文档内容
湖北省荆楚优质高中联盟 2024-2025 学年高一（下）3 月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合𝐴={𝑥 ∣(𝑥+1)(𝑥−2)<0},𝐵 ={𝑥 ∣𝑦 =ln(𝑥−1)}，则𝐴∪𝐵 =( )
A. {𝑥 ∣𝑥 >2} B. {𝑥 ∣𝑥 >−1} C. {𝑥 ∣1<𝑥 <2} D. {𝑥 ∣𝑥 >1}
𝜋 1
2.“𝜃 = ”是“sin𝜃 = ”的( )
6 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设𝑎 =𝑙𝑜𝑔 3,𝑏 =ln0.2,𝑐 =0.30.2，则( )
2
A. 𝑎 >𝑏 >𝑐 B. 𝑐 >𝑎 >𝑏 C. 𝑎 >𝑐 >𝑏 D. 𝑐 >𝑏 >𝑎
1 2
4.已知正数𝑥,𝑦满足32−𝑥 =(√ 3)2𝑦，则 + 的最小值为( )
𝑥 𝑦
5 3 3
A. +√ 2 B. +√ 2 C. 2+√ 2 D. +2√ 2
2 2 2
5.幂函数𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚,∀𝑥 ,𝑥 ∈(0,+∞)都有 𝑓(𝑥 1)−𝑓(𝑥 2) <0成立，则下列说法正确的是( )
1 2 𝑥 −𝑥
1 2
A. 𝑚 =2 B. 𝑚 =2或𝑚 =−1
C. 𝑓(𝑥)是偶函数 D. 𝑓(𝑥)是奇函数
6.如今科技企业掀起一场研发𝐴𝐼大模型的热潮，𝐴𝐼大规模应用成为可能，尤其在图文创意，虚拟数字人以
及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．𝑆𝑖𝑔𝑚𝑜𝑖𝑑函数和𝑇𝑎𝑛ℎ函数是研究人工智能被广泛使用的两种
𝑒𝑥−𝑒−𝑥 𝑥 1
用作神经网络的激活函数，𝑇𝑎𝑛ℎ函数的解析式为tanℎ𝑥 = ，经过某次测试得知tanℎ 0 = ，则当把变
𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 2
量增加一倍时，tanℎ𝑥 =( )
0
4 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
𝜋
7.函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+ )(𝜔 >0)的图象在区间[0,1)上恰有2个最高点，则𝜔的取值范围为( )
3
13𝜋 25𝜋 3𝜋 13𝜋 3𝜋 13𝜋 13𝜋 25𝜋
A. ( , ] B. ( , ) C. [ , ) D. [ , ]
6 6 2 6 2 6 6 6
𝜋
8.设函数𝑦 =𝑚与函数𝑦 =sin𝑥,𝑦=cos𝑥,𝑦=tan𝑥的图象在(0, )内交点的横坐标依次是𝑥 ､𝑥 ､𝑥 ，且
2 1 2 3
1
sin(𝑥 +𝑥 +2𝑥 )= ，则实数𝑚 =( )
1 2 3 2
√ 2 1 √ 3 1
A. B. C. D.
2 2 3 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
第1页，共8页A. 命题“∀𝑥 >0,𝑥2−𝑥 ≥1”的否定形式是“∃𝑥 ≤0,𝑥2−𝑥 <1”
B. 函数𝑦 =2𝑙𝑜𝑔 (3−𝑥)+3(𝑎>0且𝑎 ≠1)的图象过定点(2,3)
𝑎
1 𝑥 1
C. 方程( ) −𝑥 =2的根所在区间为(−1,− )
2 2
D. 若命题“∀𝑥 ∈𝑅,𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎+2≥0恒成立”为真命题，则“𝑎 <−1或𝑎 >2”
𝜋
10.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴 >0,𝜔 >0,|𝜑|< )的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
2
7𝜋
A. 𝑓(𝑥)的图像关于直线𝑥 = 对称
12
𝜋
B. 𝑓(𝑥)的图像关于点(− ,0)对称
3
𝜋
C. 将函数𝑦 =2cos2𝑥的图像向右平移 个单位长度得到函数𝑓(𝑥)的图像
12
𝜋
D. 若方程𝑓(𝑥)=𝑚在[− ,0]上有两个不相等的实数根，则𝑚的取值范围是(−2,−√ 3]
2
sin𝜋𝑥,0<𝑥 ≤1
11.已知函数𝑓(𝑥)={ ，若存在四个实数𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ,𝑥 (𝑥 <𝑥 <𝑥 <𝑥 )，使得𝑓(𝑥 )=
