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期中测试卷 01
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
（人教A版2019）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1．复数 在复平面内对应的点位于( )。
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
【答案】B
【解析】 ，在复平面对应的点的坐标为 ，位于第二象限，故选B。
2．若复数 ( 为虚数单位)，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】 ，∴ ，故选A。
3．已知向量 ， ，且 与 平行，则 ( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵ 、 ，且 与 平行，∴ ，解得 ，故选A。
4．已知 、 、 是三条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下面说法中正确的是( )。
A、若 ， ，且 ， ，则
B、若 ， ，且 ，则
C、若 且 ，则
D、若 ， ，且 ， ，则
【答案】D
【解析】A选项错，∵ 、 两条直线的位置关系不确定，
∴只有 、 相交时才能得到 ，
B选项错，如图所示，把 看作 ， 看作 ，
平面 看作 ，平面 看作 ，此时 ，
C选项错，若 且 ，则 或 在 内，
D选项对，∵ ， ，∴ ，若 ， ，则 ，
故选D。
5．如图所示，已知一圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，母线 长为 ，其中 在上
底面上， 在下底面上，从 的中点 处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到 点，则这条绳子的长
度最短为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】画图，则设 ，圆心角为 ，则 ，
，解得 ， ，
则 ， ， ，故选C。
6 ． 已 知 中 ， ， ， ， 为 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 满 足
，则 的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B。
7．平行四边形 中， ，且 ，沿 将四边形折起成平面 平面 ，
则三棱锥 外接球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】将平面 平面 ，
又∵平面 平面 ， 平面 ，
，∴ 平面 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ ，
同理 平面 ，∴ 、 均为 ，
设 中点为 ，连 、 ，
则 ， 为三棱锥 外接球半径，
则 ， ，
则 ，故三棱锥 外接球的表面积为 ，故选C。
8．如图所示，三棱锥 中， 、 、 、 、 ， 是 的中点，
，则三棱锥 的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由 、 、 可知 ，
∴ 为直角三角形，∴ ，
由 、 、 可知 ，
∴ 为直角三角形，∴ ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，由 是 的中点得 ，，
∵ ，∴ 为直角三角形， ，
∴ ，
又 ， ，∴ ，即 为直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，故选D。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列说法中错误的是( )。
A、若 、 、 ，则
B、若 且 ，则
C、若 、 非零向量且 ，则
D、若 ，则有且只有一个实数 ，使得
【答案】ABD
【解析】A选项，当 、 中至少有一个 时， 与 可能不平行，错，
B选项，由 且 ，可得 或 ，错，
C选项， ，则两边平方化简可得 ，∴ ，对，
D选项，根据向量共线基本定理可知当 为零向量时不成立，错，
故选ABD。
10．下列四个命题中是真命题的是( )。
A、若复数 满足 ，则
B、若复数 满足 ，则
C、若复数 满足 ，则
D、若复数 、 满足 ，则
【答案】BC
【解析】A选项， ， ， ，则A是假命题，
具体做：设 ( )，则 ，则 或 ，
当 、 时 为纯虚数，当 、 时 为纯实数，
B选项，一个数的平方小于 ，则这个数一定是虚数，而且还是纯虚数，则B是假命题，具体做：设 ( )，则 ，则 且 ，
则 时 可取，则 时 不可取，
则 ， ， ， 为纯虚数，
C选项， ，则 ，又 恒成立，∴ ，∴ ，则C是真命题，
具体做：设 ( )，则 ，
则 且 ，则 ，
D选项， 、 ， ， ，则D是假命题，
具体做：设 ( )， ( )，
则 ，
则 ，解有很多种可能，当 且 时符合条件，
此时 、 ， 、 ， 不一定成立，
故选BC。
11．已知四面体 是球 的内接四面体，且 是球 的一条直径， ， ，则下面结论
正确的是( )。
A、球 的表面积为
B、 上存在一点 ，使得
C、若 为 的中点，则
D、四面体 体积的最大值为
【答案】ACD
【 解 析 】 ∵ 是 球 的 一 条 直 径 ， ∴ ， ， ∴
，
球 的半径为 ，球 的表面积为 ，A正确，
∵ 与平面 相交， 上找不到一点 ，使得 ，B错误，
连接 、 ，∵ ， 为 的中点，∴ ，C正确，
易知点 到平面 的距离的最大值为球的半径 ，
∴四面体 体积的最大值为： ，D正确，
故选ACD。
12．如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别是棱 、 的中点，过直线 、
的平面分别与棱 、 交于 、 ，设 ， ，则下列命题中正确的是( )。
A、平面 平面B、当且仅当 时，四边形 的面积最小
C、四边形 周长 是单调函数
D、四棱锥 的体积 为常函数
【答案】ABD
