2023年高三摸底考试数学答案(1)_2023年11月_0211月合集_2024届河北省保定市高三上学期摸底考试(期中考试)_河北省保定市2024届高三上学期摸底考试(期中考试)数学

2023 年高三摸底数学试题参考答案
一．选择题：1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.B
8．解析（仅供参考）
3 2 3
c＝3－0.5＝ ＜ ＜b＝sin1＜ ，
3 2 2
3 3
c＝3－0.5＝ ＜ ＝log 30.6＜a＝log 2(27＜32⇔33＜25⇔30.6＜2)，
3 5 3 3
3 2＋ 3 sin45＋sin60 105
a＝log 2＜ ＜ ＝ ＜sin ＜b＝sin1．
3 4 4 2 2
（或a＝log 2＝log
3
8＜log
3
9＝
2
＜
2
＜b＝sin1）．
3 3 3 3 2
所以c<a<b
二．选择题： 9.BC 10.ABD 11.ACD 12.ABD
2 256
三．填空题： 13.－ 14.4 15.－4 16.
e 81
四、解答题：
17．（10分）
解：（1）由已知可得 f(x) pq 3sinxcosx ………………………………1分

2sin（x ） ………………………………2分
6
  3  5 4 11
令x＋ 分别等于 ，， ，2解出x值： ， ， ， 填入下表，并画图：
6 2 2 3 6 3 6
 5 4 11
x 0
3 6 3 6
2π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
………………………………………4分
y
2
1
－ π O π 2π π 4π 5π 2π x
3
－1
3 3 3 3
－2
……………………………………………6分

（2）因为 f(x) 2sin（x ）
6
数学试题A 第 1 页 （共 6 页）
{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}
所以h(x) f(2x)2sin（2x ） …………………………………………7分
6
      5
因为x  , ，所以2x   , ， ……………………………………8分
   
 6 3 6  6 6 
  1 
于是sin(2x )  ,1 ， ……………………………………………………………9分
 
6  2 
所以h(x)的值域为1,2. ……………………………………………………………10分
18．（12分）
解：（1）∵a 3a ，∴d 2a ，
2 1 1
n(n1)
∴S an d an2，
n 1 2 1
∴ S n a
n 1
∴ S  S (n1) a n a  a ，
n1 n 1 1 1
 
∴数列 S 是以 为首项,以 为公差的等差数列.
n
（2）∵a 3a ，∴d 2a ，∴a a (2n1)，
2 1 1 n 1
∴a 13a 1,a 15a 1,a 19a 1。
2 1 3 1 5 1
又∵a 1,a 1,a 1成等比数列，∴(5a 1)2 (3a 1)(9a 1)，
2 3 5 1 1 1
即a2 a ，所以a 1,d 2，
1 1 1
a 2n1，S n2，
n n
又S a 2，所以n2 2n15，
n n7
即（n5）(n3)0，
所以n的最小值为6.
19．（12分）
解：（1）证明：记AC∩BD＝O，连A O，
1
因为∠A AB＝∠A AD，AD＝AB，
1 1
所以△A AB≌△A AD，因此A B＝A D，
1 1 1 1
又BO＝DO，故△A BO≌△A DO，
1 1
所以A 1 O⊥BD， z D 1 C 1
在菱形ABCD中BD⊥AC，
A B
1 1
所以BD⊥平面A AC．
1
（方法一）
y
（2）解：因为∠BA 1 D＝90，O是BD的中点， D
C
因
故
此
有
∠
A
A
1 O
1
O
＝
A
B
＝
O
∠
，
A
所
1
O
以
B
△
＝
A
9
B
0
O
，
≌ △AA 1 O，
A
O
B x
故A O⊥AC，
1
数学试题A 第 2 页 （共 6 页）
{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}由此A O⊥平面ABCD，
1
以O为原点，分别以OB，OC，OA 所在的直线
1
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，A (0,0,1)，
1
→ →
设平面BA C的一个法向量为n＝(x,y,z)，而BC＝(－1, 3,0)，A C＝(0, 3,－1)，
1 1
 →
n·BC＝－x＋ 3y＝0，
由 令x＝－ 3得n＝(－ 3,－1,－ 3)，
→

