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2024-2025学年高一下学期期中模拟联考
数学试题
一、单选题
1．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知在 中， 且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．以下变换中，能将函数 的图象变为函数 的图象的是（ ）
A．每个点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位长度
B．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
D．向右平移 个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
4．已知向量 ， ，则向量 在 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，则下列选项中同时满
足（1）是偶函数，（2）最小正周期是 ，（3）对称轴相同这三个条件的是（ ）
A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．③④⑤
6．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知 ， 且 有两解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的单调递减区间和值域分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．周期函数不一定有最小正周期
B．时针走了1小时40分钟，则分针转过的角是
C．若角 满足 ， ，则 一定为第四象限角
D．点 是函数 图象的一个对称中心
10．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．在 中，若 ， ，则
C．已知向量 ， ， 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是
D．已知 ， ， 为 的内角 ， ， 的对边，则“ ”的充要条件是“ ”
11．已知 是表示不超过 的最大整数（比如： ， ），则下列说法错误的是（ ）
A．函数 是周期函数，最小正周期是B．函数 是周期函数，最小正周期是
C．若函数 ，则 的值域是
D．当 时，函数 的零点有5个
三、填空题
12．已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 ， 的夹角为 ．
13．已知关于 的方程 在 上有解，则实数 的取值范围为 ．
14．如图，在梯形 中， ， ， 是 边所在直线上的动点，若该梯形的面积为
，则 的最小值为 ．
四、解答题
15．（1）已知向量 ， ，若 ，求实数 的值；
（2）已知向量 ， ， ，若 ，求 的值．
16．已知某扇形的周长是8．
(1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角 的大小；
(2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图
形．）
17．已知函数 的部分图象如图所示．(1)求 的解析式；
(2)将 的图象先向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变成原来的 ，纵坐标保持不变，得到
函数 的图象，求 的单调递减区间和其图象的对称中心．
18．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知 是锐角，向量 ，
，且 ．
(1)若 ，求实数 的值．
(2)已知 ．
（i）求 面积 的最大值；
（ii）在（i）的条件下，判断 的形状．
19．我市某大型综合商场门前有条长120米，宽6米的道路（如图1所示的矩形 ），路的一侧划有
24个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形 ）．由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经
理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的
绿化带及改变停车位的方向来增加停车位．记绿化带被压缩的宽度 米，停车位相对道路倾斜的角
度 ，其中 ．(1)若 ，求 和 的长；
(2)求 关于 的函数表达式 ；
(3)若 ，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B B C D A ABD BCD
题号 11
答案 BD
1．A
利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案.
【详解】 .
故选：A
2．D
将条件转化为 ，再利用平面向量基本定理即可.
【详解】因 ，则 ，
故 ，
则 ，所以 ．
故选：D
3．B
由三角函数伸缩变换，平移变换知识结合诱导公式，可判断选项正误.
【详解】对于A，变换后的函数为
，故A错误；
对于B，变换后的函数为，故B正确；
对于C，变换后的函数为
，故C错误；
对于D，变换后的函数为
，故D错误.
故选：B
4．B
根据题意可得 ，进而求投影向量.
【详解】因为向量 ， ，则 ，
所求投影向量的坐标为 ．
故选：B.
5．B
利用三角函数图象以及函数图象变换，画出函数图象，结合图象判断.
【详解】结合三角函数图象与图象变换，依次画出①②③④⑤的函数图象，由图象可知，②⑤不是周期函数，故②⑤不符合；
①③④均为偶函数，最小正周期为 ，对称轴为 ，符合所有条件.
故选：B
6．C
利用正弦定理及 有两解，列不等式求边长范围.
【详解】因为 且 ， 有两解，
所以 ，得 ．
故选：C
7．D
先由对数函数性质直接求出函数定义范围和值域，接着由对数函数单调性和余弦函数单调性结合定义将问
题转化成求函数 在 上的减区间即可直接计算得解.
【详解】由题 ，则 ，即 ，
又 为 上的增函数，且 ，所以所求函数值域为 ；函数 的单调递减区间即为函数 在
上的减区间，
所以 ，解得所求单调递减区间为 .
故选：D
8．A
【详解】作出图形如图所示，扇形 ，设半径为1， ，
设 ， ，由图可知 ，
又 ，
所以 ，所以 ，
由 ， ，得 ． ，
，故 ．
故选：A.
9．ABD
由 可判断A，由弧度制的概念可判断B，由各个象限三角函数符号可判断C，由正切函数对称中心的
概念可判断D.
【详解】对于A，函数 是周期函数，但没有最小正周期，故A正确；对于B，易知分针转过的角是 ，故B正确；
对于C，由 ， 可得： ， ，
所以 一定为第三象限角，故C错误；
对于D，由 ，可知 是函数 图象的一个对称中心，故D正确．
故选：ABD
10．BCD
对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；
对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断；
对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断.
