文档内容
2024~2025 学年下学期佛山市普通高中教学质量检测
高一数学
2025.6
本试卷共4页、19小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内：
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要
求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数的乘法及除法运算求解.
【详解】 .
故选：B.
2. 已知向量 ， 是两个不共线的向量， ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量共线定理即可求解.
【详解】 向量 ， 是两个不共线的向量， ，
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学科网（北京）股份有限公司， 存在唯一实数 使得 ，即 ，
， .
故选：A.
3. 将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】将函数 的图象上所有的点
向左平移 个单位长度得到 .
故选：B
4. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】 在 中， ， ， ，
， ， ， ，
，即 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
5. 为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100
名 学 生 作 为 样 本 ， 第 个 （ ， ， ， ， ） 学 生 的 体 育 达 标 情 况 记 为 变 量 值
，则 表示的含义为（ ）
A. 全校学生体育达标的人数 B. 样本学生体育达标的人数
C. 全校学生体育达标率 D. 全校学生体育达标率的估计值
【答案】D
【解析】
【分析】由题意理解 所表示的意义为样本中达标人数即可得解.
【详解】由题意， 表示样本中体育达标的人数，
所以 表示全校学生体育达标率 估计值.
的
故选：D
6. 已知 中， 是 的中点，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别在 和 中利用正弦定理即可求解.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司是 的中点， ，
又 ， ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
.
故选：B.
7. 如图，等边三角形与直线 在同一平面， 垂直 于 ， ，则 绕 旋转一周形成的面所
围成的几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用圆台和圆锥的表面积公式计算求解.
【详解】过点 作 ，垂足为 ，
绕 旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥，
几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2
的圆锥的侧面积，
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学科网（北京）股份有限公司则 ；
故选：C．
8. 已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】应用已知条件设坐标，再应用数量积公式及模长公式计算求解.
【详解】因为 ， ，
设 ，则
，
当 时， 的最小值为2.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数 ，则（ ）
A. 的虚部为 B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项利用虚部定义可判断；B选项利用复数的模的计算公式求解；C选项利用共轭复数的定义
进行判断；D选项利用复数的几何意义进行判断即可.
【详解】对于A选项，复数 的虚部是 ，故A错误；
对于B选项， ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C选项， ，故C正确；
对于D选项，复数 对应的点的坐标为 ，位于第四象限，故D错误.
故选：BC.
10. 佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到 2025年，现
场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为
2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图
（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（ ）
A. 2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万
B. 2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和
C. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线
D. 五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据扇形图及条形图得出5条线路的各个数据，再结合选项分别判断即可.
【详解】因为2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则2016年的高明线的参与人数是 万人，
对于A：根据扇形图得出 万，所以2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万，A选项正确；
2016年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为： 万， 万，
万， 万， 万，
2025年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为： 万， 万， 万，
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学科网（北京）股份有限公司万， 万，
对于B：因为 ，2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，
B选项正确；
对于C：五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，C选项错误；
对于D：南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率 ，顺德线的参与人数2025年与
2016年相比增长率 ，
禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率 ，三水线的参与人数2025年与2016年相比
增长率 ，
高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率 ，所以五条线的参与人数2025年与2016年相
比增长率最高的是南海线，D选项正确；
故选：ABD.
11. 已知在 中， ， ， ，点 为 所在平面内一点，则（ ）
A. 若 为 的垂心，则 B. 若 为 的重心，则
C. 若 为 的外心，则 D. 若 为 的内心，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为 ，结合向量的线性运算可
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学科网（北京）股份有限公司判断B，根据外心特征计算 判断C，根据内心的性质即可得解判断D.
【详解】因为 为 的垂心，所以 ，
故 ，故A正确；
延长 交 于 中点 ，如图，
因为点O是 的重心， ，
所以 ，故B错误；
如下图所示：
若 为 的外心，取线段 的中点 ，连接 ，由垂径定理可知 ，
所以， ，
同理
则 ，故C正确；
如图，
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学科网（北京）股份有限公司若 为 的内心，则 ，过 作 ，
则 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
设内切圆半径为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故D
正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.
12. 已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由二倍角的余弦公式，可得 .
故答案为： .
13. 若物体在共点力 ，的作用下产生位移 ，则合力对物体所做的功为
__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】13
【解析】
【分析】先求出合力 ，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式 计算即可.
【详解】已知共点力 ，
则合力为 ，
又已知位移为 ，
所以合力对物体所做的功 .
故答案为：13
14. 已知正四面体内部有一个半径为 的小球，则正四面体棱长的最小值为__________.若小球可以在正
四面体内任意滚动，小球与正四面体所有接触点的轨迹形成的图形面积为 ，则正四面体的棱长为
__________.
【答案】 ①. 12 ②. 20
【解析】
【分析】利用体积法求出小球与正四面体内切时正四面体的棱长即可；根据给定条件，分析确定小球球心
的轨迹，再借助正四面体的结构特征求出棱长.
