文档内容
湖南省 2024 届高三九校联盟第二次联考
数学
由 长沙市一中 常德市一中 湖南师大附中 双峰县一中 桑植县一中
武冈市一中 湘潭市一中 岳阳市一中 株洲市二中 联合命题
炎德文化审校、制作
命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.对两个变量 和 进行回归分析，得到一组样本数据 ，下列统计量的数值能
够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A.平均数 B.相关系数 C.决定系数 D.方差
2.已知 是等比数列， 是其前 项和.若 ，则 的值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
3.关于复数 与其共轭复数 ，下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内，表示复数 和 的点关于虚轴对称
B.
C. 必为实数， 必为纯虚数
D.若复数 为实系数一元二次方程 的一根，则 也必是该方程的根
4.已知 为双曲线 上一动点，则 到点 和到直线 的距离之比为（ ）
A.1 B. C. D.2
5.如图，在四面体 中， 平面 ，则此四面体的外接球表
面积为（ ）A. B. C. D.
6.某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款 元，按照复利计算10年后得到的
本利和为 ，下列各数中与 最接近的是（ ）
A.1.31 B.1.32 C.1.33 D.1.34
7.已知函数 ，若沿 轴方向平移 的图象，总能保证平移后的曲线与直线
在区间 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.过点 的动直线与圆 交于 两点，在线段 上取一点 ，使
得 ，已知线段 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列函数的图象与直线 相切的有（ ）
A. B.
C. D.
10.在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.若 ，则 为直角三角形C.若 为锐角三角形， 的最小值为1
D.若 为锐角三角形，则 的取值范围为
11.如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点， 是线段 的中点，则
（ ）
A.若点 满足 ，则动点 的轨迹长度为
B.三棱锥 体积的最大值为
C.当直线 与 所成的角为 时，点 的轨迹长度为
D.当 在底面 上运动，且溚足 平面 时，线段 长度最大值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.对于非空集合 ，定义函数 已知集合 ，若存在
，使得 ，则实数 的取值范围为__________.
13.已知椭圆 与双曲线 ，椭圆的短轴长与长轴长之比大于 ，则双曲线离
心率的取值范围为__________.
14.函数 在 范围内极值点的个数为__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（木小题满分15分）
如图所示，半圆柱的轴截面为平面 ， 是圆柱底面的直径， 为底面圆心， 为一条母线，为 的中点，且 .
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
16.（本小题满分15分）
猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游
戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且
获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的
奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
（1）求甲按“ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“ ”或者“ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金
的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
17.（本小题满分15分）
已函数 ，其图象的对称中心为 .
（1）求 的值；
（2）判断函数 的零点个数.
18.（本小题满分17分）
已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，其中 .
（1）求数列 的通项公式；（2）对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ，
成等差数列.
（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条
件的 的值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，直线的包络曲线定义为：
直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直
线.
（1）若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；
（2）若点 不在线族： 的任意一条直线上，求 的取值范
和直线族 的包络曲线 ；
（3）在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点 ，若
三点不共线，探究 是否成立？请说明理由.湖南省 2024 届高三九校联盟第二次联考
数学参考答案
命题学校：长沙市一中 审题学校：双峰县一中
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的每个这项中，只有一项
是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D C B D A A
1.C 【解析】平均致与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的就计量：变量y和x之间的相关系
数”的绝对值总大，则变量y和x之间线性相关关系越强；用决定系数R来刻画回归效果，R越大说明拟合效
果总好：综上选C
2.C 【解析】 ，化简得 ，整理得 ，又
， .故选C.
3.D 【解析】对于选项A，表示复数 和 的点关于实轴对称，故错误：对于选项B､选项C，当 时均
不成立，故错误.故选D
4.C 【解析】取双曲线上一点 ，则 ，故选C.
5.B 【解析】将四面体 补形成长方体，长､宽､高分别为 ，外接球直径等于体对角线长故
，所以外接球表面积为 .故选 .
6.D 【解析】存入大额存款 元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为 首项， 为公比的等比
数列，，所认 ，可得
，故选D.7.A 【解析】由题知， ，若沿 轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数
，令 ，即 ，由正弦曲线性质知， 至少有2解，至
多有3解，则自变量 的区间长度在 到 之间，耶 ，那 ，选A.
8.A 【解析】圆心 ，半径为2，所以圆与 解相切，设切点为 .则 ，连接 ，则
，则 .
设 的中点为 ，连接 ，则 ，
语圆心 列直线 的距离为 ，则 .
由 可得 ，
因为 .所以 .
因此 ，解得： ，故选A.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AC ABD CD
9.AC 【解析】选项A中， 与 相切于点 ；选项B中， 与 没有交点；选项C中， 与 相切于点 ；选项D中， 与 有三个交点，
， ，均不是切点.
10.ABD 【解析】对于 中，由正弦定理得 ，由 ，得
.即 ，由 ，则 ，故 ，所
以 或 ，即 或 （舍去），即 正确：
对于 ，结合 和正弦定理知 ，又 ，数
，B正确；
对于 ，在锐角 中， ，即 .
故 ，C错误；
对于 ，在锐角 中，由 .
