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2024—2025 学年度第二学期期中考试高一年级数学试题
卷面满分:150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项 是符合题目要求的.
1． 等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为 （ ）
A．−3+i B．i C．−3 D．1
3．在△ABC中，角 的对边分别是 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
4．下列说法正确的是 （ ）
A．三点确定一个平面
B．和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
5．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
B a−c
6．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若2sin2
= ，则该三角形一定是（
2 a
）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
1 √3 2tan12° √1−cos50°
7．设a= cos7°− sin7°，b= ，c= ，则有 （ ）
2 2 1+tan212° 2
A． B． C． D．8．如图，“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行，点 ， 是
“六芒星”（如图）的两个顶点，动点 在“六芒星”上（内部以及边界），则 的取值范围是
（ ）
A．[−8,8] B．[−6,6]
C．
[−6√3,6√3]
D．
[−4,4√3]
二、多项选择题：本题共 3 小题，毎小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分.
9．已知非零复数 ，其共轭复数分别为 ，则下列选项正确的是 （
）
z +z ∈R z =|z |2 z +z =z +z |z ⋅z |=|z ||z |
A． 1 1 B． 2 2 2 C． 1 2 1 2 D． 1 2 1 2
10．已知 ， 与 夹角为 ，若 且 （ ， ），则
下 列 说 法 正 确 的 是
（ ）
A．当 时， 在 上的投影向量为 B．当 时，
1 √13−1
x= y=
C．当 2时， 4 D． 的最大值为0
11.在锐角△ABC中，角 所对边分别为 ，且 .则下列说法正确的是
（ ）
( π)
0，
A. A=2B B.角B的范围是 4
3 1 1 4
sinB= + =
C.若∠BAC 的平分线交 BC 于D，AD=2， 5，则b c 5 ；
(√2 2√3)
c
，
2 3
D.a 的取值范围是
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，满分 15 分.
⃗AB=(1,2) ⃗BC=(3,m) ⃗AD=(−1，2m)
12.已知向量 ， ， ，若A，C，D三点共线，则 .
π 1 7√2
α∈（0， ），β∈（0，π） tan(α−β)= ,cosβ=−
13.已知 2 ，且 2 10 ，
（1)
tanα=_________
； (2)
2α−β
=________________.
14.如图，在四边形
ABCD 中，∠ABC=120°,∠CAD=30°,BC⊥CD
，S
1 =_____
DC=2√3BC ΔABC,ΔACD S ,S S
, 的面积分别为 1 2，则 2 .四、解答题：共 5 个小题，满分 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15.（本小题满分 13 分）
（1）已知 ，若 为纯虚数，求m的值．
（2）设复数 ， ．若 是实数，求 ；
（3）已知复数z满足 ，求z．
16 ．（本小题满分 15 分）
已知三棱锥 满足 .
(1)证明：直线 与直线 是异面直线；
(2)若 为 的中点， 为 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值.
V
E C
A F
B
17 ．（本小题满分 15 分）
在直角梯形 中， ， ， ，点 是 边上的中点.
(1)若点 满足 ，且 ，求
6λ+μ
的值；(2)若点 是线段 上的动点（含端点），求 的取值范围.
