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高三数学考试参考答案
!!#!!解析"本题考查复数的运算#考查数学运算的核心素养!
设"$#%$&!#"$"!#"则"#$#’$&!#"$"!#!
因为&"%("#’!)$*"所以&!#%$&#%(!#’$&#’!)$(#’$’!)%!#’($#&$*"
$(#’$’!)$*" $#$("
则 解得 即"$(%&"所以复数"在复平面内对应的点为!("!#"位于第
#’($$*" $$!"
一象限!
+!,!!解析"本题考查椭圆的离心率#考查数学运算的核心素养!
+ 槡-
由题可知#+$%+%+"$+$%+"&+$#+’$+$+" $! #+"解得%$.+!
%+%+ -
-!/!%解析"本题考查集合间的基本关系#考查逻辑推理的核心素养!
依题意得’$$($(+’+(’-%*&$’’!"-("当#&*时")$’"符合)(’"
当#)*时")$$($槡(%#&$$($*%(%#+&"因为)(’"所以#+%-"解得*%#%槡-!
故#的取值范围为!’0"槡-(!
(!1!!解析"本题考查线与面的位置关系#考查逻辑推理的核心素养!
当%**时"%可能在!内或者
"
内"故不能推出%*" 且%*!!
当%*" 且%*!时"设存在直线++!"+," "且+*%"因为%*" "所以+*" "
根据直线与平面平行的性质定理"可知+**"所以%**!
故)%***是)%*" 且%*!*的必要不充分条件!
)!,!!解析"本题考查排列组合#考查逻辑推理的核心素养!
第一种情况"只有两人参加晚会"有#+$"种去法"第二种情况"三人参加晚会"有1+#+$
- - +
"种去法"共!+种去法!
"!#!!解析"本题考查解三角形#考查数学运算的核心素养!
由$$槡+#"可得2&3’$槡+2&3)"则2&3+,$槡+2&3-,"2&3+,$槡+2&3+,452,%槡+452+,+
2&3,"+452,$+槡+452+,%槡+!+452+,’!#"
槡+ ! !
即(槡+452+,’+452,’槡+$*"解得452,$ "即,$ "’$ "故选#!
+ ( +
6!#!!解析"本题考查函数的极值点#考查数学运算的核心素养!
+#
-.!(#$-(+%+#($(!-(%+##"令-.!(#$*"可得($*或($’ !
-
+#
因为*是函数-!(#$(-%#(+%!的极大值点"所以’ -*"解得#&*!
-
故#的取值范围为!’0"*#!
7!1!!解析"本题考查数列的递推关系#考查逻辑推理的核心素养!
设经过+小时"有# 个正常细菌"$ 个非正常细菌"则# $+#"$ $#%+$!
+ + +%! + +%! + +
$ $ !$ ! ! +
又#$+"$$!"所以#$++"$ $+$%++"则 +%!$ +% "+$ % !+’!#$ "
! ! + +%! + ++%! ++ + ++ + + +
所以$$++++’!"所以# %$ $+!(%!(8+!-$!"8+!-$+!6!
+ !( !(
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#"
{#{QQABCYAQggCAAJJAARhCAwHACAOQkAGCAAoORAAAsAIAyAFABAA=}#}
书书书9!#/!!解析"本题考查复合函数以及三角函数的图象#考查数形结合的数学思想以及运算求
解能力!
因为-!’(#$-!(#"所以-!(#是偶函数"故#正确,
-!(%!#$+$2&3!(%!#$452!(%!#$+’$2&3($452(.-!(#"故,错误,
当("’!" )! (时"-!(#$+$2&3($452($+’2&3(452($+’! +2&3+("因为+("’+!" )! ("所以/$’ ! +
( + +
)! )!
2&3+(在’!" (上单调递减"又/$+(单调递增"所以-!(#在’!" (上单调递减"故1错误,
( (
因为-!(%+!#$-!(#"所以-!(#是周期为+!的周期函数"当("’*"+!(时"-!(#$
+$2&3($452($/
0+ ! +2&3+("("’*"!("
则-!(#的最小值为+’! +$ 槡+ "故/正确!
1+’! +2&3+("("!!"+!(" +
!*!1/!!解析"本题考查双曲线的渐近线#考查数形结合的数学思想!
由题可知*经过第二-四象限"*经过第一-三象限"设*的倾斜角为#!
! + +
! ! ! ! !
