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济南一中 2025 级高一上学期 1 月学情检测
数学试题
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一 、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分，每小题只有一个选项符合题目
要求.
A门B=
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2 . 若 sinf cosf <0) ， 且 sinf-co sf>) ， 则 是 ( )
A. 第—象限 角 B. 第二象限的角
C. 第三象限的角 D. 第四象限的角
3. 已知 ， ，则 r 是 a 的 ( )
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4 已知函数 则 f(2026)= ( )
，
A. B. C. D.
5. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风， —捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句． 如图 ，
假设这把折扇是从—个大圆中剪下—个扇形 OAB，再在该扇形内剪下—个同心小扇形 OCD（作为扇骨留
白），
形成扇环形状的扇面 ABCD． 当扇子扇形的圆心角为 时 ，扇面看上去形状较为美观． 已知AD = 2(cm
，弧 AB 的长为20rcm ，则此扇面的面积为 ( )
A. B. C. D.
第 1页/共 4页6. 设 ， ， c= ln5 ，则 e 、s 、 的大小关系是 ( )
A a> b>c B c>b>a C b >c>a D a>c>b
. . . .
7. 下列函数中最小正周期为 ， 且在区间 上单调递增的是 ( )
A. y=sin x B. C. D.
F(x)=f(x)-b
8. 已知函数 ，若函数 有四个不同的零点
, 则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二 、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分， 共 18 分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全对得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 若角A,B,C 是 ABC 的三个内角 ，则下列等式中—定成立的是 ( )
A sin(A+B)=sin c B
. .
C. D. cos(2A+2B)=cos2c
R f(x) fl x+2)=-f(x) 0s xsl f(x)=x
10. 已知定义在 上的函数 满足：
，
当 时
， ，
且函数
f(x-1)
的图象关于点(1,0) 对称 ，则下列说法正确的是 ( )
A. f(x) 的图象关于直线t=2 对称
B. f(x) 是奇函数
C f(x+ 4)= f(x)
.
lgr- f(x)=)
D. 方程 有 4 个不相等的实根
11. 已知 ， 其中 且 ，则 ( )
flx)
A. 偶函数
fx)
B. 的图象经过原点
·
第 2页/共 4页g(x)=f(x)-2
C . 函数 有—个零点
a>1 fx)=f1x:)
D. 当 时
，
若 且
，
则
三、填空题：本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知函数y=log(x+3)-2 （ a >0 且 ） 的图象恒过定点坐标__________.
13. 已知 ue lu-al ， 且 ，则 ______．
14. 已知函数 ， 下列结论你认为正确的是______（ 填序号）
flx)
①函数 是偶函数
f(x)
②函数 的最小正周期为
flx)
③函数 在区间 上单调递增
flx)
④函数 的图像关于直线 对称
四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及验算步
骤
.
15. 已知集合 ， .
dnB
（1） 求 ；
（2） 求 .
16. 已知函数
x
（1）若 为第二象限角 ，试化简f(x) 表达式；
（2）若 ， 计算sin r(sin x+cos x) 的值 .
17. 已知函数 ．
flx) flx) [0,r
（1） 求 的最小正周期及 在区间 内的单调递增区间；
第 3页/共 4页flx)
（2） 当 时， 求 的最大值及最小值， 并求出相应的 的取值．
[-2,2] xe(0,2] fl x)=2"+x
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数 ， 且当 时 ， .
xel-2,0) flx)
（1） 当 时 求 解析式；
，
（2） 求满足不等式 的 的取值范围.
19. 已知定义域都为R 的函数 f(x) 与 g(x) 满足： f(x) 是奇函数
，
g(x) 是偶函数
，
g(x)-
(x)=e* （1） 求函数 f(x) 与 g(x) 的解析式；
．
（2）若关于 x 的不等式 在[0,+x) 上恒成立， 求实数 k 的取值范围．
第 4页/共 4页济南一中 2025 级高一上学期 1 月学情检测
数学试题
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一 、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分，每小题只有一个选项符合题目
要求.
A门B=
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】
【分析】 先求得集合 ， 再根据交集的定义与运算求出结果.
【详解】 由集合 ，
所以 ，
故选：C.
2 . 若 sinf cos fk0) ， 且 sinf-co sf>) ， 则 是 ( )
A. 第—象限的角 B. 第二象限的角
C. 第三象限的角 D. 第四象限的角
【答案】 B
【解析】
【分析】 判断出角 的正余弦的正负， 进而可得答案.