|𝑙𝑜𝑔 (𝑥−1)|,𝑥 >1 1 2 3 4 1 2 3 4 1
2
𝑓(𝑥 )=𝑓(𝑥 )=𝑓(𝑥 )=𝑡，则( )
2 3 4
A. 𝑡的范围为(0,1)
B. 𝑥 𝑥 的取值范围为(3,5)
3 4
11
C. 𝑥 +𝑥 +𝑥 +𝑥 的取值范围为(5, )
1 2 3 4 2
1
D. 𝑥 𝑓(𝑥 )的取值范围为(0, ]
1 4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的面积为8，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ．
13.在▵𝐴𝐵𝐶中，𝐴⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =𝑁⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，点𝑃是𝐵𝑁上的一点，若𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =(𝑚+ 1 )𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，则实数𝑚的值是 ．
3 3
14.对于函数𝑓(𝑥)，若在其定义域内存在两个实数𝑎，𝑏(𝑎 <𝑏)，使当𝑥 ∈[𝑎,𝑏]时，𝑓(𝑥)的值域也是[𝑎,𝑏]，
则称函数𝑓(𝑥)为“保值”函数，区间[𝑎,𝑏]称为函数𝑓(𝑥)的“等域区间”．
(1)请写出一个满足条件的“保值”函数：
第2页，共8页(2)若函数𝑓(𝑥)=𝑘+√ 𝑥+2是“保值”函数，则实数𝑘的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设𝑎 ，𝑏⃗ 是不共线的两个向量．
(1)若O⃗⃗⃗⃗A⃗ =2𝑎⃗⃗ −𝑏⃗ ，O⃗⃗⃗⃗B⃗ =3𝑎⃗⃗ +𝑏⃗ ，O⃗⃗⃗⃗⃗C =𝑎⃗⃗ −3𝑏⃗ ，求证：𝐴，𝐵，𝐶三点共线；
(2)若8𝑎⃗⃗ +𝑘𝑏⃗ 与𝑘𝑎⃗⃗ +2𝑏⃗ 共线，求实数𝑘的值．
16.(本小题15分)
1−𝑎𝑥
已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔 为奇函数，其中𝑎 ≠−1．
2 1+𝑥
(1)求𝑓(0)和实数𝑎的值；
(2)若𝑓(𝑥)满足𝑓(1−𝑡)+𝑓(1−𝑡2)>0，求实数𝑡的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数𝑓(𝑥)=2√ 3sin𝑥cos𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑎(𝑥 ∈𝑅)的最大值为5．
(1)求𝑎的值和𝑓(𝑥)的对称轴；
(2)求𝑓(𝑥)在[0,𝜋]上的单调递减区间；
𝜋 𝜋
(3)若∀𝑥 ∈[ , ]，𝑓(𝑥)+𝑚 <0成立，求𝑚的取值范围．
12 3
18.(本小题17分)
𝜋 𝜋
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以𝑥轴非负半轴为始边作角𝛼与𝛽(− <𝛽 <0<𝛼 < )，它们的终边分别
2 2
3
与单位圆相交于点𝑀和𝑁，已知点𝑀的坐标为(𝑥, )．
5
(1)若𝑂𝑀 ⊥𝑂𝑁，求点𝑁的坐标；
√ 2 1 𝜋
(2)若将角𝛽的终边按逆时针方向旋转至第一象限，且𝛽为锐角，sin𝛽 = ,tan𝛾 = (0<𝛾 < )，求𝛽+2𝛾
10 3 2
的大小．
19.(本小题17分)
第3页，共8页设𝑛次多项式𝑇 (𝑥)=𝑎 𝑥𝑛+𝑎 𝑥𝑛−1+⋯+𝑎 𝑥2+𝑎 𝑥1+𝑎 ,(𝑎 ≠0)，若其满足𝑇 (cos𝜃)=cos𝑛𝜃，则
𝑛 𝑛 𝑛−1 2 1 0 𝑛 𝑛
称这些多项式𝑇 (𝑥)为切比雪夫多项式.例如：由cos2𝜃 =2𝑐𝑜𝑠2𝜃−1可得切比雪夫多项式𝑇 (𝑥)=2𝑥2−1．
𝑛 2
(1)求切比雪夫多项式𝑇 (𝑥)；
3
(2)求sin18∘的值；
(3)已知方程8𝑥3−6𝑥−1=0在(−1,1)上有三个不同的根，记为𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ，求证：𝑥 +𝑥 +𝑥 =0．
1 2 3 1 2 3
第4页，共8页1.【答案】𝐵
2.【答案】𝐴
3.【答案】𝐶
4.【答案】𝐵
5.【答案】𝐷
6.【答案】𝐴
7.【答案】𝐴
8.【答案】𝐶
9.【答案】𝐵𝐶