n·A C＝ 3y－z＝0，
1
显然平面C A C的一个法向量可以是m＝(1,0,0)，
1 1
设平面A BC与平面A ACC 夹角为θ，
1 1 1
m·n － 3 21
则cosθ＝|cos＜m，n＞|＝| |＝| |＝ ．
|m||n| 7 7
21
所以平面A BC与平面A ACC 夹角的余弦值为
1 1 1 7
（方法二）
（2）解：因为∠BA D＝90，O是BD、AC的中点，
1
故有A O＝BO，所以△ABO≌△AA O，
1 1
因此∠A OA＝∠A OB＝90，
1 1
故A O⊥AC，由此A C＝A A＝2，
1 1 1 D C
1 1
又因BD⊥平面A ACC ，
1 1
A B
过点O作OE⊥A C于点E，连接BE， 1 1
1
E
因此BE⊥A C，
1
所以∠BEO就是平面A BC与平面A ACC 所成二面角
1 1 1 D
的平面角即平面A BC与平面A ACC 的夹角， C
1 1 1 O
在△A
1
OC中，A
1
O＝1，OC＝ 3，A
1
C＝2， A B
3
因此OE＝ ，
2
7
在△A BC中，A B＝ 2，BC＝2，A C＝2，因此BE＝ ，
1 1 1 2
3 21
cos∠BEO＝ ＝ ．
7 7
21
所以平面A BC与平面A ACC 夹角的余弦值为 .
1 1 1 7
20．（12分）
解：（1）当a＝－1时，f(x)＝ x＋ln(x＋1)， ………………………………………1分
1 1
f′(x)＝ ＋ ，……………………………………………………………………2分
2 x x＋1
1 1
故f′(1)＝ ＋ ＝1，……………………………………………………………………3分
2 2
而f(1)＝1＋ln2，………………………………………………………………………4分
所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1＋ln2)＝x－1，
即y＝x＋ln2． …………………………………………………………………………5分
数学试题A 第 3 页 （共 6 页）
{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}（2）函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，
1 a x＋1－2a x ( x－a)2＋1－a2
f′(x)＝ － ＝ ＝ ，……………………………7分
2 x x＋1 2 x(x＋1) 2 x(x＋1)
①当a≤0时，x∈(0，＋∞)，f′(x)＞0，
f(x)在[0，＋∞)上是增函数，…………………………………………………………8分
②当0＜a≤1时，x∈(0，＋∞)，
f′(x)≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数， ……………………………………………9分
③当a＞1时，令f′(x)＝0得x ＝(a－ a2－1) 2，x ＝(a＋ a2－1) 2，
1 2
当0≤x<x ，或x>x 时，f′(x)＞0，……………………10分
1 2
当x <x<x 时，f′(x)＜0，……………………………………………11分
1 2
因此，f(x)在[0，x )和(x ，＋∞)单调递增，在(x ，x )内单调递减． ……12分
1 2 1 2
21．（12分）
解：（1）在△BCD中，

因为AB ，AB200 3米，
6
所以BC=200米，…………………1分
CD BC
又 由正弦定理可得：  ， …………………………………………2分
sinB sinCDB
CD 200