【详解】 由 ，得 ，
所以角 位于第二象限的角.
故选：B
3. 已知 ， ，则 是 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 B
第 1页/共 16页·
【解析】
【分析】 解不等式 得H4-4 ，根据 与 的关系判断 p 、q 的关系.
【详解】因为 ，所以 ， 能推出 ，但 不能推出 ，所以
是 的必要不充分条件.
故选：B
4 . 已知函数 ， 则 f(2026)= ( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】
【分析】 根据分段函数的定义， 再利用任意角的正弦函数值求解
x20 fl x)=f(x-s) x 2 0 flx)
【详解】 当 时 ， ， 故当 时 ， 有周期 .
fl2026)=f(2026-2025)=f(1)
故 .
⽽
故选： D
5. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风， —捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句． 如图 ，
假设这把折扇是从—个大圆中剪下—个扇形 OAB，再在该扇形内剪下—个同心小扇形 OCD（作为扇骨留
白），
形成扇环形状的扇面 ABCD． 当扇子扇形的圆心角为 时 ，扇面看上去形状较为美观． 已知AD = 2(cm
，弧 AB 的长为20rcm ，则此扇面的面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】 B
第 2页/共 16页·
【解析】
【分析】 先通过弧长公式求出大扇形半径 0A ， 再结合AD 的长度得到小扇形半径0D ， 最后利用扇形
面积公式计算两个扇形的面积差 ，得到扇面面积.
【详解】 设0A=Rcm 因为圆心角 弧 AB 的长为ly g=20cm
， ， ，
代入弧长公式 可得 ，解得 R=30 .
所以0D = 30-20=10
.
由扇形面积公式 可得，
,
,
所以此扇面的面积
.
故选：B
6. 设 ， ， c= ln5 ，则 o 、s 、 的大小关系是 ( )
A a> b>c B c>b>a C b >c>a D a>c>b
. . . .
【答案】 B
【解析】
【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、 三个数与 和 的大小关系 ，利用换底公式和
不等式的基本性质可得出 、 的大小关系， 进而可得出这三个数的大小关系.
(< a l ne=1 .
第 3页/共 16页.
c>b>a
因此 ， .
故选：B.
【点睛】 本题考查指数式和对数式的大小比较， —般利用指数函数和对数函数的单调性， 结合中间值法
来比较 ，考查推理能力 ，属于中等题.
7. 下列函数中最小正周期为 ， 且在区间 上单调递增的是 ( )
A y=sin x B C D
. . . .
【答案】 B
【解析】
【分析】利用函数的周期排除 A ，C 两项 ，对于 B ，D 两项 ，两函数的图象可通过正弦函数与余弦函数的
图象翻折得到， 结合图象即可判断.
【详解】 依题意 ，对于 A ，C， 两函数的最小正周期都是 21 ， 故 A ，C 均不正
y=inN
确；对于 B， 因函数 可由正弦函数的图象 ，将 轴下方部分向上翻折
得到，
r - a y-hi nl
故其最小正周期为正弦函数的周期 的—半， 即 ， 且函数 在 上单调递增， 故
B 正确；
y=l cos
对于 D， 因函数 可由余弦函数的图象 ，将 轴下方部分向上翻折得到，
故其最小正周期为余弦函数的周期 的—半 ，即 ，且函数 在 上单调递减 ，故 D
不正确.
故选：B.
F(x)=f(x)-b
8. 已知函数 ，若函数 有四个不同的零点
, 则 的取值范围是 ( )
A B. C. D.
【答案】 C
【解析】
·
第 4页/共 16页·
【分析】
根据题意得到 ， ， 再对所求目标式子进行化简 ，利用对勾函数的单调性， 得到所求
范围.
F(xt)=f(x)-b (x0
当 时， ；结合奇函数性质与周期性， 可画出 在 上的图象，
y= lgr 在x=10 时 lg10=1 ；x>10 时 lgx> l
， ， ，
flx) I-.1] xe(0,10)
而 的值域为 ， 因此只需考虑 的区间， 逐—分析区间内交点：
y=x
： 与 无交点；
(1,3] ： fl. x) 图象与 有 1 个交点；
flx) y=lg s
： 图象与 有 1 个交点；
15,71 ： flx) 图象与 有 1 个交点；
(7,9 ： fl. x) 图象与y=lg s 有 1 个交
点； (9,10j ： fl. x) 图象与 有 1 个
交点；因此总计 5 个不相等的实根 ，D 错误.
