文档内容
江西省重点中学协作体 2023~2024 学年度高一期末联考
数学
本试卷共150分，考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.下列说法正确的是（ ）
A.通过圆台侧面一点，有无数条母线
B.棱柱的底面一定是平行四边形
C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
3.设复数 满足 在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知 ，则 （ ）
A.1 B. C.2 D. 或2
5.已知 为异面直线， 平面 平面 .直线 满足 ，则（ ）
A. ，且
B. ，且
C. 与 相交，且交线垂直于
D. 与 相交，且交线平行于
6.已知函数 图象为 ，为了得到函数 的图象，只要把 上所有点（
）A.先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
7.已知 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值个数为
（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合 ，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合 的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知 ，满足：对任意 ，恒有 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长均相等的正四棱锥 中， 为底面正方形的中心， 分别为侧棱 的
中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 平面
B.平面 平面
C.
D.直线 与直线 所成的角的大小为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为__________.
13.如图所示为水平放置的正方形 ，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，用斜二测画
法画出它的直观图 ，则点 到 轴的距离为__________.
14.已知函数 的图象过点 和 且当 时， 恒成
立，则实数 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知复数 （ 为虚数单位）.
（1）求复数 ；
（2）若复数 在复平面内所对应的点在第四象限，求实数 的取值
范围.
16.（本小题满分15分）
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面圆的内接正三角形， 为 上一点，.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，圆锥的侧面积为 ，求三棱锥 的体积.
17.（本小题满分15分）
平面内有向量 ，点 为直线 上的一个动点.
（1）当 取最小值时，求 的坐标；
（2）当点 满足（1）的条件和结论时，求 的值.
18.（本小题满分17分）
如图，在平面直角坐标系 中，点 为单位圆与 轴正半轴的交点，点 为单位圆上的一点，且
，点 沿单位圆按逆时针方向旋转 角后到点 .
（1）当 时，求 的值；
（2）设 ，求 的取值范围.
19.（本小题满分17分）已知三棱锥 的棱 两两互相垂直，且 .
（1）若点 分别在线段 上，且 ，求二面角 的余弦值；
（2）若以顶点 为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥 的表面相交，试求交线长是多少？
高一·数学（江西）·大联考·参考答案
选择题
1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B
9.BC 10.BC 11.ABC
填空题
12. 13. 14.
提示：
1. 通过圆台侧面一点只有一条母线， A不正确； 棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边
形， B不正确；由棱台的定义可知，棱台上､下底面平行， D不正确； 圆锥的所有过中心轴的截面都
是等腰三角形，三角形的两腰是其母线， 正C确.故选C.
2.由诱导公式得 .故选B.
3. ，则 .故选C.4. .故选C.
5.由于 为异面直线， 平面 平面 ，则平面 与平面 必相交但未必垂直，且交线垂直于
直线 ，又直线 满足 ，则交线平行于 ，故选D.
6.先将函数 图象上每点横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到 的
图象，再将得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，故选C.
7. 4，则向量 在向量 上的投影向量为
， ，故选B.
8. ，则 ，①若 即 时， 在 单调增，
，作函数 的图象，作 与 仅一个
交点，②若 即 时，
满足要求.综上知满足条件的
共有两个.选B.
9.根据题意， 中， 时， 时，时， 时， .选项A中，
；选项B中， ；选项C中，
；选项D中， .故选BC.
10. 对任意的 ，恒有 恒成立，即
恒成立. ，即 .又
.故选BC.
11.连接 ，易得 平面 平面 平面 ，故 正确.
同理 平面 ， 平面 平面 ，故B正确.由于四棱锥的棱长均相等，
，又 ，故C正确.由于 分
别为侧棱 的中点， .又四边形 为正方形， 直线 与直线
所成的角即为直线 与直线 所成的角，即 .又 为等边三角形， ，
故D错误.故选ABC.
12.由 是纯虚数，得 ， ，解得 .
13.在直观图 中， ，故点 到 轴的距离为 .
14.由 ，知，
时，
，当 时， ，只需 ，得 ，又 ；当 时， 成立，适合；当 时， ，要使 ，只需
，综上知 .
解答题
15.（1） ，
（2）
，
在复平面内所对应的点在第四象限，
，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
16.（1）由题设可知， ，
由于 是正三角形，
故可得 .
又 ，故 .
从而 ，
故 平面 ，
平面 ，
平面 平面 .（2）设圆锥的底面半径为 ，母线长为 .
由题设可得 .
解得 ，从而 .
由（1）可得 ，
故 .
三棱锥 的体积为 .
17.（1）设 . 点 在直线 上，
向量 与 共线.
又 ，
，
.
又 ，
，
.
故当 时， 有最小值-8，此时 .
（2）由（1）知 ，，
.
18.（1）由三角函数的定义可得
，
，
当 时， ，即
，
.
（2） ，
，
，，
则 ，
即 的取值范围为 .
19.（1） 两两垂直，
，
面 ，
，
过 作 于 ，连
，则 即为 的平面角，
在 中，
，
.
（2）以 为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧，
①平面 与球面相交所成
弧是以 为圆心，4为半径的
圆弧 .
②平面 与球面相交，得到的弧是以 为圆心，8为半径，
圆心角 的弧 .
③平面 与球面相交所得到弧长与②情况相同，长度为 .
④平面 与球面相交得到弧长 ，
交线长 .
