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决胜新高考——2024 届高三年级大联考
数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合 ，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列 是公差为 的等差数列，对正整数 ，若 ，则 ，是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），且 的虚部为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，高速服务区停车场某片区有 至 共8个停车位（每个车位只停一辆车），有2辆黑色车和2辆
白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二面角 的平面角为 ，棱 上有不同两点 ， ， ， ，
．若 ，则过 四点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知 为椭圆 与双曲线 公共的焦点，且 在第一象限内的交点为P，若 的离心率
满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 ，对任意正数x，y满足 ，且当 时，
，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至
少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．已知单位向量 的夹角为θ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 在 方向上的投影向量为
C．若 ，则 D．若 则
10．已知随机变量 服从正态分布 ，定义函数 为 取值不小于 的概率，即
，则（ ）
A． B．
C． 为减函数 D． 为偶函数
11．已知点 在曲线 上运动，过 作以 为圆心，1为半径的圆的两条切线 ，则
学科网（北京）股份有限公司的值可能是（ ）
A． B． C．4 D．5
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
12．已知 展开式中常数项为280，则 ______．
13．已知函数 的部分图象如图中实线所示，圆 与 图象交于
两点，且 在 轴上，则圆 的半径为______．
14．已知 有两个极值点，则实数 的取值范围为______．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
16．（本小题15分）
如图，在三棱柱 中， 在底面 上的射影为线段 的中点， 为线段 的中点，且
．
学科网（北京）股份有限公司（1）求三棱锥 的体积；
（2）求 与平面 所成角的正弦值．
17．（本小题15分）
某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为 ，第二
天选择餐厅乙就餐的概率为 ；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为 ，第二天选择餐
厅甲就餐的概率为 ．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，选择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第
天选择餐厅甲就餐的概率为 ．
（1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 ，求随机变量 的分布列及期望 ；
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出 的通项
公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
18．（本小题17分）
已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且 垂直于 轴．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 交椭圆 于 两点， 三点不共线，且直线 和直线 关于 对称．
（ⅰ）证明：直线 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
19．（本小题17分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（1）函数 ，求 的最小值 ；
（2）若 为函数 的两个零点，证明： ．
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