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秘密★启用前【考试时间 5月14日15:00—17:00】
射洪市 2024 年普通高考模拟测试
数 学
（理工农医类）
满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷
或草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
DCC D
2．复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于
1 1
Q
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1
000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100名学生进行体质测验.若46
号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A.815号学生 B.616号学生 C.200号学生 D.8号学生
A BPQ
4.已知 ，则
1
√6 ΔA BQ
A. B. C. D.
1
5．设 是两条不同的直线, 是三个不同的平面，下列说法中正确的序号
为
①若 ,则 为异面直线 ②若 ,则
③若 ,则 ④若 ,则
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
6.在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为
A.3 B.4 C.8 D.9
7．下列函数满足 的是
A. f(x)=1+lnx B.C. D.
8. 函数 ，（其中 ， ， ）其图象如图所示，
为了得到 的图象，可以将 的图象
A.向右平移 个单位长度
B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度
D.向左平移 个单位长度
9. 设 为双曲线 的左、右焦点，直线 过左焦点
且垂直于一条渐近线，直线 与双曲线 的渐近线分别交于点 ，点
⃗OF +O⃗B−2O⃗A=0⃗
在第一象限，且 1 ，则双曲线 的离心率为
√5 7
A. 2 B. C. D.3
10．为弘扬中国优秀传统文化，某市决定举办“经典诵读”知识竞赛.竞赛规
则:参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》这 3本书中选取1本参加有
关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加 3本书籍的知识竞
赛.某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛.
因甲同学对《论语》不精通,学校决定不让他参加该书的知识竞赛,其他同学没
有限制,则不同的安排方法有( )种
A.132 B.148 C.156 D.180
11. 设 为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点， 两点在
上，且 关于坐标原点对称， ，则
A. B.3 C. D.
12.已知 是函数
f(x)=x2 −2ax+2lnx
的两个极值点，且 ，当
时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.第Ⅱ 卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 满足约束条件 ，设 的最大值为 ▲ ．
x2 y2 4x0 x2 y2 4y 0
14.已知两圆的方程分别为 和 ，则这两圆公共弦
的长等于 ▲ ．
15．如图，有三座城市A，B，C．其中B在A的正东方向，且与A相距120
；C 在 A 的北偏东 30°方向，且与 A 相距 60 ．
一架飞机从城市 C 出发，沿北偏东 75°航向飞行．
当飞机飞行到城市 B 的北偏东 45°的 D 点处时，
飞机出现故障，必须在城市A，B，C中选择一个最近城市降落，则该飞机必须
再飞行 ▲ 才能降落．
16．在直四棱柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1中，所有棱长均为 2，BAD 60，P为
CC Q DCC D
1的中点，点 在四边形 1 1内（包括边界）运动，下列结论中正确的
是 ▲ （填序号）
Q CD A BPQ
①当点 在线段 1上运动时，四面体 1 的体
积为定值
AQ//平面A BP AQ 6
②若 1 ，则 的最小值为
A BQ A BAM
③若 1 的外心为M，则 1 1 为定值2
2
④若 A 1 Q 7 ，则点 Q 的轨迹长度为 3
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题
为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. (本小题满分 12 分）某保险公司为了给年龄在 20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障， 设
计了一款针对该疾病的保险， 现 从 10000 名 参 保 人 员 中 随 机 抽 取
100名进行分析，这100个样本按年龄段[20,30),[30,40), [40,50),[50,60),
[60,70]
分成了五组，其频率分布直方图如右图所示，每人
频
率
每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保
组
a
距
费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各
0.025
0.020
种费用为一百万元. 0.016
年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 0.007
年龄
O 20 30 40 50 60 70
保费 x 2x 3x 4x 5x
（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x
至少为多少元?（精确到整数元）
（2）随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[50,
60）的老人中每 15人就有 1人患该项疾病，年龄在[60,70] 的老人中每10人
就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[50, 60）和[60,70] 的老人中各随机选
取1人，记X表示选取的这 2人中患该疾病的人数，求X的数学期望.
▲
18. (本小题满分 12 分）
3n+1
S = −m
已知等比数列{a }的前 项和 n 2 .
n n
{a }
n m
(1)求数列 的通项公式，并求 的值；
T {b } T
n n 2n
(2)令 ，设 为数列 的前n项和，求 .
▲19. (本小题满分 12 分）
如 图 ， 四 棱 锥 P−ABCD 中 ， PA=PD ， PA⊥PD ， AD∥BC，
AD=2PC=2BC=4CD，∠ADC=600 ,E是线段
AP上一点，设⃗AE=λ⃗EP
(1)若λ=1，求证：BE∥平面 ；
(2)是否存在点E，使直线BE与平面 所成
角为300，若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.