10.【答案】𝐴𝐶𝐷
11.【答案】𝐴𝐶
12.【答案】12
1
13.【答案】
3
14.【答案】𝑓(𝑥)=𝑥,𝑥 ∈[−1,1](答案不唯一)
9
(− ,−2]
4
15.【答案】解：(1)证明：∵𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ −𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(3𝑎⃗⃗ +𝑏⃗ )−(2𝑎⃗⃗ −𝑏⃗ )=𝑎⃗⃗ +2𝑏⃗ ，
𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ −𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(𝑎⃗⃗ −3𝑏⃗ )−(3𝑎⃗⃗ +𝑏⃗ )=−2𝑎⃗⃗ −4𝑏⃗ =−2𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ，
∴𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 与𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 共线，且有公共端点𝐵．
∴𝐴，𝐵，𝐶三点共线．
(2)∵8𝑎⃗⃗ +𝑘𝑏⃗ 与𝑘𝑎 +2𝑏⃗ 共线，
∴存在实数𝜆，使得8𝑎⃗⃗ +𝑘𝑏⃗ =𝜆(𝑘𝑎⃗⃗ +2𝑏⃗ )．
∴(8−𝜆𝑘)𝑎⃗⃗ +(𝑘−2𝜆)𝑏⃗ =0⃗ ．
∵𝑎 与𝑏⃗ 不共线，
8−𝜆𝑘 =0,
∴{ ⇒8=2𝜆2 ⇒𝜆 =±2．
𝑘−2𝜆 =0
∴𝑘 =2𝜆 =±4．
∴实数𝑘的值为4或−4．
第5页，共8页1−𝑎𝑥
16.【答案】【详解】(1)由𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔 ，则𝑓(0)=𝑙𝑜𝑔 1=0；
2 1+𝑥 2
因为函数𝑓(𝑥)是奇函数，所以𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0，
1+𝑎𝑥 1−𝑎𝑥 1+𝑎𝑥 1−𝑎𝑥
即𝑙𝑜𝑔 +𝑙𝑜𝑔 =𝑙𝑜𝑔 ( ⋅ )=0=𝑙𝑜𝑔 1，
2 1−𝑥 2 1+𝑥 2 1−𝑥 1+𝑥 2
1+𝑎𝑥 1−𝑎𝑥
即 ⋅ =1，则1−𝑎2𝑥2 =1−𝑥2，所以𝑎2 =1，
1−𝑥 1+𝑥
又因为𝑎 ≠−1，所以𝑎 =1．
1−𝑥
(2)由(1)知𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔 ，
21+𝑥
1−𝑥
由 >0，解得−1<𝑥 <1，
1+𝑥
则𝑓(𝑥)的定义域为(−1,1)，
1−𝑥 2
因为𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔 =𝑙𝑜𝑔 (−1+ )，所以𝑓(𝑥)在(−1,1)上为减函数，
21+𝑥 2 1+𝑥
又因为𝑓(1−𝑡)+𝑓(1−𝑡2)>0，即𝑓(1−𝑡)>−𝑓(1−𝑡2)=𝑓(𝑡2−1)，
−1<1−𝑡 <1
则{−1<1−𝑡2 <1，解得1<𝑡 <√ 2，
1−𝑡 <𝑡2−1
所以实数𝑡的取值范围为(1,√ 2)．
17.【答案】【详解】(1)由题知𝑓(𝑥)=2√ 3sin𝑥cos𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑎 =√ 3sin2𝑥+cos2𝑥+𝑎 =
𝜋
2sin(2𝑥+ )+𝑎，
6
因为𝑓(𝑥)的最大值为5，所以2+𝑎 =5，可得𝑎 =3，
𝜋
所以𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+ )+3，
6
𝜋 𝜋 𝜋 𝑘𝜋
由2𝑥+ = +𝑘𝜋(𝑘 ∈𝑍)得𝑥 = + (𝑘 ∈𝑍)．
6 2 6 2
𝜋 𝑘𝜋
所以函数𝑓(𝑥)的对称轴方程为𝑥 = + (𝑘 ∈𝑍)．
6 2
𝜋 𝜋 13𝜋
(2)因为𝑥 ∈[0,𝜋]，令2𝑥+ =𝑡，则𝑡 ∈[ , ]，
6 6 6
𝜋 13𝜋 𝜋 3𝜋
因为𝑦 =2sin𝑡+𝑎(𝑡 ∈[ , ])的单调递减区间是[ , ]，
6 6 2 2
𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 2𝜋
由 ≤2𝑥+ ≤ ，得 ≤𝑥 ≤ ，
2 6 2 6 3
𝜋 2𝜋
所以𝑓(𝑥)在[0,𝜋]的单调递减区间是[ , ]．