【解析】A选项，∵ ， ， ，∴ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ，A对，
B选项，∵四边形 为菱形，∴ ，
又 ，要使四边形 的面积最小，只需 最小，
则当且仅当 时，四边形 的面积最小，B对，
C选项，∵ ， ，
∴ 在 上不是单调函数，C错，
D选项， ，
，点 到平面 的距离为 ， ，
又 ，点 到平面 的距离为 ， ，
∴ 为常函数，D对，
故选ABD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设 是虚数单位，若复数 ( )是纯虚数，则 。
【答案】
【解析】 ，
∵复数 ( )是纯虚数，∴ ，且 ，∴ 。
14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个
数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，
在该图中，球的体积是圆柱体积的 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 ，若圆柱的表面积是 ，现
在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 。【答案】
【解析】设球的半径为 ，则由题意可得球的表面积为 ，∴ ，
∴圆柱的底面半径为 ，高为 ，∴最多可以注入的水的体积为 。
15．已知在边长为 的正三角形 中， 、 分别为边 、 上的动点，且 ，则
的最大值为 。
【答案】
【解析】如图建系，则 、 、 ，
则 ， ，设 ( )，
则 ( )，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时 取最大值 。
16．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体
的棱长为 ，则该几何体的表面积为 ，该几何体的体积为 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形，
， ，
∵ ， ， ，
∴ 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知复数 、 满足 、 ，且 ，求 与 的值。
【解析】设复数 、 在复平面上对应的点为 、 ，由于 ， 2
分
故 ， 4分
故以 、 为邻边的平行四边形是矩形，从而 ， 7
分
则 ， 。 10分
18．（本小题满分12分）
设向量 、 满足 ，且 。
(1)求 与 夹角的大小；
(2)求 与 夹角的大小；
(3)求 的值。
【解析】(1)设 与 的夹角为 ， ，
又 ，∴ ，∴ ，即 ，
又 ，∴ 与 的夹角为 ； 4
分
(2)设 与 的夹角为 ，∵ ，
又 ， ，∴ ，
又 ，∴ 与 的夹角为 ； 8
分
(3) ，
，
∴ 。 12分
19．（本小题满分12分）
正四棱台两底面边长分别为 和 。
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 ，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高。【解析】(1)如图，设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于
，
连接 ，则 为正四棱台的斜高， 2分
由题意知 ， ， 4
分
又 ，
∴斜高 ， 6
分
∴ ； 7分
(2)由题意知， ，∴ ， 9
分
∴ ，又 ， 。 12
分
20．（本小题满分12分）
在四棱锥 中， 平面 ，且底面 为边长为 的菱形， ， 。
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在图中作出点 在平面 内的正投影 (说明作法及其理由)，并求四面体 的体积。
【解析】(1)∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， 1分
在菱形 中， ，且 ，∴ 平面 ， 2分
又∵ 平面 ，∴平面 平面 ； 4分(2)取 的中点 ，连接 、 ，易得 是等边三角形，
∴ ，又∵ 平面 ，∴ ， 5
分
又 ，∴ 平面 ，
在平面 中，过 作 于 ，则 ， 7
分
又 ，∴ 平面 ，
则 是点 在平面 内的正投影， 9
分
经计算得 ，在 中， ， ， 10分
， ， 11
分
∴ 。 12
分
21．（本小题满分12分）
如图，多面体 是由三棱柱 截去一部分而成， 是 的中点。
(1)若 ， 平面 ， ，求点 到平面 的距离；
(2)若 为 的中点， 在 上，且 ，问 为何值时，直线 平面 ？
【解析】(1)∵多面体 是由三棱柱 截去一部分而成，
是 的中点， 平面 ， ， 1
分
∴ 平面 ，则 ， 2分
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ， 3
分
可得 ，即 ， 4分
又 ，∴ 平面 ，∴点 到平面 的距离 ； 5
分
(2)当 时，直线 平面 ，证明如下：
设 ，则 ，取 的中点 ，连接 ，可得 ， 6
分
∵ 是梯形 的中位线，∴ ， 8
分
∴当 时，四边形 为平行四边形，即 ， 10
分
∵ 平面 ，∴直线 平面 ，此时 。 12分
22．（本小题满分12分）
如图所示， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 、 的点， 垂直于圆 所在的平面，且
。
(1)若 为线段 的中点，求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)若 ，点 在线段 上，求 的最小值。
【解析】(1)证明：在 中，∵ ， 为 的中点，∴ ， 1
分
又 垂直于圆 所在的平面，∴ ，∵ ，
∴ 平面 ； 3
分
(2)∵点 是圆 上，∴当 时， 到 的距离最大，且最大值为半径 ，又
，
∴ 的面积的最大值为 ， 5分
又∵三棱锥 的高 ，
故三棱锥 体积的最大值为 ； 6分
(3)在 中， ， ，∴ ，同理 ，∴ ， 8分
在三棱锥 中，将侧面 绕 旋转至平面 ，使之与平面 共面，如
图，
当 、 、 共线时， 取得最小值， 10
分
又∵ ， ，∴ 垂直平分 ，即 为 中点，
从而 ，亦即 的最小值为 。12分
