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期末模拟卷4
一．选择题（共8小题）
1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了 100次试验，发现正面朝上
出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.45 0.45 B．0.5 0.5 C．0.5 0.45 D．0.45 0.5
【分析】出现正面的频率是45÷100＝0.45，出现正面的概率是0.5．
【解答】解：出现正面的频率是45÷100＝0.45，出现正面的概率是0.5，
故选：D．
2．已知i是虚数单位，则复数 的实部和虚部分别是（ ）
A．﹣7，3 B．7，﹣3i C．7，﹣3 D．﹣7，3i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z＝ ，
∴复数 的实部和虚部分别是7，﹣3．
故选：C．
3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是
A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（
）
A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数
【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定
义即可得到结论．
【解答】解：设样本A中的数据为x，则样本B中的数据为y＝x﹣5，
i i i
则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，
只有标准差没有发生变化，
故选：B．
4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（
）A．者 B．事 C．竟 D．成
【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，进一步求出结果．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体．
如图所示：
其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．
故选：A．
5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于
如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则
该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2， ≈1.732）
A．63 B．69 C．75 D．81
【分析】由题意知 ＝ ＝400，夹角 ＝60°，计算 ＝﹣（ + ）的模长，再求
θ
出体重即可．
【解答】解：由题意知， ＝ ＝400，夹角 ＝60°，
θ
所以 + + ＝ ，即 ＝﹣（ + ）；
所以 ＝ ＝4002+2×400×400×cos60°+4002＝3×4002；
| |＝400 （N），
则该学生的体重（单位：kg）约为40 ＝40×1.732≈69（kg），
故选：B．
6．已知向量 不共线， ， ，若 ，则m＝（ ）
A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3
【分析】由向量平行的性质得3 + ＝ m + （m+2） ，由此能求出m．
λ λ
【解答】解：∵向量 不共线， ， ， ，
∴3 + ＝ m + （m+2） ，
λ λ
∴ ，
解得 ＝﹣1，m＝﹣3．
故选：λ D．
7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分 3组，分别为[5，10），[10，
15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】由频率分布直方图，根据样本数据的百分位数列方程求出即可．
【解答】解：由频率分布直方图知，第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.10×5＝0.5，
设样本数据的第60百分位数是x，则0.2+0.10（x﹣10）＝0.6，
解得x＝14，
所以估计样本数据的第60百分位数是14．
故选：A．
8．已知正方体ABCD﹣A B C D 棱长为4，P是AA 中点，过点D 作平面 ，满足CP⊥平
1 1 1 1 1 1
面 ，则平面 与正方体ABCD﹣A B C D 的截面周长为（ ） α
1 1 1 1
α α
A．4 B．12 C．8 D．8
【分析】取 AD 中点 E，AB 中点 F，连接PD，D E，EF，B F，B D ，AC，先证明
1 1 1 1
E，F，B ，D 四点共面，再由 EF⊥CP，D E⊥CP 证明 CP⊥平面 EFB D 可知平面
1 1 1 1 1
EFB D 为平面 与正方体 ABCD﹣A B C D 的截面，根据正方体的棱长即可求得
1 1 1 1 1 1
EFB D 的周长．α
1 1
【解答】解：取 AD 中点 E，AB 中点 F，连接PD，D E，EF，B F，B D ，AC，
1 1 1 1
如下图所示：E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，则 EF∥BD，BD∥B D
1 1
所以 EF∥B D
1 1
所以 E，F，B ，D 四点共面．
1 1
根据正方形性质可知 CD⊥平面 ADD A ，
1 1
而 D E 平面ADD A ，所以 CD⊥D E，
1 1 1 1
A△D
1
D⊂E≌△DAP，可知∠ED
1
D＝∠PDA，
而∠PDA+∠PDD ＝90°，所以∠ED D+∠PDD ＝90°，
1 1 1
即 PD⊥D E
1
为 CD∩PD＝D，所以 D E⊥平面 PDC，
1
而CP 平面 PDC，所以 D E⊥CP；
1
E 为 ⊂AD 中点，F 为 AB 中点，由正方形和正方体性质可知
EF⊥AC，PA⊥EF，且 PA∩AC＝A，