当#"!*" #时"则-#$ "即#$ ":;3#$:;3! ’ #$+’槡-"
( ( !+ ( "
$ &+ $+
即 $+’槡-"所以0+$ $!% $7’(槡-!
# #+ #+
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当#"! " #时"+#%#’ $!"即#$ ":;3#$:;3! % #$槡-%+"
( + ( !+ " (
$ &+ $+
即 $+%槡-"所以0+$ $!% $7%(槡-!
# #+ #+
综上"双曲线,的离心率的平方为7.(槡-!
!!!#1/!!解析"本题考查四棱锥以及线面的位置关系#考查空间想象能力以及逻辑推理的核
心素养!
设点)在平面’,12上的投影为) "当)221,时")221,"这种情况显然存在"故#
! !
正确!若’,*平面)12"’,+平面’,12"平面’,123平面)12$12"所以’,*12"
矛盾"故,错误!设4)12$!"!"!*"4)1’#"则点)到12的距离为2&3!")2$:;3!"
!
’2$"’:;3!"要使得四棱锥)3’,12的体积最大"则#$ "此时四棱锥)3’,12的体
+
! !"%"’:;3!#8! ! 2&3+!
积4$ 8 82&3!$ !!+2&3!’ #"
- + " 452!
! +2&3!452+!%2&3-! 2&3! !+ !+
4.$ !!+452!’ #$ ! ’+’:;3+!#"/$ ’+’:;3+!在!*"
" 452+! " :;3! :;3!
! !+
#上单调递减"且当:;3!$+时" ’+’:;3+!$*!
+ :;3!
+槡) 槡)
令:;3!$+"!"!*"4)1’#"则2&3!$ "452!$ "
* * * ) * )
! +槡) +槡)
所以4在!*"!#上单调递增"在!!"4)1’#上单调递减"4 $ !!+8 ’+8 #$
* * <;= " ) )
+槡) +槡)
"即四棱锥)3’,12体积的最大值为 "1正确!
- -
665 665 665 665
过)",作12的垂线"垂足分别为5"6!图略#"从而得到)5+12$*",6+12$*"又
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% "!"#"
{#{QQABCYAQggCAAJJAARhCAwHACAOQkAGCAAoORAAAsAIAyAFABAA=}#}665 665 665 665
),$)5%56%6,"
665 665 665 665 665 665 665 665 665 665 665 665
所以),+$!)5%56%6,#+$)5+%56+%6,+%+)5+56%+)5+6,%+56+
665 665 665 665 665 665
6,$$)5$+%$56$+%$6,$+%+)5+6,!
! 665 665
因为二面角)3123,的大小为 "所以)5与6,的夹角为!+*>!
-
!
设4)12$!"!"!*"4)1’#"则4,12$ ’!"
+
)5$2&3!",6$"452!"15$452!"16$"2&3!"所以56$$452!’"2&3!$"
665 !
所以$),$+$!2&3!#+%!452!’"2&3!#+%!"452!#+%++2&3!+"452!+!’ #$-6’92&3+!"
+
! 665
故当!$ 时"$),$+有最小值+7"故线段),长度的最小值为+槡6"/正确!
(
!+!’!7*!!解析"本题考查二项式定理#考查数学运算的核心素养!
!(+’/+#!+(%/#"$(+!+(%/#"’/+!+(%/#""
所以!(+’/+#!+(%/#" 的展开式中含((/( 的项为(+1(!+(#+/(’/+1+!+(#(/+$
" "
’!7*((/("故!(+’/+#!+(%/#"的展开式中((/(的系数为’!7*!
!-!9!!解析"本题考查抽象函数以及函数的性质#考查逻辑推理的核心素养!
-
由-!(%-#$’-!’(#"可得-!(#的图象关于点! "*#对称"又-!(#是奇函数"所以
+
-!(%-#$’-!’(#$-!(#"则-!(#的周期为-"所以-!*#$-!-#$-!"#$*"-!+#$-!)#
$-!’+#$-!!#$-!(#$*"-!!!)#$’-!!!)#"则-!!!)#$-!(!)#$*!
+!( +!(
故-!(#在’*""(上的零点个数的最小值为9!取-!(#$2&3 !!%+452 #"显然满足题
- -
意"且恰好在’*""(上有9个零点!
!(!+!!解析"本题考查函数的性质以及不等式的应用#考查逻辑推理的核心素养!
$ $ & +&
设%"+-*"则+槡#$$+槡#%+ %#%% "(槡#&$(槡#++ %+#+% "当且仅当#%
% % + +
$ & $ +&
$ "#+$ 时"等号成立"故#%+槡#$%(槡#&%#!%%++%!#% % !