1 2
即 2 2 ，所以CD=100 2 米………………………………………………………3分
（2）设CDA，

5 ………………………………………………………4分
6 6
5
10000sin( )
所以 1 6 平方米 …………………………………5分
S  ADDCsin
ADC 2 sin
在ADC中，由正弦定理可得
AC AD CD
  ，
sin sinACD sinA
5
200sin( )
100
所以
AD
6 米，CD= 米………………………………………………6分
sin sin
又S 10000 3平方米
ABC
5
sin( )
所以
S 10000[ 3
6
]
平方米……………………………………………7分
BCD sin
设三项费用之和为
100  5
f()=200S +100S +10000 , 
ADC BCD
sin 6 6
5 1
sin( ) cos1
=106（ 3 6  1 ）=106（ 3 3  2 )………………………………9分
sin sin 2 sin
数学试题A 第 4 页 （共 6 页）
{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}1    
（cos2 -sin2 ）cos2 +sin2
（方法一） f()= 106[ 3 3  2 2 2 2 2 ]
2  
2cos sin
2 2
= 3 3 3 1 1  ………………………………………………………10分
106[    tan ]
2 4  4 2
tan
2
3 3 3 1 1  (元) …………………………………11分
106[ 2   tan ]2000000 3
2 4  4 2
tan
2
3 1 1 
  tan  2
当且仅当4  4 2，即tan  3得 时等号成立.……………………12分
tan
2 2 3
1 1
cos1  cos
（方法二）令t 2 求导t 2 ………………………………………10分
sin sin2
1  2
t0,解得cos ,即( , )单调递减，
2 6 3
1 2 5
t0,解得cos ,即( , )单调递减增，
2 3 6
2
当 时， f()有小值， ……………………………………………………………11分
3
2
带入 计算 f() 2000000 3（元）
3
2
所以当CDA 时，政府的总投资最少为2 3百万元．…………………………12分
3
22．（12分）
n＋1
（1）解：由已知当n≥2时，A ＝ a ，B ＝2－b ，
n－1 3 n－1 n－1 n－1
n＋2 n＋1
所以a ＝A －A ＝ a － a ，
n n n－1 3 n 3 n－1
n＋1 n＋1 n n－1 5 4 3
故有当n≥2时，a ＝ a ＝ • • •••…• • •• •a ＝n(n＋1)，
n n－1 n－1 n－1 n－2 n－3 3 2 1 1
而当n＝1时，a ＝2满足a ＝n(n＋1)，
1 n
b ＝B －B ＝2－b －2＋b ＝b －b ，
n n n－1 n n－1 n－1 n
1
b ＝ b
n 2 n－1
b ＝B ＝2－b 即b ＝1，
1 1 1 1
1 1
所以{b }是首项为1，公比为 的等比数列，b ＝ ．
n 2 n 2n－1
1
因此a ＝n(n＋1)，b ＝ ．
n n 2n－1
（2）证明：①
（方法一）
数学试题A 第 5 页 （共 6 页）
{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}由（1）知
c ＝ 2＝ a •b ，
1 1 1
c ＝ a •b ＋( a ＋ a )b ，
2 2 1 1 2 2
c ＝ a (b ＋b )＋( a ＋ a ＋ a )b ，
3 3 1 2 1 2 3 3
c ＝ a (b ＋b ＋b )＋( a ＋ a ＋ a ＋ a )b ，
4 4 1 2 3 1 2 3 4 4
……
c ＝ a (b ＋b ＋…＋b )＋( a ＋ a ＋…＋ a )b (n≥2)
n n 1 2 n－1 1 2 n n
所以
S ＝( a ＋ a ＋…＋ a )•(b ＋b ＋…＋b )
n 1 2 n 1 2 n
（方法二）
当n＝1时，S ＝c ＝ 2＝ a •b ，等式成立，
1 1 1 1
假设当n＝k时，等式成立，即S＝( a ＋ a ＋…＋ a)•(b ＋b ＋…＋b )，
k 1 2 k 1 2 k
当n＝k＋1时，
S ＝S＋c ＝( a ＋ a ＋…＋ a )•(b ＋b ＋…＋b )＋
k＋1 k k＋1 1 2 k 1 2 k
a (b ＋b ＋…＋b )＋( a ＋ a ＋…＋ a ＋ a )b
k＋1 1 2 k 1 2 n k＋1 k＋1
＝( a ＋ a ＋…＋ a ＋ a )(b ＋b ＋…＋b )＋( a ＋ a ＋…＋ a ＋ a )b
1 2 n k＋1 1 2 k 1 2 n k＋1 k＋1
＝( a ＋ a ＋…＋ a ＋ a )(b ＋b ＋…＋b ＋b )，等式成立
1 2 n k＋1 1 2 k k＋1
所以S ＝( a ＋ a ＋…＋ a )•(b ＋b ＋…＋b )
n 1 2 n 1 2 n
②由①得：
S ＝( a ＋ a ＋…＋ a )•(b ＋b ＋…＋b )
n 1 2 n 1 2 n
＝( 1×2＋ 2×3＋…＋ n×(n＋1))•
(
1＋
1
＋…＋
1 )
2 2n－1
＝( 1×2＋ 2×3＋…＋ n×(n＋1))•2
(
1－
1 )
2n
＜2( 1×2＋ 2×3＋…＋ n×(n＋1))
n＋n＋1 2n＋1
因为 n×(n＋1)＜ ＝ ，
2 2
故有S ＜2
( 3
＋
5
＋…＋
2n＋1 )
＝3＋5＋…＋2n＋1＝n(n＋2)．
n 2 2 2
数学试题A 第 6 页 （共 6 页）
{#{QQABKYQAggiIQAAAAAhCEwGQCAOQkBGAAIoOwAAEoAIBQRNABAA=}#}