由对勾函数性质知， ，D正确；故选ABD.
11.CD 【解析】对 ，易知 平面 平面 ，故动点 的轨迹为矩形 ，动
点 的轨迹长度为 ，所认 错误；
对 因为 ，而 的面积为定值 ，要使三棱锥 的体积最大，当且仅当
点 到平面 距离最大，易知，点 是正方体意向到平面 距离最大的点，
错误；对C：连接AC， ，以B为圆心， 为半径画弧 ，如图1所示，
当点 在线段 和弧 上时，直线 与 所成的角为 ，
又 ，
弧 长度 ，故点 的轨迹长度为 ，故 正确；
对D；取 的中点分别为 ，
连接 ，如图2所示，
因为 面 面 ，故 面 ，
， 面 面 ，故 面 ；
又 面 ，故平面 面 ；
又 ，故平面 与平面 是同一个平面.
则点 的轨迹为线段 ：
在三角形 中，
则 ，故三角形 是以 为直角的直角三角形；
故 ，故 长度的最大值为 ，故 正确.故选： .三､填空题（本大题共3小题，年小题5分，共15分）
12. 【解析】由题知： 可取 ，若 .则 ，即
集合 ，得 ，郎 的取值范围为 .
13. 【解析】因为 .
14.2 【解析】 .
当 时， ；当 时， ；
当 时， 和 均为单调减函数，又 在 上是单调增函数，根据复合
函数单调性可知 为减函数 ，又 ，故函数
在该区间上存在一个零点，该零点为函数 的极值点；
从而函数 在 内一共有2个极值点.
四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1）由 是直径可知 ，则 是是等腰直角三角形，故 ，
由圆柱的特征可知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，则 ，因为 ，则 ，
，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
（2）由题意及（1）易知 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则 ，所以
，
由（1）知 平面 ，故平面 的一个法向量是
设 是平面 的一个法向量，
则有 取 ，所以
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
则平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16.【解析】1）设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
则 ；则 的所有可能取值为 ，
所以 ；
则 的所有可能取值为 ，
所以 .
参考答案一：由于 ，
由于 ，所以应该安装“ ”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名
时获得0元的概率，所以应孩按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分，
17.【解析】（1）图为函教 的图象关于点 中心付称，故 为夺函数，
从而有 ，即 .
，
.所以 解得 故 ；
（2）法一：由（1）可知， ，
当 时， 为单调增函教， ，
，
函数 有且仅有一个零点；
当 时， 有两个正根 ，满足 ，且 ，
数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
，
函数 有且仅有一个零点；
当 时， 有两个零点
当 时， 有两个根 ，满足 ，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函致 有且仅有三个零点；
综上，当 时，函数 有三个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有
一个零点
法二：由（1）可知， ，今 ，则
可以转化为 与 两个这数图象交点的个数，今 ，则 ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增在区间 上单调递增，
当 单调递增 时， 趁于 ；
当x趋于1且比1小时， 趋于+∞：当x趋于1且比1大时， 趋于 ：
当 单调递增 时， 趋于 .
所以，当 时，有三个交点；当 时，有两个交点；当 时，有一个交点.
综上，当 时，函数 有三个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有
一个零点.
注意，如果是保留参数b，则答案为：
当 时，函数 有一个零点；当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 有三个零
点.
18.【解析】（1）由 ①，当 时， ②，
①-②得 ，
当 时， ，
是首项为1，公比为 的等比数列，故 ，
由 ③.由得 ，又 ④.
④-③得 ，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得 .
综上： ；
（2）（i）在 和 之间新入 个数 ，使 成等差数列，
设公差为 ，则 ，
则 .
⑤
则 ⑥
⑤-⑥得： ，
（ii）由（1） ，又 ，
由已知 ，
假设 是数量列 或 中的一项，不妨设 ，
因为 ，所以 ，而 ，
所以 不可能是数列 中的项.
假设 是 中的项，则 .
当 时，有 ，即 ，令 ，
当 时， ；当 时， ，由
知 无解.
当 时，有 ，即 .所以存在 使得 是数列 中的第3项.
故存在正整数 使得 是数列 中的第3项.
19.【解析】（1）由定义可知， 与 相切，则圆 的圆心 到直线 的
距离等于1，则 ，叔 .
（2）点 不在直线族 的任意一条直线上，所以无论 取何
值时， 无解.
将 整理成关于 的一元二次方程；
.若该方程无解，则 ，即 .
证明：在 上任取一点 在该点处的切线斜率为 ，于是可以得到 在
点处的切线方程为： ，即 .
今直线族 中 ，则直线为 ，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意 那是抛物线在点 处的切线.
所以直线族 的包络曲线 为 .
（3）法一：已知 ，设 ，则 .
.
由（2）知， 在点 处的切线方程为 ；同理 在点 处的切线方
程为 .
，所以 .
因此 ，
同理： .所以 ，
即 ，所以 成立.
法二：过 分别作准线的垂线 ，连接 .
因为 .
显然 .
又由抛物线定义得： ，故 为线段 的中垂线，得到 ，即 .
同理可知 ，
所以 ，即 .
则 .
所以 成立.
