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期末数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：1．答题前在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卷上.
一、选择题（每小题5分，共60分.注意：9至12题为多选题.）
1. 过点 ， 的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4
2. 若圆 的半径为 ，则实数 （ ）
A. B. -1 C. 1 D.
3. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是
A. B.
C. D.
4. 饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至
西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，
有一点 从点 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点 经过3次
跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点 的概率为（ ）
.
A B. C. D.
5. 点 到直线 的距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
学科网（北京）股份有限公司6. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施
壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截
去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）
A. 100 B.
C. 300 D. 400
7. （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为
A. B.
C. D.
8. 已知圆 ，圆 ，M，N分别是圆 上的动点，P
为x轴上的动点，则以 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
注意: 9至12题为多选题.
9. 已知直线 ： 和直线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A. 始终过定点
B. 若 ，则 或-3
学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则 或2
.
D 当 时， 始终不过第三象限
10. 为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现调查了当地
的100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是
A. 样本在区间 内的频数为18
B. 如果规定年收入在300万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有30%的当地中小型企业能享受到减
免税政策
C. 样本的中位数小于350万元
的
D. 可估计当地 中小型企业年收入的平均数超过400万元（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
11. 设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果 ， ，那么 .
B. 如果 ， ，那么 .
C. 如果 ， ， ，那么 .
D. 如果 内有两条相交直线与 平行，那么 .
12. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为正三角形，且平面
学科网（北京）股份有限公司平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱 上存在点 ，使 平面
B. 异面直线 与 所成的角为90°
C. 二面角 的大小为45°
D. 平面
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知圆锥 高为 ，体积为 ，则以该圆锥的母线为半径的球的表面积为______________.
的
14. 直线 的倾斜角的取值范围是______.
15. 已知水平放置的 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 ，
，则原 的面积为______.
16. 如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 是菱形,且 , 则
异面直线 与 所成的角的余弦值为______,点 到平面 的距离等于______.
学科网（北京）股份有限公司三、解答题（共70分.注意：以一定的文字说明并规范答题）
17. 已知向量 ， .
（1）计算 和 ；
（2）求 .
18. 已知三角形的三个顶点是 ， ， ．
（1）求 边上的中线所在直线的方程；
（2）求 边上的高所在直线的方程．
19. 某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低
于40分的整数)分成六段： ， ，…， 所得到如图所示的频率分布直图
（1）求图中实数 的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学
成绩之差的绝对值不大于10的概率.
20. 如图长方体 中， ， ，点 为 的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.
21. 已知圆 .
（1）求过点M（2，1）的圆的切线方程；
（2）直线 过点 且被圆 截得 弦的长为2，求直线 的方程；
（3）已知圆 的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆 相外切，求圆 的标准方程.
22. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ， 为侧棱 上
一点．
（1）求证： ；
（2）若 为 中点，平面 与侧棱 于点 ，且 ，求四棱锥 的体
积．
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