故选：BC
JI X)=lo'-ll
11. 已知
，
其中 且
，
则 ( )
flx)
A. 为偶函数
f(x)
B. 的图象经过原点
g(x)=f(x)-2
C . 函数 有—个零点
D. 当 a>1 时 ，若 且 ，则
【答案】 BCD
【解析】
f(0)=0 gl x)=0
【分析】 A 利用偶函数的定义即可判断；B 由 可判断；C 令 ，解方程即可判断；D 画
出
第 8页/共 16页的图象 ，令 l'-Il-k 解方程求出x1, x2 ， 结合对数运算及对数函数的性质即可判断.
R flx)
【详解】 A， 函数 的定义域为 ， 与 不恒相等， 故 不是偶函数，
故 A错误；
f10)=o"-I=0 flx)
B 所以 的图象经过原点 故 B 正确；
， ， ，
gl x)=0 u'-I - -2 a' -I=
C 令 即 即 所以 或
， ， ， ，
2 当 时 a' = -I 因为a' >0 故无解
， ， ， ， ，
当a' -I= 2 时 解得x=log。3
， ，
g(x)=fl x)-2
所以函数 只有—个零点， 故 C 正确；
JI X)=lo'-ll a>1 fl. x)
D 且 画出 的图象如下：
， ， ，
fl x)=f(x)=k ke(0,1)
设 则
， ，
J1s)=lo'-Il=k x,=log(1-k) x,=log(l+k)
不妨设 令 解得
， ， ， ，
所以 ，
因 ke(0,1) 所以1-k'e(0,1) 又因为a>1 所以log,k⃞(l-k⃞(cid:2))<0
， ， ，
即 ， 故 D 正确.
，
故选：BCD.
三、填空题：本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
y=log(x+3)-2
12. 已知函数 （ 且 ） 的图象恒过定点坐标__________.
【答案】 (-2,-2)
【解析】
【分析】 由对数的性质log,1=0,(a>0, a*1) 可得结论.
详解】 令x+3 =l ， 解得x=-2 .
第 9页/共 16页当 x=-2 时 ， y=log,1-2=0-2=-2 .
即函数恒过定点(-2,-2) .
故答案为： (-2,-2) .
13. 已知 ， 且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】 由 两边平方可求 ， 判断 的象限， 再结合同角关系求结
论.
【详解】 由 两边平方可得
，⼜ ，
ae(0,)
所以 又
， ，
所以 ， 故 ，
⼜ ，
所以 .
故答案为： .
14. 已知函数 ， 下列结论你认为正确的是______（ 填序号）
①函数f(x) 是偶函数
f(x)
②函数 的最小正周期为
flx)
③函数 在区间 上单调递增
flx)
④函数 的图像关于直线 对称
【答案】
①②③ 【解
析】
第 10页/共 16页【分析】 由已知， 先对函数f(x) 进行化简 ，得到f(x) = -cos2x ， 即可判断序号①正确；序号② , 可
通
2xe[0, t] f(x)
过 进行判断；序号③ , 可根据 ， ，从而判断函数 的单调性；序号④ ,
可
f(x)
计算 ，从而判断其是否是函数 的对称轴.
【详解】 对于函 ，
由于 ， 故函数f(x) 是偶函数， 故①正确；
由 f(x)= -cos2x 知， 它的周期等于 ， 故②正确；
当 时 2xe[0, x] 所以 f(x)= -cos2x 单调递增 故③正确；
， ， ，
f(x)
令 ，则 ，则 不是 的对称轴， 故④错误．
故选：①②③.
四、解答题：本大题共 5 小题， 共 77 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及验算步
骤
.
15. 已知集合 ， .
（1） 求 dnB ；
（2） 求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数与指数函数性质 ，分别解不等式 ，化简两集合， 再由集合的交集概念， 即可得出结
果；
（2） 先由（ 1） 求出 PB， 再由并集的概念， 即可得出结果.
【详解】（1） 由 得1S XS3 故 A =tx IIS XS] ；
，
由 log2x>1得 x>2 故
， ，
.
第 11页/共 16页XB=txl xs2
（2） 由 得
，
.
【点睛】 本题主要考查集合的交集并集和补集运算 ，熟记概念即可， 涉及指数与对数不等式 ，属于基础
题型.