所以 EF⊥平面 PAC，而 CP 平面 PDC，
所以 EF⊥CP，又因为 D
1
E⊥⊂CP，D
1
E∩EF＝E
所以 CP⊥平面 EFB D
1 1
即平面 EFB D 为平面 与正方体 ABCD﹣A B C D 的截面，
1 1 1 1 1 1
正方体 ABCD﹣A
1
B
1
C
1
Dα1 棱长为 4
所以 EFB D 的周长为 B D +D E+EF+B F
1 1 1 1 1 1
＝
＝ ，
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．某城市为了解二手房成交价格的变化规律，更有效地调控房产经济，收集并整理了
2019年1月至2019年12月期间二手房成交均价（单位：元/平方米）的数据（均价＝销
售总额÷销售总面积），绘制了下面的折线统计图，那么下列结论中正确的有（ ）A．月均价的极差大于4000元/平方米
B．年均价一定小于18000元/平方米
C．月均价高峰期大致在9月份和10月份
D．上半年月均价变化相对下半年，波动性较小，变化比较平稳
【分析】数据分析题目，可根据定义进行分析判断．
【解答】A．极差等于极大值﹣极小值．根据折线统计图，可得极大值＞19000，极小值
＜15000，所以极差＞19000﹣15000＝4000元/平方米，故A正确；
B．由于每月的成交数量未知，因此平均价无法确定，故B错误；
C．根据折线图可得，月均价高峰期大致在9月份和10月份，故C正确；
D．根据折线图，可知1﹣6月份极差＜18000﹣15000＝3000元/平方米，7﹣12月份极
差＞4000元/平方米，所以可判定上半年月均价变化相对波动性较小，变化比较平稳．
故D正确．
故选：ACD．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3 ，则a＝
D．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形
【分析】A，根据余弦定理，判定命题A为锐角；
B，由大角对大边，及正弦定理判定；
C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出；
D，据正弦定理把等式acosA＝bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得
sin2A＝sin2B，进而推断A＝B，或A+B＝90°，即可判定．
【解答】解：对于A，若b2+c2﹣a2＞0，则cosA＞0，A为锐角，不能判定△ABC为锐角三角形，故错；
对于B，在△ABC中，若a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故正确；
对于C，A＝60°，b＝3，面积S＝3 ，即有 ，解得c＝4．
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝32+42﹣2×3×4cos60°＝13．∴a＝ ，故正确；
对于D，∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，∴A＝B，或2A+2B＝180°即A+B＝90°，
∴△ABC为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：BC．
11．下列说法正确的是（ ）
A．对于任意两个向量 ，若 |，且 与 同向，则
B．已知 ， 为单位向量，若 ，则 在 上的投影向量为
C．设 为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分不必
λ
要条件
D．若 ，则 与 的夹角是钝角
【分析】利用向量的定义判断A；向量的投影判断B；向量的数量积与充要条件判断
C；向量的数量积的符号判断D；
【解答】解：对于任意两个向量 ，若 |，且 与 同向，
但是不能说 ，因为向量不能比较大小，所以A不正确；
已知 ， 为单位向量，若 ，
则 在 上的投影为： ＝﹣3 ，投影向量为 ，所以B正确；
存在负数 ，使得 ，则 与 反向共线，夹角为180°，此时 成立，
λ当 成立时，则 与 夹角满足90°＜ ≤180°，则 与 不一定反向共线，
θ
即“存在负数 ，使得 ”是“ ”的充分而不必要条件成立，故C正确，
λ
若 ，则 与 的夹角是钝角或平角，所以D不正确；
故选：BC．
12．如图，正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为1，动点E在线段A C 上，F、M分别是
1 1 1 1 1 1
AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．FM∥A C
1 1
B．BM⊥平面CC F
1
C．存在点E，使得平面BEF∥平面CC D D
1 1
D．三棱锥B﹣CEF的体积为定值
【分析】本题利用中位线定理以及线面垂直，三棱锥的特征求解．
【解答】解：A：∵F，M分别是AD，CD的中点，
∴FM∥AC∥A C ，故A正确；
1 1
B：由平面几何得BM⊥CF，又BM⊥C C，
1
∴BM⊥平面CC F，故B正确；
1
C：BF与平面CC D D有交点，
1 1
∴不存在点E，使平面BEF∥平面CC D D，故C错误；
1 1
D：三棱锥B﹣CEF以面BCF为底，则高是定值，
∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题）
13．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的
概率为 ．
【分析】设事件事件A表示“甲参加知识竞赛”，事件B表示“乙参加知识竞赛”，则
P（A）＝ ，P（B）＝ ，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式
能求出这两个人中恰有一人获得一等奖的概率．
【解答】解：设事件事件A表示“甲参加知识竞赛”，事件B表示“乙参加知识竞赛”，
则P（A）＝ ，P（B）＝ ，
∵甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，
∴这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为：
