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高二年级期中考试题卷
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的）
1. 点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）
A. B.
.
C D.
2. 若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从该市任选1名高三学
生，其这次数学测试的成绩在100~108分内的概率约为（ ）
参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
A. 0.1573 B. 0.34135 C. 0.49865 D. 0.1359
3. 已知函数 在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 有4位游客来某地旅游，若每人只能从此处甲、乙、丙三个不同景录点中选择一处游览，则每个景点都
有人去游览的概率为
A. B. C. D.
5. 若函数 的极大值为2，则 的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D. 和
学科网（北京）股份有限公司6. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手
机超过1 ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 的学生中任意调查一名学生，则他近视
的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ， ，若直线 与函数 ， 的图象都相切，则
的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
8. 函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 设随机变量 的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（ ）
0 1 2 3
A. B. C. D.
10. 已知 ， ， （其中 为自然对数的底数），则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
11. 下列说法中，正确的命题有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
B. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则 的值分别是 和0.3
C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
D. 若样本数据 ， ， ， 的方差为2，则数据 ， ， ， 的方差为16
12. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 既存在极大值又存在极小值 B. 函数 存在 个不同的零点
C. 函数 的最小值是 D. 若 时， ，则 的最大值
为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知随机变量 ，则 ______．
14. 某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2
人，则2人的日生产件数之和 的方差为______.
15. 已知 是定义在R的函数f（x）的导函数，且 ， ，则不等式
的解集为________．
16. 甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛
无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为 ，客场取胜的
概率为 ，且各场比赛相互独立，则甲队以 获胜的概率为___________.
四、解答题
17. 已知 展开式中第3项和第7项的二项式系数相等.
学科网（北京）股份有限公司（1）求展开式中含 的项的系数；
（2）展开式系数的绝对值最大的项是第几项？
18. 现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.
（1）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸
球方法数.
（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？
（注：请列出解题过程，结果保留数字）
19. 已知函数 ．
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2） 在点 处的切线与 只有一个公共点，求 的值．
20. 近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己
的
作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
x 2 4 6 8 10
y 64 138 205 285 360
的
（1）计算x，y 相关系数r（计算结果精确到0.0001），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点
赞数的相关性很强；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程.
参考公式： ， ，
.
参考数据： ， .
21. 某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮
学科网（北京）股份有限公司都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别
为 和 ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是 和 ，其中 .
的
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛 可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列.
22. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若存在 ， 满足 ，且 ， ，求实数a的取值范围．
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