6 3
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 5𝜋
(3)由题意知𝑚 <[−𝑓(𝑥)] ，由𝑥 ∈[ , ]，可得2𝑥+ ∈[ , ]，
min 12 3 6 3 6
第6页，共8页𝜋 𝜋 𝜋
故当2𝑥+ = 时，函数𝑓(𝑥)取最大值2sin +3=5，所以，𝑚 <−5，
6 2 2
因此，实数𝑚的取值范围是(−∞,−5)．
4
18.【答案】【详解】(1)因为点𝑀在单位圆上，利用三角函数的定义，解𝑥 =
5
3 4
由三角函数的定义知，sin𝛼 = ,cos𝛼 =
5 5
𝜋 𝜋 𝜋
因为− <𝛽 <0<𝛼 < ，且𝑂𝑀 ⊥𝑂𝑁，所以𝛼−𝛽 =
2 2 2
𝜋 4
所以sin𝛽 =sin(𝛼− )=−cos𝛼 =−
2 5
𝜋 3
cos𝛽 =cos(𝛼− )=sin𝛼 =
2 5
3 4
故𝑁( ,− )
5 5
1 2tan𝛾 2 9 3
(2)因为tan𝛾 = ，所以tan2𝛾 = = × = ，
3 1−𝑡𝑎𝑛2𝛾 3 8 4
3 𝜋 𝜋
因为tan2𝛾= <1，且𝛾 ∈(0, )，所以0<2𝛾 <
4 2 4
因为𝛽 ∈(0,
𝜋
)，sin𝛽 =
√ 2
，所以cos𝛽 =√ 1−𝑠𝑖𝑛2𝛽 =
7√ 2
，
2 10 10
sin𝛽 1
所以tan𝛽 = = ，
cos𝛽 7
1 𝜋 𝜋
因为tan𝛽 = <1，且𝛽 ∈(0, )，所以0<𝛽 < ；
7 2 4
1 3
tan𝛽+tan2𝛾 +
因为tan(𝛽+2𝛾)= = 7 4 =1，
1−tan𝛽tan2𝛾 1− 3
28
𝜋
且0<𝛽+2𝛾 < ，
2
𝜋
所以𝛽+2𝛾 = ．
4
19.【答案】【详解】(1)因为cos3𝜃 =cos(2𝜃+𝜃)=cos2𝜃cos𝜃−sin2𝜃sin𝜃
所以cos3𝜃 =(2𝑐𝑜𝑠2𝜃−1)cos𝜃−2𝑠𝑖𝑛2𝜃cos𝜃 =2𝑐𝑜𝑠3𝜃−cos𝜃−2(1−𝑐𝑜𝑠2𝜃)cos𝜃
所以cos3𝜃 =4𝑐𝑜𝑠3𝜃−3cos𝜃，
所以𝑇 (𝑥)=4𝑥3−3𝑥；
3
(2)因为cos54∘ =sin36∘，
所以4𝑐𝑜𝑠318∘−3cos18∘ =2sin18∘cos18∘，又cos18∘ >0，
所以4𝑐𝑜𝑠218∘−3=2sin18∘，
第7页，共8页所以4(1−𝑠𝑖𝑛218∘)−3=2sin18∘
即4𝑠𝑖𝑛218∘+2sin18∘−1=0，因为sin18∘ >0，
解得sin18∘ = √ 5−1 ,( −√ 5−1 舍去)；
4 4
1
(3)由题意，4𝑥3−3𝑥− =0，
2
1 1
法一：设𝑥 =cos𝜃，代入方程得到4𝑐𝑜𝑠3𝜃−3cos𝜃− =0⇒cos3𝜃 = ，
2 2
𝜋 𝜋 𝜋 5𝜋 7𝜋
解三角方程得3𝜃 = +2𝑘𝜋,3𝜃 =− +2𝑘𝜋,𝑘 ∈𝑍，不妨取𝜃 = ,𝜃 = ,𝜃 = ，
3 3 1 9 2 9 3 9
𝜋 5𝜋 7𝜋 𝜋 4𝜋 2𝜋
𝑥 +𝑥 +𝑥 =cos +cos +cos =cos −(cos +cos )，
1 2 3 9 9 9 9 9 9
4𝜋 2𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 𝜋
而cos +cos =cos( + )+cos( − )=cos ，
9 9 9 9 9 9 9
综上𝑥 +𝑥 +𝑥 =0．
1 2 3
1
法二：令4𝑥3−3𝑥− =4(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )(𝑥−𝑥 )=0
2 1 2 3
1
即4[𝑥3−(𝑥 +𝑥 +𝑥 )𝑥2+(𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 )𝑥−𝑥 𝑥 𝑥 ]=4𝑥3−3𝑥− =0
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 2
依据多项式系数对应相等得到𝑥 +𝑥 +𝑥 =0．
1 2 3
综上𝑥 +𝑥 +𝑥 =0．
1 2 3
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定
义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现
象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万
变才是制胜法宝．
第8页，共8页
