文档内容
2025 届广东省省内两校十月第一次模拟
2024.10
命题人：客路中学 龙门中学 教研组
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
4.诚信考试，拒绝舞弊.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据指数函数单调性计算集合A,绝对值不等式化简得出集合B,再根据并集定义计算即得.
【详解】集合 ，
则 ，
故选:D．
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
.
C ， D. ，
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：D.
3. 已知直线 过点 和 ，且在 轴上的截距是 ，则实数 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线 的方程，代入点 的坐标，可求 的值.
【详解】因为直线 在 轴上的截距是1，所以过点 ，
又直线 过点 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，即直线方程为 ，
又直线 过点 ，所以 ，解得 ．
故选：D.
4. 函数 零点的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】数形结合思想，分别作出 和 的图象即可求解.
{x+1>0
【详解】解：由 ，得函数 的定义域为 ，
x≠0
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学科网（北京）股份有限公司函数 零点的个数零点个数，
即函数 的图象和函数 的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 ．
故选:C．
5. 如图，三棱锥 中， ， ， ，点 为 中点，点N满足 ，
则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 .
故选：C.
6. 函数结构是值得关注的对象 为了研究 的结构，两边取对数，可得 ，即
，两边取指数，得 ，即 ，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型 结合上述
材料， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对 ，两边取对数，得 ，令g(x)=xlnx(x>0)，分析单调性，可求得最小
值.
【详解】因为 ，两边取对数，可得 ，即 ，
令g(x)=xlnx(x>0)，则 ，
当 时， ， 为减函数，
当 时，g'(x)=lnx+1>0， 增函数，
为
∴ ，
1
∴ ，
y>e
− e， 的最小值为 ，
故选：C.
【点睛】
7. 常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为 （单位：
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学科网（北京）股份有限公司天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 ．开始记录时，这两种物质的质量相
等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，则 满足的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为 1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即
可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为： ，乙的质量为： ，
由题意可得 ，
所以 ．
故选：B．
8. 在矩形 中， ， ， 将 沿着 翻折，使 点在平面 上的投影
恰好在直线AB上，则此时二面角 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，作 于 ， 于 ，求得 ， ，利用向量的夹角
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学科网（北京）股份有限公司公式可求二面角 的余弦值.
【详解】如图所示，作 于 ， 于 .
在 中， ， ，
在 中， ，
，
同理可得 ， ， ，
因为 ，
所以
，
又因为 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司因为 与 的夹角即为二面角 的大小，
所以二面角 的余弦值为 .
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设 为定义在 上的奇函数，当 时， 为常数），则下列说法正确的是
（ ）
A. B.
C. 在 上是单调减函数 D. 函数 仅有一个零点
【答案】AD
【解析】
【分析】根据 ，求得 ，得到 ，求得 的值，可得判定A正确；
结合由 ，可得判定B不正确；结合 和 都是增函数，及 为在 上的
奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合 和函数的单调性，得到 仅有一个零点，
可得判定D正确.
【详解】对于A中，因为 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，
可得 ，解得 ，所以 ，
则 ，所以A正确；
对于B中，由 ，所以B不正确；
对于C中，当 时， ，
因为函数 和 都是增函数，所以 在 是单调递增函数，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 为在 上的奇函数，所以 在 也是递增函数，所以C不正确；
对于D中，由 ，且 和 是单调递增函数，
所以函数 为定义在 上仅有一个零点，所以D正确.
故选：AD.
10. 已知 是自然对数的底数， ，函数 的图象经过原点，且无限接近直
线 又不与该直线相交，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 在区间 上单调递减 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线 可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，
值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于 D，根据对数函数性质，再根据函
数的为偶函数可判断.
【详解】对于A，因为函数 的图象经过原点，
所以 ，解得 ，则 ．
又因为函数 无限接近直线 但又不与该直线相交，
所以 ，则 ，故A错误．
对于B，则 因为 ，
为偶函数．当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 的值域为 ，故B正确；
对于C，当 时， ，因为函数 为减函数，
则函数 在区间 上单调递增，故C错误；
对于D，因为 ，根据函数为偶函数可得 ，故D正确.
故选:BD．
11. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中点，
，则（ ）
A. 无论 取何值，三棱锥 的体积始终为
.
