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第九章 统计
（B 能力卷）
班级______ 姓名_______ 考号______
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一
项是最符合题目要求的）
1．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只
“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽
取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．9
【答案】D
【详解】
，解得：
故选：D
2．某学校为调查学生参加课外体育锻炼的时间，将该校某班的40名学生进行编号，分别为00，01，
02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行调查，选取方法是从下面的随机数表的第1行第11列
开始向右读取数据，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（ ）
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 75
A．07 B．40 C．35 D．23
【答案】D
【详解】
重复的号码只能算作一个，抽取样本号码是24，36，38，07，35，23，18，05，20，15，所以抽取样本
的第6个号码为23.
故选：D
3．古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋，明代则处于其发展的鼎盛阶段，其中表现之一为会试分南
卷、北卷、中卷，按比例录取，录取比例为 ．若明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数
为（ ）
A．10 B．15 C．30 D．35
【答案】A
【详解】
依题意，中卷录取人数为 .
故选：A4．中国运动员谷爱凌在2022北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中以188.25分夺得金牌．自由式滑雪
大跳台比赛一般有资格赛和决赛两个阶段，比赛规定：资格赛前12名进入决赛．在某次自由式滑雪大跳
台比赛中，24位参加资格赛选手的成绩各不相同．如果选手甲知道了自己的成绩后，则他可根据其他23
位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（ ）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
【答案】A
【详解】
其他23位参赛同学，按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选手的成绩．
若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛，
因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛.
故选： ．
5．甲､乙两名射击运动员分别连续 次射击的环数如下：
第 次 第 次 第 次 第 次 第 次 第 次
甲
乙
根据以上数据，下面说法正确的是（ ）A．甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差相等
B．甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数大
C．甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数大
D．甲射击的环数比乙射击的环数稳定
【答案】D
【详解】
对于A选项，甲射击的环数的极差为 ，乙射击的环数的极差为 ，
所以，甲射击的环数的极差与乙射击的环数的极差小，A错；
对于B选项，甲射击的环数的平均数为 ，
乙射击的环数的平均数为 ，
所以，甲射击的环数的平均数比乙射击的环数的平均数相等，B错；
对于C选项，甲射击的环数的中位数为 ，乙射击的环数的中位数为 ，
所以，甲射击的环数的中位数比乙射击的环数的中位数小，C错；
对于D选项，甲射击的环数的方差为 ，
乙射击的环数的方差为 ，所以，甲射击的环数的方差比乙射击的环数的方差小，
故甲射击的环数比乙射击的环数稳定，D对.
故选：D.
6．已知一组数据： 的平均数是5，方差是4，则由 ， ， 和 这四个数据组成的
新数据组的方差是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．11
【答案】C
【详解】
解：由已知得 ， ，
则新数据的平均数为 ，
所以方差为 ，
，
故选：C．
7．已知某样本的容量为100，平均数为80，方差为95.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有
误，一个错将90记录为70，另一个错将80记录为100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均
数为 ，方差为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【详解】
由题意，可得 ，
设收集的98个准确数据分别记为 ，
则
，
，所以 ．
故选：A
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为
“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一
定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
【答案】D
【详解】
试题分析：由于甲地总体均值为 ，中位数为 ，即中间两个数（第 天）人数的平均数为 ，因此后
面的人数可以大于 ，故甲地不符合.乙地中总体均值为 ，因此这 天的感染人数总数为 ，又由于方
差大于 ，故这 天中不可能每天都是 ，可以有一天大于 ，故乙地不符合，丙地中中位数为 ，众数
为 ， 出现的最多，并且可以出现 ，故丙地不符合，故丁地符合.
考点：众数、中位数、平均数、方差
二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项
是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．有一组样本数据 的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．设 ，则样本数据 ， ，…， 的平均数为
B．设 ， ，则样本数据 ， ，…， 的标准差为
C．样本数据 ， ，…， 的平均数为
D．
【答案】AD
【详解】
A选项，由题意得： ，则 ，A正确；
B选项，数据 ， ，…， 的平均数为 ，
所以
，则标准差为 ，B错误；
C选项，可以举出反例，比如1,2,3的平均数为2，而1,4,9的平均数为 ，显然样本数据 ， ，…，
的平均数不一定是 ，故C错误；
D选项，
，D正确.