18 ．（本小题满分 17 分）
在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
（1）求角C的大小
（2）若a=2， 求b 的取值范围
（3）若点O为ΔABC
所在平面内一点，且满足
(O⃗A+O⃗B)⋅ ⃗AB=(O⃗B+O⃗C)⋅ ⃗BC=0
．
求
sin2 ∠BOC−cos2 ∠AOC
的取值范围
19 ．（本小题满分 17 分）
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图， 为透视中心，平
面内四个点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点 ，
定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)若点 分别是线段 的中点，求 ；
(2)证明： ；
(3)已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 .数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．B
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分．
9．ACD 10．BCD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
2 1 3 √5
− − π
9 3 4 6
12． 13． (1) (2) 14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】（1）因为 为纯虚数，
所以 且 ，解得 ；............................................4分
（2） ， 是实数， ，即 ，
．.............................................................8分
（3）因为 ，且 ，因此可设 ，
则 ，
由题意可得 ，所以 ，
解得 ，即 .........................................................13分
16．【详解】（1）因为直线 平面 ，点 平面 ，点 ，点 平面 ，
所以直线 与直线 是异面直线...............................................6分
（2）如图：取 的中点 ，连接 ， ， ，.......8分
所以 ， ，所以异面直线 与 所成角为 （或其补角），.......10分
因为 ，所以 ， ，在 中， ，
， ，所以有 ，
由余弦定 ，..............13分
π
（0， ]
2
因为异面直线所成角范围为
13
32
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ..............15分17．【详解】（1）如下图所示：由 可得 ，
所以 ，
又 ，可得
所以
6λ+μ=2
....................................6分
（2）法1：以点 为坐标原点，分别以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，则 ，
由点 是线段 上的动点（含端点），可令 ，
所以 ，则 ，
所以 ，.......................11分
由二次函数性质可得当 时取得最小值 ；
当 时取得最大值 ；
可得 ...............................15分
法2：取 中点 ，作 垂足为 ，如下图所示：
则
..................................................11分
显然当点 位于点 时， 取到最大值3，当点 位于点 时， 取到最小值 ，
可得 ..................................................15分
18.【详解】 ，即 ，
，......................................................2分
所以 ，故 ，
又△ABC为锐角三角形， ，故 ，...............................4分
（2）由 ，故 ，由正弦定理 ，可得 ，故可得
由△ABC为锐角三角形可得： ，解得 ，故 ，
则 ，则 ................................................10分
（3）由题意知O为△ABC的外心，所以∠BOC=2A，∠AOC=2B
1−cos4 A 1+cos4B
sin2 ∠BOC−cos2 ∠AOC=sin22A−cos22B=
−
2 2
........12分
1 1 1
=− (cos4 A+cos4B)=− [cos(480°−4B)+cos4B]=− [cos(120°−4B)+cos4B]
2 2 2
1 1 √3 1 √3 1
− (− cos4B+ sin4B+cos4B)=− ( sin4B+ cos4B)
2 2 2 2 2 2
1 π
=− sin(4B+ )
2 6
......................................................15分
π π π 5π 13π 1 π 1 1
B∈( , ) 4B+ ∈( , ),∴− sin(4B+ )∈(− , ]
由第二问知 6 2 所以 6 6 6 2 6 4 2
1 1
(− , ]
sin2 ∠BOC−cos2 ∠AOC 4 2 ，.........................17分
所以 的取值范围
19．【详解】（1）由已知 ， ，所以 ...................4分
（2）在 ， ， ， 中，
，同理 ，
所以 ，..............................6分又在 ， ， ， 中， ，
同理 ，所以 ，.........8分
又 ， ， ， ，
所以 ，所以 .............10分
(EFGH)=(ABCD)
（3）方法一：由 ，可得 ，即 ，所以 ，
又点B为线段AD的中点，即 ，所以 ，
又 ，所以 ， ， ，由已知 ，所以 .
设 ， ，由 ，得 ，
即 ，解得 ，…①.......................12分
在三角形AOB中，由正弦定理可得 ，得 ，…②
在 中，由正弦定理可得 ，得 ，…③
又 ，
得 ，即 ，…④...................14分
由①④解得 ， （负值舍去），即 ， ，
所以 ..................................17分
方法二：因为 ，所以 ，设 ，则 ，
又B为线段AD的中点，所以 ，
又已知 ， ，所以 ，
所以 ，得 ，所以 ， ，............12分
由 ，得 ，所以 ，设 ，则 ，......................................14分
由 ， 互补得 ，即 ，
解得 ，所以 ， ，所以 .....17分