P（A ）+P（ ）＝P（A）P（ ）+P（ ）P（B）
＝
＝ ．
故答案为： ．
14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八
十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北
乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488人，南面有6912人，
这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有 810 0
人．”
【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果．
【解答】解：设北面有x人，根据题意得
＝ ，
解得x＝8100．
故答案为：8100．
15．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝
60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝ 15 0 m．
【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在RT△MNA中，
AM＝100 m，∠MAN＝60°，从而可求得MN的值．
【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100 m．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得， ，因此AM＝100 m．
在RT△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，由
得MN＝100 × ＝150m．
故答案为：150．
16．在底面为等腰梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，PA＝
8，PA⊥平面ABCD，该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为 5 ，
球O的体积与四棱锥P﹣ABCD的体积的比值为 ．
【分析】由题意可得底面等腰梯形的外接圆的半径，过底面 π 外 接圆的圆心E作垂直于底
面的直线，则外接球的球心在此直线上，在两个三角形中求出外接球的半径，进而求出
球的体积，及体积之比．
【解答】解：如图，取BC的中点E，过E作EO⊥面AC，
因为PA⊥面AC，所以PA∥OE
因为AB＝CD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝3，BC＝6，
所以△ABC为等边三角形，∠ABC＝60°∠CAB＝90°，
所以E为梯形ABCD的外接圆的圆心，则外接圆的半径r＝3，取O为外接球的球心，设外接球的半径为R，过O作OH⊥PA于H，
则四边形OHAE为矩形，
所以OE＝AE＝BE＝r＝3，AH＝OE，
连接OB，OP，则OP＝OB＝R，
在△OBE中，OB2＝R2＝OE2+BE2＝OE2+9①，
在△OPH中，OP2＝R2＝OH2+PH2＝AE2+（PA﹣AH）2＝9+（8﹣OE）2②，
由①②可得OE＝4，所以R2＝9+42＝25，所以R＝5，
所以V球 ＝ ＝ ，
π
V P﹣ABCD ＝ S底ABCD •PA＝ （3+6） •3•8＝18 ，
所以 ＝ ＝ ．
故答案分别为：5， ．
π
四．解答题（共6小题）
17．已知不共线向量 与 ，其中 ＝（2，m）， ＝（1，2）．
（Ⅰ）若（ ﹣ ）⊥ ，求m的值；
（Ⅱ）若向量2 ﹣ 与 +2 共线，求m的值．
【分析】（Ⅰ）可求出 ，从而根据 即可得出 ，
进行数量积的坐标运算即可求出m的值；
（Ⅱ）可求出 ， ，然后根据 与 共线即可得出关于m的方程，解出m即可．
【解答】解：（Ⅰ） ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
（Ⅱ） ， ，
又 与 共线，
∴3（m+4）﹣4（2m﹣2）＝0，解得m＝4．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．
（1）求证：CD∥平面SAB；
（2）求证：BD⊥SC．
【分析】（1）推导出AB∥CD，由此能证明CD∥平面SAB．
（2）连结 AC，推导出 SA⊥BD，AC⊥BD，从而 BD⊥平面 SAC，由此能证明
BD⊥SC．
【解答】证：（1）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，
所以AB∥CD，……（2分）
∵AB 平面SAB，CD 平面SAB，
∴CD⊂∥平面SAB……⊄（4分）
（2）连结AC．∵SA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴SA⊥BD……（6分） ⊂
∵底面ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∵AC∩SA＝A，AC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC，又SC⊂ 平面SAC……（9分）
∴BD⊥SC．……（10分⊂）
19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值；
（2）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20
乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．
（3）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概
率公式计算即可．
【解答】解：（1）根据直方图知组距＝10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10＝1，解得a＝
0.005．
（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20＝3．
