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赣州市 2023~2024 学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
2024年7月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
.
1 已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 如图， 是水平放置 的直观图，其中 ， 轴， 轴，则
的周长为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
.
B 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 若 ， ，且 ， 共面，则
4. 已知某圆锥的侧面积为 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
的
5. 勾股定理最早 证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦
图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 是由 个全
等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 ， ， 为 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
6. 设 ，则有（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， 为 上的动点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的偶函数 ，当 时， ，对任意 总有
.当 时， 恒成立，则 的最大值为（ ）
.
A B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分．部分选对的得部分分．有选错的得0分.
9. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若单位向量 ， 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为
C. 若 与 不共线，且 ，则
D. 若 且 ，则
10. 在 中， ， ， ， 为 内（含边界）任意一点，则（ ）
A.
.
B 若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则
D. 若 ，则 最大值为
11. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 是 的中点，点 是正方体内（含表面）的
动点，且满足 ，则（ ）
A. 动点 在底面 内轨迹的长度是
B. 点 所在平面截正方体所得截面的面积为
C. 三角形 在正方体内运动形成几何体的体积是
D. 存在某个位置 ，使得直线 与平面 所成的角为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. __________.
13. 位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为 .塔顶 测得地面上某两点 的俯角分
别为 和 ，且 ，则 两点间的距离为__________m.（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知一个正四棱台的上下底面边长之比为 ，体积为 ，若此正四棱台的内切球存在，则这个
内切球的表面积为__________.
四､解答题：本题共5小题．共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式及对称中心；
（2）将 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，求函数 在 上的值域.
16. 如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的正方形， 平面 ， 与平
面 所成角为 ， 为线段 上的点.
（1）若 为线段 的中点，证明： 平面 ；
（2）若 为线段 上靠近 的三等分点，求三棱锥 的体积.
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学科网（北京）股份有限公司17. 在 中 ， ， ， 分 别 是 角 ， ， 的 对 边 ， 向 量 ，
，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ， 的平分线交 于点 ，求 的长.
18. 如图，点 在直径为 的半圆 上， 垂直于半圆 所在的平面， 平面 ，且
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，异面直线 与 所成的角是 ，在线段 上是否存在点 ，使
得二面角 的余弦值为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
19. 设 为坐标原点，定义非零向量 的“友函数”为 ，向量
称为函数 的“友向量”.
（1）记 的“友函数”为 ，求函数 的单调递增区间；
（2）设 ，其中 ，求 的“友向量”模长的最大值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）已知点 满足 ，向量 的“友函数” 在 处取得最大值.当点
运动时，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司赣州市 2023~2024 学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
2024年7月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分．部分选对的得部分分．有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】AB
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学科网（北京）股份有限公司【11题答案】
【答案】BC
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四､解答题：本题共5小题．共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1） ;
（2） .
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
第9页/共10页
学科网（北京）股份有限公司（2）存在，
【19题答案】
【答案】（1） ，
（2）
（3）
第10页/共10页
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