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高一数学期中模拟试题
（B 能力卷）
班级_______ 姓名________ 考号_________
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 的虚部是 ．
故选：B．
2．设向量 ， ，若 则实数 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
因为 ，
所以 ，
故选：C
3．已知 是单位向量， 与 的夹角是 ，且 ， 则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题 得
所以 或 （舍去）.
故选：D
4．已知平面 与平面 交于直线 ，且直线 ，直线 ，且直线 ， ， 不重合，则下列命题错
误的是（ ）
A．若 ， ，且 与 不垂直，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，且 与 不平行，则
D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】
依题意 ，直线 ，直线 ，且直线 ， ， 不重合，
对于A选项， ， ，且 与 不垂直，
设 ，则 相交，根据面面垂直的性质定理可知 ，所以 ，
由于 相交，所以 ，所以 .所以A选项正确.
对于B选项， ， ，根据面面垂直的性质定理可知 ，所以 ，所以B选项正确.
对于C选项， ， ，且 与 不平行，则 相交，所以 ，由于 ，所以 ，所以C
选项正确.
对于D选项， ， ， 与 不一定垂直，所以D选项错误.
故选：D
5．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的正弦值
是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，连接 ，
在正方体 中，可得 ，
所以异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角，设 ，
由在长方体 中， ， ，
设 ，可得 ，
在直角 中，可得 ，
在 中，可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C.6． 中，角 所对的边分别为 .若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ， ，
所以由正弦定理得 ， ，
得 ，
因为 ，所以角 为锐角，
所以 ，
故选：C
7．若z是复数，且 ，则 的最大值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】A
【详解】
由已知得
表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，而 表示的是复平面内 对应的点 到复数 对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为
，
故选：A.
8．已知球 的半径为 ， 三点在球 的球面上，球心 到平面 的距离为 ，
， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
， ， ，
（ 是 的外接圆半径），解得： ；
，解得： ，
球 的表面积 .
故选：A.
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．己知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的
是（ ）
A．圆台的高为4 B．圆台的母线长为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
【答案】BD
【详解】设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆 为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为 ，半径分别为 ，
则 共线，且 ，
连接 ，则 分别平分 ，
故 ，
故 ，解得 ，
故圆台的高为 ,母线长为 ，圆台的表面积为 ，球的表面积
，
故选：BD
10．在 中，内角 所对的边分别为 ， 的面积为 ．下列与 有关的结论，正确
的是（ ）
A．若 ， ， ，则 或
B．若 为锐角三角形，则
C．若 为 的外接圆半径，则
D．若 ， ，则 是直角三角形
【答案】BD
【详解】
对于A，由正弦定理得 ，解得 ，又 ，故 ，故A错误
对于B， 为锐角三角形，可知 ，则 ，故 ，故B正确对于C，由正弦定理得 ，
故C错误
对于D， ， ，由余弦定理得 化简后得
又由正弦定理化简得
化简后得 ，可得 ，故D正确
故选：BD
11．已知向量 ，下列结论正确的是（ ）
A． 与 能作为一组基底
B．与 同向的单位向量的坐标为
C． 与 的夹角的正弦值为
D．若 满足 ，则
【答案】ACD
【详解】
对于A，因为 ，所以不存在实数 使得 ，
所以 与 能作为一组基底，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 ，
所以与 同向的单位向量的坐标为 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 与 的夹角的正弦值为 ，故C正确；
对于D，因为 ，
所以 ，解得 ，故D正确．
故选：ACD．
12．在正六棱锥 中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则（ ）
A．
B．共有4条棱所在的直线与AB是异面直线
C．该正六棱锥的内切球的半径为
D．该正六棱锥的外接球的表面积为
【答案】BCD
【详解】
解：设底面中心为 ，则在正六棱锥 中， 平面 ，
对于A选项，若 ，则 平面 ，则 ，即 矛盾， 错误.
对于B选项， 与 异面，B正确.
对于C，设内切圆半径为 ，取 中点 ，
.
故在 中， ，
∴由等体积法得 ，解得 故C正确；
对于D选项，设外接球半径为 ，则 ，
所以 ，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知复数 为纯虚数，则实数 ______.
【答案】1
【详解】
由题意，
若 为纯虚数，则
故答案为：1
14．已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 ______.
【答案】 ##2.5
【详解】由 知 ，故 .
故答案为： .
15．如图，在 ABC中，点D在边AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD， ，则 ABC的
△ △
面积为______.