（3）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，
E，
则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，
CD，CE，DE共10个，
其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，
故所求概率为P＝ ．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，AA ⊥平面ABC，AB＝AA ＝6，AC＝8，D，E分别
1 1 1 1 1
是AC，CC 的中点．
1
（1）求证：AB ∥平面BDC ；
1 1
（2）若异面直线AB与A C 所成的角为30°，求三棱锥C ﹣BDE的体积．
1 1 1
【分析】（1）如图，连接B C，交BC 于点F，连接DF，由已知结合三角形中位线定
1 1
理可得DF∥AB ，再由直线与平面平行的判定定理，证明AB ∥平面BDC ；
1 1 1
（2）由AC∥A C ，可得∠BAC即为异面直线AB与A C 所成的角为30°，求三角形
1 1 1 1
ABC的面积，得到三角形DBC的面积，然后分别求出三棱锥C ﹣BCD，E﹣BCD的体
1
积，再由 求解．
【解答】解：（1）证明：如图，连接B C，交BC 于点F，连接DF，
1 1
在△ACB 中，由于D为AC的中点，F为B C的中点
1 1
∴DF为△ACB 的中位线，∴DF∥AB ，
1 1
∵DF 平面BDC ，AB 平面BDC ，
1 1 1
∴AB 1⊂∥平面BDC 1 ； ⊄
（2）∵AC∥A C ，∴∠BAC即为异面直线AB与A C 所成的角，
1 1 1 1
∵异面直线AB与A C 所成的角为30°，∴∠BAC＝30°，
1 1∴ ，
∵D是AC的中点，∴ ，
又∵CC ⊥平面ABC，CC ＝6，E是CC 的中点．
1 1 1
∴ ．
，
∴ ．
即三棱锥C ﹣BDE的体积为6．
1
21．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）证明acosB+bcosA＝c；
（2）在① ，②ccosA＝2bcosA﹣acosC，③2a﹣ 这三个
条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若 a＝7，b＝5，______，求△ABC的周
长．
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式即可证明．
（2）选择多个条件分别解答，先求A的值，进而再求c的值，即可得解．
【解答】解：（1）证明：由余弦定理可得：acosB+bcosA＝a• +b•
＝ ＝c，
即acosB+bcosA＝c，证毕．
（2）第一步：求A．选①：
∵ ，
∴2ccosA＝bcosA+acosB，
∴由（1）中所证结论可得：2ccosA＝c，可得cosA＝ ，
∵A （0， ），
∈ π
∴A＝ ．
选②：
∵ccosA＝2bcosA﹣acosC，
∴2bcosA＝acosC+ccosA，
由（1）中的证明同理可得：acosC+ccosA＝b，
∴2bcoA＝b，可得cosA＝ ，
∵A （0， ），
∈ π
∴A＝ ．
选③：
∵2a﹣ ，
∴2acosA＝bcosC+ccosB，
由（1）中的证明过程同理可得bcosC+ccosB＝a，
∴2acoA＝a，可得cosA＝ ，
∵A （0， ），
∈ π
∴A＝ ．
第二步：求c
在△ABC中，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝25+c2﹣10c ＝49，即c2﹣5c﹣
24＝0，解得c＝8，或c＝﹣3（舍去），
所以a+b+c＝7+5+8＝20，即△ABC的周长为20．
22．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员
工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25人调
查专项附加扣除的享受情况．
员工 A B C D E F
项目
子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇
继续教育 × × 〇 × 〇 〇
大病医疗 × × × 〇 × ×
住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇
住房租金 × × 〇 × × ×
赡养老人 〇 〇 × × × 〇
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，
D，E，F．享受情况如上表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受现从这6人中随
机抽取2人接受采访．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M发生
的概率．
【分析】（1）老、中、青员工人数之比为6：9：10，利用分层抽样的性质能求出应从
老、中、青员工中分别抽取多少人．
（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人，利用列举法能求出所有可能结果．
（ii）由表格知，列举出符合题意的所有可能结果，由此能求出事件M发生的概率．
【解答】解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，
由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．
（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，
{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15种．
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为：
{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}共11种．所以，事件M发生的概率 ．
