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2024年深圳市普通高中高一年级调研考试数学
参考答案及评分标准
1.解析:AUB={−1，0，1，3}, 选D
2．.解 析 ： f (1)=−1<0,f (2)=ln2>0 , 故 选 B
3．解析:充分必要件选 C
4. 【详解】∵⃗a=(2,0)，⃗b=(1,2)，(λ⃗a+⃗b)⊥⃗a
∴(λ⃗a+⃗b)⋅⃗a=0，即， [λ(2,0)+(1,2)]⋅(2,0)=0，
1
得：(2λ+1,2)⋅(2,0)=0，整理得，2(2λ+1)=0,λ=− ，
2
故选：B.
5．【详解】如图所示
对于A选项，A D //面ABCD，A B //面
1 1 1 1
ABCD，
但是A D 和A B 并不平行，所以选项A错误；
1 1 1 1
对于B选项，A D //面ABCD,
1 1
面ABCD//A B C D 面，
1 1 1 1
但是A D ⊂面A B C D A D 和面A B C D 并
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
不平行，
所以选项B错误；
对于C选项，BB ⊥面ABCD，BB ⊥BC，但是
1 1
BC⊂面ABCD，所以选项C错误
对于选项D是面面垂直的一种判定方法，所以选项D正确.故选：D
6．【详解】⃗AE=2⃗AB，⃗BM=2⃗MC，若 ⃗AF=x⃗AC，
1 2 1 2
∴⃑AM= ⃑AB+ ⃑AC= ⃑AE+ ⃑AF，
A
3 3 6 3x
又E，M，F三点共线，
1 2
∴ + =1， F
6 3x
B
即x=5, 故选：C C
M
7.【详解】因为正实数a，b满足a+4b=ab，
1 4
所以 + =1，
b a E
因此
(1 4) a 4b √a 4b
a+b=(a+b) + = +4+1+ ≥5+2 ⋅ =9，
b a b a b a
a 4b
当且仅当 = ，即¿时，等号成立；故选：B
b a
8．【详解】f（x）＝x﹣sinx为奇函数， =
−f (−√3) f (√3)
当x≥0时，f（x）＝x﹣sinx，f'（x）＝1﹣cosx≥0，
1
学科网（北京）股份有限公司∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵π＞2＞√3
∴ a>b>c，故选A．
9．【详解】由iz=1−i两边乘以−i得，z=−1−i，
z的虚部为−1，z=−1+i，|z|=√(−1) 2+12=√2，
故选：BC
10. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷
两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，
以(m,n)为一个基本事件，则基本事件的总数为62=36，
事件A包含的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、
(2,4)、(2,5)、(2,6)，(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)，共18种，
事件B包含的基本事件有：(1,4)、(2,4)、(3,4)，(4,4)、(5,4)、(6,4)，(1,5)、(2,5)、
(3,5)，(4,5)、(5,5)、(6,5)，(1,6)、(2,6)、(3,6)，(4,6)、(5,6)、(6,6)，共18种，，
事件C包含的基本事件有：(1,2)、(1,5)、(2,2)，(2,4)、(3,3)、(3,6)、(4,2)、(4,6)、
(5,1)、(5.4)、(6,3)、(6,6)、共12种，
事件AB包含的基本事件有：(1,4)、(1,5)、(1,6)，(2,4)、(2,5)、(2，6)，(3,4)、(3,5)，
(3,6)、共9种，
18 1 18 1 12 9 1
P(A)= = ，P(B)= = ，P(C)= =3，，P(AB)= = ，
36 2 36 2 36 36 4
P(AB)=P(A)⋅P(B)，故选：ABC.
D1 C1
11.【详解】对于A，要使EF的值最小，
即要使得E到 D H C
直线CD距离最小， F
这最小距离就是E到直线CD
的中点H距离，，为√5，
故A正确；
B1
A1
E
A G B
对于B，因为FL//A D ， D1 C1
1 1
所以直线EF与A 1 D 1 所成的角， D C
即为直线EF与FL所成角， F
即∠EFL或其补角，
EL EL
tan∠EFL= =
FL 2
B1
A1
由在线段AB上存在点L，使1≤EL≤√2，
E
√3 A L B
由tan30∘= ，得B不正确
3
对于C，取AB中点M，连接EM，则EM⊥平 面A，B CD
作EN ⊥AF ，连接EN ， D1 C1
所以ENM为二面角 E−AF−B的平面角。
EM 1 D C
tan∠ENM= =
F
MN MN
√2
由在线段AF上存在点N，使 ≤MN≤1
2
N
B1
A1
E
A M B
2
学科网（北京）股份有限公司D1 C1
C
D
F
O
B1
A1
E
A Z B
所以E二面角 E−AF−B 正切值的取值范围为 [1，√2]，
得C正确
对D选项，如图，取AB的中点Z，
则三棱锥F−ABE的外接球的球心O在线段EN上，
设外接球O的半径为R，则OZ=2-R。
由勾股定理可得：1+(2−R) 2=R2，
5
得：R= ，
4
25
三棱锥 F−ABE 的外接球表面积为 =4πR2= π
4
故D正确.
故选：ACD.
π 1
12.【详解】因cos(α+ ）=−sinα =−
2 3
1
故答案为：− .
3
[1 ]
13.【详解】解：∀x∈ ，2 ，使关于x的不等式x2−ax+1≤0恒成立，
2
1 [1 ]
则ax≥x2+1，即a≥（x+ ） ，x∈ ，2 ，
x max 2
1 [1 ] [1 ]
令g（x）=x+ ，x∈ ，2 ，则对勾函数g（x）在 ，1 上单调递减，
x 2 2
5 5
在[1，2]上单调递增所以g（x） =g（2）= ，故a∈ [ ，+∞)
max 2 2
5
故答案为：[ ，+∞).
2
1 A
14. 【 详 解 】 因 为 ⃗AO⋅⃗AB=⃗AD⋅⃗AB= ⃗AB2，
2
1
⃗AO⋅⃗AC=⃗AE⋅⃗AC= ⃗AC2， E
2 D
O
1 1 1
所以AO⋅(AB+AC)= ⃗AB2+ ⃗AC2= （b2+c2 )
2 2 2 B C
由余弦定理得b2+⃗c2-bc=3
3
学科网（北京）股份有限公司因为b2+⃗c2≥2bc
所以b2+⃗c2≤6,当且仅当b=c=√3是取等号
所以AO⋅(AB+AC) 的最大值为3
故答案为：3
15.(13分)
16.(15分)
4
学科网（北京）股份有限公司17.(15分)
5
学科网（北京）股份有限公司18.(17分)
6
学科网（北京）股份有限公司7
学科网（北京）股份有限公司I9.(17分)
8
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