故选：AD10．我国疫情基本阻断后，在抓好常态化疫情防控的基础上，有力有序推进复工复产复业复市，成为当务
之急.某央企彰显担当，主动联系专业检测机构，为所有员工提供上门核酸全覆盖检测服务，以便加快推
进复工复产.下面是该企业连续11天复工复产指数折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数增量
C．第3天至第11天复工复产指数均超过 D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数增量
【答案】CD
【详解】
两个折线都有下降的过程，A错；
这11天期间，第一天和第11天复产指数都大于复工指数，但第一天两者的差大于第11天两者的差，因此
复产指数增量小于复工指数增量，B错；
由复工复产指数折线图知C正确；
第9天复产指数小于复工指数，第11天复产指数大于复工指数，因此D正确．
故选：CD．
11．为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用
分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时
间的频率分布直方图（如图所示），则（ ）
A．
B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75
C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时
D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为
【答案】ACD【详解】
解： ，解得 ，故A正确；
因为 ， ，故设中位数为 ，则 ，
故B错误；
样本中男生在校平均体育活动时间超过一小时的占 ，
女生在校平均体育活动时间超过一小时的占 ，
所以该校每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为 ，故C正确；
男生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为 ，
女生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为 ，
所以该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为
，故D正确；
故选：ACD
12．某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了10个用户的满意度评分，评分用区间 内的一
个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.用户对产品的满意度评分如下: 7，8，9，7，5，4，10，9，
4，7.则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数为7 B．这组数据的第75百分位数为8
C．这组数据的极差为6 D．这组数据的方差为40
【答案】AC
【详解】
对A，这组数从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10.这组数的众数为7，A正确；
对B，因为10×75%=7.5，且第8个数为9，所以这组数据的第75百分位数为9，B错误；
对C，这组数据的极差为10-4=6，C正确；
对D，这组数据的平均数 ，则这组数据的方差
，D错误.
故选：AC.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．某学习兴趣小组学生一次测验成绩如下：
130，135，126，123，145，146，150，131，143，144，则这个兴趣小组学生的测验成绩的第75百分位
数是_________.
【答案】145
【详解】将10个数据从小到大排成一列：123，126，130，131，135，143，144，145，146，150，
其中 ，所以测验成绩的第75百分位数是145.
故答案为：145.
14．若40个数据的平方和为56，平均数为 ，则这组数据的方差为________
【答案】 ##
【详解】
设这40个数据为 （ ，2，…，40），平均数为 ，则
，
故答案为：
15．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人
数作为样本数据.已知样本平均数为10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为
______.
【答案】13
【详解】
设样本数据由小到大依次为 ， ， ， ， ，
记 ，
则 ， .
由于 且 可知， .
若 ，则 ，
得 ， ， ， 中要么有1个是4其余3个是0，要么4个都是1，
这与样本数据互不相同矛盾；
若 ，则 ，取 ， ， ， 满足题意；若 ，则 ，
， ， ，只有 ， ， ， 满足 ，但此时不
满足 ；
若 ，则 ， ， ， ，不满足 ；综上可知， ，
，即样本数据的最大值为13.故答案为：13
16．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的
生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达
到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考
评分数如下：
A类行业：85，82，77，78，83，87；
B类行业：76，67，80，85，79，81；
C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
则该城区这三类行业中每类行业的单位个数分别为______．
【答案】60，60，80
【详解】
由题意，得抽取的 ， ， 三类行业单位个数之比为 .