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令!%%++%!#? ? $!?!?("解得%$ "+$ "所以 %
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$+"当#$($"#$!"&时"等号成立!
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!)!解.!!#因为-!(#$@(’+(%%"所以-.!(#$@(’+"则7$-.!*#$’!!………………+分
因为-!*#$!%%"所以切点坐标为!*"!%%#" …………………………………………-分
所以-!(#的图象在点!*"-!*##处的切线方程为/$’(%!%%!………………………(分
!
令/$*"得($!%%"所以 8!!%%#8!!%%#$+"又%-*"所以%$!! …………"分
+
!+#由!!#可知-.!(#$@(’+"令-.!(#-*"解得(-A3+"………………………………7分
所以-!(#在’’!"A3+#上单调递减"在!A3+"+(上单调递增!…………………………!*分
!
又-!’!#$-% "-!+#$@+’-"-!A3+#$-’+A3+"…………………………………!!分
@
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$% "!"#"
{#{QQABCYAQggCAAJJAARhCAwHACAOQkAGCAAoORAAAsAIAyAFABAA=}#}所以-!(#在’’!"+(上的值域为’-’+A3+"@+’-(!……………………………………!-分
评分细则.
%!/第!!#问共"分"未舍去%$’-"扣!分!
!
%+/第!+#问共6分"未求单调性"直接代入得-!’!#$-% 和-!+#$@+’-"得!分!
@
!"!解.!!#甲!+次投篮次数的平均数($7*"乙7次投篮次数的平均数($6)!
! +
!+ 7 -87*%+86)
这+*次投篮次数的平均数(7$ (% ($ $67" ……………………-分
+*! +*+ )
!+ 7
方差8+$ ’8+%!(’(7#+(% ’8+%!(’(7#+(
+* ! ! +* + +
79
-8’ %!7*’67#+(%+8’+-%!6)’67#+(
-
$ $--!……………………………………6分
)
!+#9的可能取值为!"+"-"
! - -
则:!9$!#$ 8 8!$ "……………………………………………………………7分
) ( +*
( ! ! ! +!
:!9$+#$ 8 8!% 8 8!$ "………………………………………………9分
) ) ) ( !**
( ( !"
:!9$-#$ 8 8!$ "………………………………………………………………!*分
) ) +)
所以9的分布列为
9 ! + -
- +! !"
:
+* !** +)
………………………………………………………………………………………………!+分
- +! !" +(9
2!9#$!8 %+8 %-8 $ !…………………………………………………!)分
+* !** +) !**
评分细则.
%!/第!!#问共6分"正确算出(7得-分"正确算出8+得(分!
%+/第!+#问共7分"正确列出分布列可得)分"正确写出2!9#得-分!
!6!!!#证明.设;为)’的中点"连接,;"’;")’"’,!
! ! !
因为,)$,’"所以)’2;,! ……………………………………………………………!分
!
因为四边形)’’) 为菱形"4)’’$ "所以8)’’ 为等边三角形"则)’2;’!…
! ! ! - ! !
……………………………………………………………………………………………+分
又;,3;’$;"所以)’2平面;’,!…………………………………………………-分
! !
因为’,+平面;’,"所以)’2’,!…………………………………………………(分
! ! !
因为),2’,"),3)’$)"所以’,2平面)’,! ………………………………)分
! ! ! ! !
因为’,+平面)’,"所以’,2’,"所以四边形’,,’ 为菱形"即’,$’’!……
! ! ! ! ! ! !
……………………………………………………………………………………………6分
!+#解.因为平面)’,2平面)’’)"且平面)’,3平面)’’)$)’")’2;’"
! ! ! ! !
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{#{QQABCYAQggCAAJJAARhCAwHACAOQkAGCAAoORAAAsAIAyAFABAA=}#}所以’;2平面)’,! ……………………………………………………………………9分
!
以;为坐标原点";,";)";’所在直线分别为("/""轴"建立如图所示 (
!
#
的空间直角坐标系"设)’$+" ! "
!
!
!
则;!*"*"*#",!槡-"*"*#"’!*"’!"*#"’!*"*"槡-#")!*"!"*#"
!
可得) 665 ,$!槡-"’!"*#"’ 66 ’ 5 ! $, 66 , 5 ! $!*"!"槡-#"’ 665 ,$!槡-"!"*#! $ % " &
665
0!+’,$槡-(%/$*" !