【详解】为使正四面体棱长最小，则半径为 的小球与正四面体的所有面均相切（为内切球），
设此时的正四面体棱长为 ，其高 ，
该正四面体的体积 ，即 ，解得 ，
所以正四面体棱长的最小值为12；
小球可以在正四面体 内任意滚动，小球与正四面体 每个面的所有接触点形成的轨迹为一正
三角形，
该正三角形可视为小球球心在正四面体 对应面上的投影，
因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，该小正四面体的面与正四面体
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学科网（北京）股份有限公司的对应面平行，距离为 ，设其棱长为 ，则 ，解得 ，高为 ，
令小球与共点 的正四面体 的3个面都相切时的球心为 ，点 在平面 上的投影为 ，
则 在线段 上，令 在平面 上的投影为 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，
显然 是正 中心， 是正 的中线，则 ，
而 ，于是 ，令与平面 平行的小正四面体的面交 于点 ，
则 ，正四面体 的高 ，
而 ，因此 ，所以正四面体的棱长为20.
故答案为：12；20
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直四棱柱 中，底面 为平行四边形， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，证明：底面 为菱形.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
的
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，证得 ，结合线面平行 判定定理，即可证
得 平面 ；
（2）根据题意，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，得到 ，结合菱形的性质，
即可得证.
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形，可得 为 的中点，
又因为 为 中点，所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
在
证明： 直四棱柱 中，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，所以 ，即四边形 的对角线互相垂直，
又因为底面 为平行四边形，所以四边形 为菱形.
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学科网（北京）股份有限公司16. 某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4
元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶
24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照
， ， ， 分成9.组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计停车费为24元的频率；
（2）估计停车时长的第85百分位数；
（3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入.
【答案】（1）0.1 （2）5.5小时
（3）8480元
【解析】
【分析】（1）先分析出超过6小时收费就是24元，然后再由直方图计算超过6小时的频率即可；
（2）通过计算先确定估计停车时长的第85百分位数所在的区间，再根据求百分位数的公式计算即可；
（3）先分别求出停车时长在各个时间段的车辆的数量，再对应的求出其费用，再求和即可.
【小问1详解】
因为停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元，
所以停车时间为 小时，收费 元，超过6小时收费就是24元，
所以由直方图可知超过6小时的频率为 ，
所以估计停车费为24元的频率为0.1；
【小问2详解】
停车时间为 的频率为 ，
停车时间为 的频率为 ，
所以估计停车时长的第85百分位数位于区间 内，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以估计停车时长的第85百分位数为5.5小时；
【小问3详解】
假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，
则停车时长为 的估计有 辆，收费0元；
停车时长为 的估计有 辆，收费 元；
停车时长为 的估计有 辆，收费 元；
停车时长为 的估计有 辆，收费 元；
停车时长为 的估计有 辆，收费 元；
停车时长为 的估计有 辆，收费 元；
停车时长为 的估计有 辆，收费 元；
估计该商场节假日一天的停车费收入为
元.
17. 已知向量 ， ，函数 .
（1）求 的解析式；
（2）求 的最小正周期及单调递增区间；
（3）若 在区间 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）最小正周期 为，
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学科网（北京）股份有限公司（3） .
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求解.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的周期公式及单调性求解.
（3）求出 ，由函数在区间 上的值域为 ，结合正弦函数的性质得到不等式，求出范围.
【小问1详解】
由向量 ，得
；
【小问2详解】
函数 的最小正周期 ，
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 .
【小问3详解】
由（1）知， ，
当 时， ，由 在 上的值域为 ，
得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司18. 如图，梯形 中， ， ， ， ，将 沿 翻折至
，其中 为动点.
（1）当平面 平面 时，
（i）求证： ；
（ii）求点 到平面 的距离；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）（i）证明见解析（ii）2
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件先证明 ，再由平面 平面 ，由面面垂直的性质定理可以得到
平面 ，即可证明 ；（ii）又由 ，根据线面垂直的判定定理可以得到
平面 ，即可知点 到平面 的距离即为 ；
（2）取 的中点 ， 的中点 ，首先确定 点在平面 上的射影为 在直线 上，分析得
到只研究 在 上或在左侧的情况，过 作 ，得到 的表达式 ，通过换元，利
用基本不等式即可求出直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【小问1详解】
（i） 梯形 中， ， ， ，
， .
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学科网（北京）股份有限公司取 的中点 ，连接 ，易知四边形 为正方形，
，可知 .
， .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面 ， 平面 ， ；
（ii） ， ， ， 平面 ，
平面 ， 点 到平面 的距离为 ；
【小问2详解】
取 的中点 ， 的中点 ，连接 可知 .
由（1）知 .
设 点在平面 上的射影为 ，则由 ，
可得 ，从而 ， 在直线 上.
设直线 由平面 所成的角为 ，则 .
可知 分别在 左右对称位置时， 长度相同，
而当 在 右侧时， 较长，此时 较小，
因此只需考虑 在 上或在左侧的情况.
过 作 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，
， ，
，
， .
设 ，则 ，
，
， ，当且仅当 ，
即 时取等号， ，
直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
19. 已知 的面积为 ，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 在 内，且满足
.
（1）证明： ；
（2）证明： ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 ， ， ，求 及 的长度.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3） ， .
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式推理即得.
（2）利用（1）的结论，利用等比性质推理得证.
（3）利用（2）中信息求出 ，再利用同角公式及和差角公式、正弦定理求解即得.
【小问1详解】
在 中，由余弦定理得 ，
由三角形面积公式得 ，即 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知，
设 ，
同理得
，
所以 .
【小问3详解】
由 ， ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（2）得， ，即 ，所以 ；
由 ，解得 ，而 ，
则 ，
，
于是 ，
由正弦定理 ，得 .
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学科网（北京）股份有限公司