【答案】
【详解】
因为 ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，即 ，于是得 ，解得 ，则 ，
所以 的面积 .
故答案为：
16．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面
体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体
ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______.【答案】
【详解】
解：如图所示：
设O为底面的中心， 为其外接球的球心，半径为R，
由勒洛四面体和正四面体的对称性知: 为勒洛四面体内切球的球心，
由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R，
则 ，
在 中， ，
解得 ，
所以该勒洛四面体内切球的半径是 ，
故答案为：
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．已知复数 ， .(1)求 ；
(2)复数 ， 对应的向量分别是 ， ，其中 为坐标原点，当 时，求 的值.
【答案】(1)29(2)
【解析】(1)∵ ，∴ .
(2)∵ ， .
，
∵ ，∴ .
18．已知向量 .
(1)求向量 的夹角 ；
(2)求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由题意，向量 ，
可得 ，解得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，即向量 的夹角 .
(2)解：由（1）知， ，
因为 ，则 .
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面ABCD是菱形，，M是PB的中点．
(1)求证： ；
(2)求证：平面PAB⊥平面CDM；
(3)求四棱锥P－ABCD的体积．
【解析】(1)
取CD的中点E，连结PE,AE.
因为△PCD是正三角形，所以 .
因为四边形ABCD是菱形， ，所以△ACD是正三角形，所以 .
因为 , 面PAE， 面PAE，
所以 面PAE，所以 .
(2)
取PA的中点N，连结MN、DN.
因为M是PB的中点，所以MN是△PAB的中位线，所以MN∥AB.
因为四边形ABCD是菱形，所以MN∥AB∥CD.于是M、N、D、C四点共面.因为 ，N为PA的中点，所以 .
又 ， ，所以PA⊥平面CDM；
又 平面PAB,所以平面PAB⊥平面CDM.
(3)因为侧面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD， 面PCD， ，
所以PE⊥面ABCD.
因为底面ABCD是菱形， ，
所以底面积 .
因为 ，△PCD是正三角形，E为CD的中点，所以 .
所以四棱锥P－ABCD的体积 .
20．如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有
一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向 km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，
且与点A相距10 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站.
(1)若CP=4 km，求此时在P处观察全岛所张视角∠APB的正切值；
(2)若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？
【答案】(1) (2)点P应选址在点C正东方向 处
【解析】(1)设 ，由题意知 ， ， ， ，所以
，即 ， ， ,在 中，
，由正弦定理得， ，即 ，
化简得 ，即 ，
所以此时在P处观察全岛所张视角 的正切值为 .
(2)过点B作BD⊥CP于点D，设 ，
由（1）得，当 时，点P在点D的右侧， ，则 ，
当 时，点P在点D的左侧， ，则 .
又 ，则当 ，且 时，
有 .
当 时，点P与点D重合， ，满足上式，所以 .
令 ，则 ，
因为 ，则 ，当且仅当 ，
即 ， 时取等号，此时 取最大值 .
因为 为锐角，所以当 时 取最大值.
答：点P应选址在点C正东方向 处
21．在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知__________.（在以下这三个条件中任选
一个填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计
分）
① ；② ；③ （ 是锐角△ 的外接圆半径）.
(1)求 ；
(2)若 ，△ 的面积为 ，求△ 的周长.
【答案】(1)条件选择见解析， ；(2) .
【解析】(1)选择①，由 ，则 ，又 ，
所以 ，则 ，由 ，故 .
选择②，由 ，则 ，
所以 ，又 ，则 ，
由 ，故 .
选择③，由 （ 是锐角△ 的外接圆半径），由正弦定理知： ，则 ，由 ，故 .
(2)由（1）， ，则 ，
由余弦定理知： ，
所以 ，故 ，即 ，
则△ 的周长为 .
22．如图，四棱锥 ，M、N分别是AB、PC的中点，底面ABCD为平行四边形
(1)求证:MN//平面PAD;
(2)若MN=BC=4，PA= ，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
【解析】(1)取PD中点H，连接AH，NH，如图，
因N为PC中点，则 ， ，而M是 的边AB中点，则 ， ，
因此， ， ，则有四边形 是平行四边形，
有 ，而 平面PAD， 平面PAD，
所以MN//平面PAD.
(2)由（1）知， ，则 是异面直线PA与MN所成的角或其补角，而 ， ，在 与 中，由余弦定理得：
，两式相加得： ，
即 ，解得 ，
于是得 ，又 ，解得 ，
所以异面直线PA与MN所成的角的大小为 .