设平面’,,’ 的法向量为!$!("/""#"则/
! ! 665 ’
1!+,,$/%槡-"$*"
!
令($!"则/$’槡-""$!"可得!$!!"’槡-"!#! ……………………………………!!分
665
0"+),$槡-#’$$*"
设平面),,) 的法向量为"$!#"$"&#"则/
! ! 665
1"+,,$$%槡-&$*"
!
令#$!"则$$槡-"&$’!"可得"$!!"槡-"’!#!………………………………………!-分
!+" - (
$4520!""1$$$ $$ "故二面角’3,,3)的正弦值为 ! …………………!)分
$!$$"$ ) ! )
评分细则.
%!/第!+#问"未证明’;2平面)’,"直接建系扣+分!
!
%+/若用其他解法"参照评分标准按步骤给分!
!7!!!#解.+7的所有正因数为!"+"("6"!("+7"………………………………………………!分
因为!%+%(%6%!(%+7$)"$+8+7"所以+7是完全数!……………………………-分
!+#证明.++!++%!’!#的正因数为+*"+!"++"2"++"+*!++%!’!#"+!!++%!’!#"++!++%!’
!#"2"++!++%!’!#"…………………………………………………………………………)分
$!++!++%!’!##$!!%+%++%2%++#!++%!’!%!#……………………………………6分
++%!’!
$ 8++%!$++%!!++%!’!#$+8++!++%!’!#"
+’!
所以++!++%!’!#为完全数!………………………………………………………………!*分
!-#解.!*+$+++)+的正因数为+*)*"+*)!"+*)+"2"+*)+"+!)*"+!)!"+!)+"2"+!)+"2"++)*"
++)!"++)+"2"++)+"
!++%!’!#!)+%!’!#
所以$!!*+#$!!%+%++%2%++#!!%)%)+%2%)+#$ !……!(分
(
因为-*+$+++-++)+"
所以$!-*+#$!!%+%++%2%++#!!%-%-+%2%-+#!!%)%)+%2%)+#
!’++%! !’-+%! !’)+%! !++%!’!#!-+%!’!#!)+%!’!#
$ 8 8 $ !………………………!6分
!’+ !’- !’) 7
评分细则.
%!/第!!#问未说明理由"直接下结论)+7是完全数*"可得!分!
%+/第!+#问和第!-#问中"未写出正因数"直接写出$!+#的答案"不扣分!
0($%/%("
!9!解.!!#设)!("/#"’!("/#"*.($%/%("联立方程/ 得/+’+<%/’7<$*"
) ) ’ ’ 1/+$+<("
则/%/$+<%"// $’7"所以 ! + ! - $:;3"*>$槡-"
( (
!% +
/%/ /%/
! + ! -
化简可得(!/’/#$槡-’!/%/#!/%/#%!"("……………………………………9分
- + ! + ! -
同理可得(!/’/#$槡-’!/%/#!/%/#%!"("
+ ! - ! - +
(!/’/#$槡-’!/%/#!/%/#%!"("
! - + - + !
三式相加得*$槡-’/+%/+%/+%-!//%//%//#%(7(!
! + - ! + + - - !
因为5"6":是,上的三点"所以/+%/+%/+$(!(%(%(#"
! + - ! + -
又!/%/%/#+$/+%/+%/+%+!//%//%//#"
! + - ! + - ! + + - - !
所以-!/%/%/#+%9"$(!(%(%(#!……………………………………………!+分
! + - ! + -
设=!("/#"则-($(%(%("-/$/%/%/"代入上式得9/+$((’-+!
! + - ! + -
又"也满足9/+$((’-+"所以=的轨迹方程为9/+$((’-+!………………………!(分
/ (/ ( 槡+ (槡+
当/-*时"直线;=的斜率为 $ $ % "当且仅当/$ 时"直线;=
( 9/+%-+ -+ !+ -
9/%
/
槡+ /
的斜率取得最大值 !当/%*时"直线;=的斜率 %*!综上"直线;=斜率的最大值
!+ (
槡+
为 !………………………………………………………………………………………!6分
!+
评分细则.
%!/第!+#问按标准答案解题时"未说明856:有一边斜率不存在的情况"扣+分!
%+/若用其他解法"参照评分标准按步骤给分!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!"#"
{#{QQABCYAQggCAAJJAARhCAwHACAOQkAGCAAoORAAAsAIAyAFABAA=}#}