【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，由 即
解得 ，故C正确；
对于D，由正弦定理 ，可知 ，故D正确．
故选：BCD.
11．BD
利用函数的周期性的定义，计算并判断A,B；利用正弦函数的值域，计算并判断C；利用函数图象，数形
结合分析两个函数图象的交点，可判断D.
【详解】对于A，因为 的最小正周期是 ，即 ，
所以 ，所以函数 是周期函数，最小正周期是 ，故A
正确；对于B，因为 ，则 ，
所以 不是函数 的最小正周期，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ， ，
所以当 时， ；当 时， ，则 ，故C正确；
对于D，函数 的零点就是函数 与 的图象的交点，
其中，函数 是周期为1的函数，其值域为 ，
当 时，函数 与 的图象如下，
由图象可知，它们在 内有6个交点，故D错误．
故选：BD.
12． /
由条件结合数量积定义求 ，再利用数量积的运算律结合向量模的性质求 ， ， ，再利用向量
夹角公式求结论.
【详解】由已知 ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
，，
设向量 ， 的夹角为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 .
所以向量 ， 的夹角为 ．
故答案为： .
13．
利用换元法，分离参变量，构造两个函数图象有交点问题，即可求参数范围.
【详解】令 ，则 ，
原方程可转化为关于 的方程 在 上有解，
分离参变量得： ，
即等价于直线 与函数 的图象在 内有交点．
又因为 的图象开口向下，对称轴为直线 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ．
故答案为： .
14．16取 的中点 ，作 ，垂足为 ，根据数量积的运算律整理可得 ，根
据题型面积可得 ，利用基本不等式结合高线性质即可得最小值.
【详解】取 的中点 ，作 ，垂足为 ，
则
，
因为该梯形的面积为 ，且 ， ，
则 ，即 ，
可得 ，
所以 的最小值为16.
故答案为：16.
15．（1） ；（2）
（1）由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案；
（2）由向量线性运算的坐标表示，根据垂直向量数量积的坐标表示，建立方程，结合向量模长公式，可
得答案.
【详解】（1）因为 ，所以由 ，解得 ．
（2）因为 ， ， ．所以 ．因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，所以 ．
16．(1)
(2) ．
（1）设该扇形的半径为 ，弧长为 ，可得 ，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可
求圆心角的大小；
（2）由（1）知 ， ．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积.
【详解】（1）设该扇形的半径为 ，弧长为 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时该扇形的面积 ， ，
其圆心角 ，
故所求圆心角 ．
（2）由（1）知 ， ．
又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积 ，
所以所求弓形的面积 ，
故所求弓形的面积是 ．
17．(1) ；
(2)单调递减区间为 ， ， ， ．
【详解】（1）由 的部分图象知，当 时， ，
当 时， ，解得 ， ．
因为 ，所以 ，则 ．因为 且 ，得 ，故 ．
（2）将 的图象先向左平移 个单位长度，得到 的图象，
将所有点的横坐标变成原来的 ，纵坐标保持不变，得 的图象．
令 ，整理得 ， ，
故 的单调递减区间为 ， ．
令 ，则 ，故 图象的对称中心为 ， ．
18．(1)
(2)（i） ；（ii）等边三角形
【详解】（1）因为 是锐角，且 ， ，
所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
由余弦定理得 ，
又 ，则 ，结合 ，
所以 ．
（2）（i）由（1）知 ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，
即 面积 的最大值为 .
（ii）由（i）可知， 取得最大值时， ，
又 ，所以 为等边三角形．
19．(1) 米， 米．
(2) ， ．
(3)13个．
（1）由图，结合几何性质与三角函数可得答案；
（2）由图可得 ，后由（1）可得答案；
（3）由（2）及 可得 .设改造后停车位数量最大值为 ，由图可得第 个车位顶点 到
的距离 ，后结合 可得 ，即可得答案.
【详解】（1）由题意得 米， 米， ，
则 ，即 ．
由 ，且 ， ，可得 ， ，
则 米， 米．
（2）由（1）可得 ， ，
，
故 ， ．（3）由 ，可得 ，即 ．
设 ，则 ，
整理得 ，解得 ．
由 ，可得 ．
当 时，解得 ， ，不符合题意；
当 时，解得 ， ，符合题意．
设改造后停车位数量的最大值为 ，如图，过停车位顶点 作 的垂线，垂足为 ，
则顶点 到线段 的距离为 ．
由图及题意可知 ， ，
则 ．
因为 ，
所以 ， ， ，
则 ．
由题可知 ，即 ，解得 ，则取 ，
故该路段改造后的停车位比改造前增加了 个．