16. 已知函数
x f(x)
（1）若 为第二象限角 ，试化简 表达式；
（2）若 ，计算 的值.
【答案】（1） j(x)= tan x ；
（2） 答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件 ，利用诱导公式及同角公式化简即得.
（2） 由（ 1） 的信息 ，利用正余弦齐次式法分类计算即得.
【小问 1 详解】
由 x 为第二象限角 ，得cos x<0 ，
所以函数 .
【小问 2 详解】
由（ 1） 知 而 则 sin x>(
， ， ， ，
cos x<) :
当 ， 即 第二象限角时， ，
;
当cos x>0 ， 即 是第—象限角时， ，
第 12页/共 16页.
17. 已知函数 ．
flx)
（1） 求 的最小正周期及 在区间 内的单调递增区间；
fl. x) :
（2） 当 时， 求 的最大值及最小值， 并求出相应的 的取
值． 【答案】（1） 最小正周期为 ；
-
（2） 时， 最大值为 ； 时， 最小值为 .
【解析】
flx)
【 分 析 】（ 1） 利 用 正 弦 型 函 数 最 小 正 周 期 的 计 算 公 式 ， 求 得 函 数 的 最 小 正 周 期 ，
根 据
, 结合正弦函数的单调性， 进而求得 的单调递增区间；
（2）根据 ， 求得 ， 结合正弦函数的性质可求答
案. 【小问 1 详解】
fl. x)
由函数 ， 可得函数 的最小正周期为 ，
由 ， 可得 ，
令 ， 可得 ；令 ， 可得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
由 ， 可得 ，
flx)
当 时， 即 时， 函数 取得最小值， 最小值为 ；
·
第 13页/共 16页flx)
当 时， 即 时， 函数 取得最大值， 最大值为 ，
所以函数 在 上的最大值为 ， 最小值为 .
f(x) [-2,2] xe(0,2]
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数
，
且当 时
，
f(x)=2"+x xe[-2,0) flx)
. （1） 当 时 求 的解析式；
，
（2） 求满足不等式 的 的取值范
围. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求xe[-2,0) 时 fl. x) 的解析式即可；
f(x) f(x)
（2）根据条件先判断出 的单调性 ，然后结合 的单调性和奇偶性列出不等式组 ，解之即
可. 【小问 1 详解】
xe[-2,0) -xe(0,2] f-x)=2"+(-x)
当 则 所以
， ， ，
fl. x)
又因为 为奇函数，
所以 ；
【小问 2 详解】
xe(0,2] f(x)=2*+x y=2*, y=x (0,2]
当 时 且 均在 上单调递
， ，
f(x) (0,2] f(x)>0+2"=l
增 所以 在 上单调递增 且此时
， ， ，
因为 是定义在-2,2] 上的奇函数，
flx) [-2,0)
由对称性可知 在 上单调递增， 且此时
f(0)=0 -I< 0<1 flx) [-2,2]
，又因为 且 所以 在 上单调递
， ，
增；
第 14页/共 16页由上可知
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
19. 已知定义域都为 R 的函数 f(x) 与 g(x) 满足： f(x) 是奇函数
，
g(x) 是偶函数
，
g(x)-(x)=e*
f(x) g(x)
（1） 求函数 与 的解析式；
．
（2）若关于 x 的不等式 在 [0,+) 上恒成立， 求实数 k 的取值范围．
rex rex
【答案】（1）
， ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1） 由函数奇偶性得到 g(x)+(x)=e" 联立g(x)-(x)=e-"即可求解；
，
（2） 令 ，得到 ， 通过分参求最值即可求解.
【小问 1 详解】
由g(x)-(x)=e-"* ①
，
可得g(-x)-(-x)=e* 又 f(x) 是奇函数 g(x) 是偶函
， ，
数 得g(x)+(x)=e" ②
， ， ,
rex rex
①+②得 则
， ， ，
； 【小问 2 详解】
,
由（ 1） 得： ，
·
第 15页/共 16页令e'- e"'= i 又 y= t ' - ' 在[0,+n) 单调递增 所以 t20
， ， ，
则 ，
得： 在[0,+n) 恒成立，
i-o
分参可得： ， 当 时，
t>0
，当 时
，
,
t=2
因为 ， 当且仅当 时取等号， 的最小值为 ，
综上当 时， 的最小值为 ，
所以 .
第 16页/共 16页