▲
20. (本小题满分 12 分）
已知过点 的直线 与抛物线 交于 两点，抛物
线在点 处的切线为 ，在 点处的切线为 ，直线 与直线 交于点 ，
当直线 的倾斜角为 时， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设线段 的中点为 ，求 的取值范围．
▲
21. (本小题满分 12 分）
已 知 函 数 ， ， 直 线 为 曲 线 与
的一条公切线.
(1)求 ；
(2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于
三点，其中 ，且 成等差数列，求 的
个数.
▲请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.
【选修 4—4：坐标系与参数方程】（10 分）
C
M O
22．如图，在极坐标系中，已知点 （2,0），曲线 1是以极点 为圆心，以
( π)
2,
OM为半径的半圆,曲线C 是过极点且与曲线C 相切于点 2 的圆.
2 1
C C
（1）分别写出曲线 1， 2的极坐标方程；
θ=α(0＜α＜π，ρ∈R) C C A B
（2）直线 与曲线 1， 2分别相交于点 ， (异
于极点），求△ABM面积的最大值.
x
▲
【选修 4—5：不等式选讲】（10 分）
f(x)=|x−1|
23．已知函数 .
（Ⅰ）求不等式 的解集；（Ⅱ）若函数 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，
证明： .
▲射洪市 2024 年普通高考模拟测试
理数参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1-5：DABDB 6-10：DCCBA 11-12：CA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
10 60√6
13. 14. 15. 16.①④
三、解答题
18.【详解】（1）等比数列{an}的前n项和Sn＝ ﹣m ①.
当n＝1时，解得 ，
当n≥2时， ②，
①﹣②得： ，
又{an}是等比数列，n＝1时也符合，...............................4分
当n＝1时， ，故m＝ .....................................6分（2）由（1）得： ，...........................8分
所以Tn＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n
2
＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）＝n......................12分
19.【详解】（1）取 中点 ，连接 ，如图所示，
∵ ，
∴ 为 中点， ，且 .......................2
分
∵ ， ，∴ 且 ，
∴得四边形 为平行四边形，
∴ ， 平面 ， 平面 ，故 平面 .--------------5分
（2）取 中点 ，以 为原点，，平面 内过 点垂直于 的直线为 轴，过
点垂直平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系： ，
|BC|=2
设 ， ，∵
∴ ， ， ，
， .
∴ ， ，
，
解得： ， ， ，
∴ ， ................................8分
∴ ，设 ， ，又
∴ ，设平面 的法向量为
∴ ，令 ，解得 ， ，
∴ ， ................................10分
∴ ，
整理得： ，解得 或 ， ，
所以 ，解得 或 .................................12分
故存在点E使BE与平面PAD所成角为300
20. 【解析】（1）当 的斜率为 时，则 ，不妨设 ，
由 可 得 ， ， 所 以 ，
.............................3分
即
，因为 ，解得： ．
从而抛物线 的方程为 .............................
5分
（2）设直线 ， ，
由 可得， ，则所以 ，
于是
即 ··················7分
4√ (1+k2 )(k2 +2)
而
·······8分
由 ，则 ，
于是抛物线 在点 处的切线 的方程为
即
同理可得，在点 处的切线 的方程为
联立，解得 于是 ...............................10分
则
4√ (1+k2 )(k2 +2)
从而
所以， 的取值范围是 ...............................12分
21、【详解】（1）设 与 相切于点 ，， ，解得： ，
，即切点为 ，
，即 ； ...............................2分
设 与 相切于点 ，
， ，
即 ，
切线方程为： ， ，
解得： ， . ................................5分
（2）由题意得： ，则 ， ， ；
成等差数列，
，即 ，
； ...............................7分
令 ，则 ；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ， ，
，使得 ，即 ；
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；..............................9分.，
， ，则 ，即 ，
在 上单调递增，
， ，
在 上存在唯一零点，即 的个数为 ................................12分
22.解析;(1)由题意可知,曲线C 是以极点O为圆心,2为半径的半圆，
1
结合图形可知，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(0≤C≤π).
1
π
−θ
设P(ρ, θ)为曲线C 上任意一点,则ρ=2cos(2 )=2sinθ，
2
ρ θ
∴曲线 C 的极坐标方程为 =2sin .(4分)
₂
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
(2)设 A( A, a ),B( B, a ),由题意得 B=2sina· A=2,∴|AB|=| A- B|=2-2sina.
∵点M到直线AB的距离为d=|OM| sina=2sina，
1 1 (sina+1−sina) 2 1
|AB| =
∴S =2 ·d=2 (2-2sina)·2sina=2sina(1-sina)≤2× 4 2 ，
△ABM
1 1
当且仅当 sina=2 时,等号成立,故△ABM面积的最大值2 .(10分)
