角.∵B O= ,PO= , B P=❑√2,∴cos∠B OP= 1 1 = .∴求二
1 2 2 1 1 2B O·PO 85
1
7❑√85
面角B -AC-P的余弦值为
1 85