由分层抽样的定义，有
类行业的单位个数为 ，
类行业的单位个数为 ，
类行业的单位个数为 ，
故该城区 ， ， 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共70分）
17．为了检查一批零件的质量，从中随机抽取10件，量得它们的长度（单位：毫米）如下：
10030、10100、10020、10070、10140、10080、9990、11200、10050、10100．
(1)请分别指出个体、样本和样本容量；
(2)试计算样本的平均数．
【解析】(1)
每个零件的长度是个体，所抽取的10个零件的长度称为样本，样本容量为10．
(2)
平均数为 ．
18．某校高三（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，
但可见部分如图所示，据此解答如下问题：(1)求高三（1）班全体女生的人数；
(2)求分数在 之间的女生人数，并计算频率分布直方图中 对应的矩形的高．
【答案】(1)25(2)4，0.016
【解析】(1)
由茎叶图知，分数在 上的频数为2，
由频率分布直方图知，分数在 上的频率为 ，
所以全体女生人数为 （人）．
(2)
茎叶图中可见部分共有21人，所以分数在 上的女生人数为 ，
所以分数在 上的频率为 ，
所以频率分布直方图中 对应的矩形高为 ．
19．南京市某报社发起过建党 周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多
文章中选取 篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在 之间，根据统计结果，作
出频率分布直方图如图：
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这 篇文章中抽出 篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在 的作者中选出参加座谈会的人数；
(3)根据频率分布直方图，求这 位作者年龄的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表）和
百分位数（结果保留一位小数）．
【答案】(1) (2) 人(3) ，第 百分位数为
【解析】(1)
， .
(2)
应从 选出参加座谈会的人数为： 人.
(3)
由题意得： ；
假设第 百分位数为 ，则 ，
解得： ，即第 百分位数为 .
20．某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：
男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；
女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.
(1)分别计算和比较男女生得分的平均数和标准差；
(2)分别计算男、女生得分的四分位数.
【解析】(1)
男生的平均得分为 ＝ (35＋38＋44＋…＋94)≈61.
男生的方差是 ＝ [(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25，∴s≈16.
女生的平均得分是 ＝ (51＋52＋55＋…＋89＋100)≈71.
女生的方差是 ＝ [(51－71)2＋(52－71)2＋…＋(100－71)2]≈162.11，∴s≈13.
(2)
男生的数据从小到大的排序为：35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，
75，85，90，94.
女生的数据从小到大排序为：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，
89，100.
所以男、女生的四分位数分别为：
25%分位数 50%分位数 75%分位数
男生 49 57.5 71.5女生 63 69.5 77
21．随着北京冬奥会的成功举办，冰雪运动成为时尚.“三亿人参与冰雪运动”与建设“健康中国”紧密相
连，对我国经济发展有极大的促进作用，我国冰雪经济市场消费潜力巨大.为了更好地普及冰雪运动知识，
某市十几所大学联合举办了大学生冰雪运动知识系列讲座，培训结束前对参加讲座的学生进行冰雪知识测
试，现从参加测试的大学生中随机抽取了100名大学生的测试成绩（满分100分），将数据分为5组：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如下频数分布表（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）：
分
[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
数
人
8 15 25 30 22
数
(1)若成绩不低于60分为合格，不低于80分为优秀，根据样本估计总体，估计参加讲座的学生的冰雪知识
的合格率和优秀率；
(2)若 为样本成绩的平均数，样本成绩的标准差为s，计算得 ，若 ，则不及格学生需要
参加第二次讲座，否则，不需要参加第二次讲座，试问不及格学生是否需要参加第二次讲座？
【解析】(1)
根据表格可知成绩不低于60分的频率为 ，
所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的合格率为92%；
根据表格可知成绩不低于80分的频率为 ，
所以估计参加培训讲座的学生的冰雪知识的优秀率为52%.
(2)
由题得， ，
所以 ，
故不需要对不及格学生进行第二次培训.
22．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A、B两道题目中任选
一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从
900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序
依次编号为001～900．
(1)若采用随机数法抽样，已知用计算机产生的若干0～9范围内的随机数如下，以第3个数5为起点．从
左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；(2)若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，
平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做
题得分的平均数与方差．
【答案】(1)667；(2)7.2，3.56．
【解析】(1)
根据题意，读出的编号依次是：512、916(超界)、935(超界)、805、770、951(超界)、512(重复)、687、
858、554、876、647、547、332．
将有效的编号从小到大排列，得332、512、547、554、647、687、770、805、858、876，
∴中位数为 ．
(2)记样本中8个A题目的成绩为 ，
记2个B题目的成绩为 ，
记样本中A题目和B题目的总共10个成绩为 ﹒
由题可知， ， ， ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