B 若 ，则
C. 点 到平面 的距离为
D. 若异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；
对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面 的法向量，再利用点到平
面的距离公式即可求解；
对于D，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线 与 的方向向量，再利用
向量的夹角与线线角的关系即可求解；
【详解】对于A，因为正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中点,
所以 ,
在正方体 中， 平面 ，
由等体积法知， = = ，
三棱锥 三棱锥
所以无论 取何值，三棱锥 的体积始终为 ，故A正确；
对于B,由题意可知，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示
因为正方体 的棱长为 ，
所以 ， ， ， ， ,
由 ，得 ，设 ，则
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知， ， ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
,即 ，令 则 ，
所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
由于 无法确定，所以点 到平面 的距离无法确定，故C错误；
对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知， ， ， , ， ，
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学科网（北京）股份有限公司,
设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
因为异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，则
，即 ，解得 或 （舍），故D错
误.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数 为奇函数，则 __________
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出 ,再应用奇函数的定义计算求出 ,计算即可求
值.
【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故 ，
故答案为： ．
13. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
【答案】44
【解析】
【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出 ，再利用前n项和公式和性质求出 .
【详解】设公差为 ，有 ，可得 ，
有 ， .
故答案为：44
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
14. 设 ，求 的最小值是
___________.
【答案】
【解析】
【分析】由配方化简可得d可看作点 和 到直线 上的点 的距离之和，作
关于直线 对称的点 ，连接 ，计算可得所求最小值 .
【详解】解：
，
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学科网（北京）股份有限公司即d可看作点 和 到直线 上的点 的距离之和，
作 关于直线 对称的点 ，
由题意得 ，解得
故 ，
则 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关 研究在室温下泡制
好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空
气中冷却，如果茶水开始的温度是 ，室温是 ，那么 后茶水的温度 单位： ，可由公式
求得，其中 是常数，为了求出这个 的值，某数学建模兴趣小组在 室温下
进行了数学实验，先用 的水泡制成 的茶水，利用温度传感器，测量并记录从 开始每一分钟
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学科网（北京）股份有限公司茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：
（1）请你利用表中的一组数据 ， 求 的值，并求出此时 的解析式(计算结果四舍五入
精确到 ；
（2）在 室温环境下，王大爷用 的水泡制成 的茶水，想等到茶水温度降至 时再饮用，
根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间 计算结果四舍五入精确到 分钟)．
参考数据： ， ， 是自然对数 底的数，
【答案】（1） ， ；
.
（2）要等待约 分钟
【解析】
【分析】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数 及对应的函数关系.
（2）由（1）中关系式，求出 时的 值.
【小问1详解】
依题意， ，且当 ， 时， ，
则 ， ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知， ，当 时， ，即 ，
整理得 ，解得 ，
王大爷要等待约 分钟.
16. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式 ，即可求数列的通项公式；
（2）根据（1）的结果可知 ，再利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
因为 ，
所以当 时， ，
两式相减得： ，即 ，
所以 ，
且 符合，
所以 的通项公式为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由（1）可知 ，
所以 ，
所以
.
17. 三棱台 中， ，平面 平面ABC，
， 与 交于D．
（1）证明： 平面 ；
（2）求异面直线 与DE的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得 ，进而证得 ，结合线面平行的判
定定理即可证明；
（2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得 、 ，建立如图空间直
角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解.
【小问1详解】
三棱台 中， ，则 ，
有 ，得 ，所以 ，
又 ，所以在平面 内， ，有 ，
平面 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
已知平面 平面ABC，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，由 平面 ，得 ，
又 平面ABC， 平面ABC，
所以 平面ABC，由 平面ABC，得 .
以B为坐标原点 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有 ，
，
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司设向量 ，且满足： ，
则有 ，令 ，
在 的投影数量为 ，
异面直线 与DE的距离 .
18. 已知直线 ， ， ，记
， ， ．
（1）当 时，求原点关于直线 的对称点坐标；
（2）求证：不论m为何值， 总有一个顶点为定点；
（3）求 面积的取值范围 可直接利用对勾函数的单调性
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】 当 时，直线 的方程为： ，设原点关于直线 的对称点为 ，利
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学科网（北京）股份有限公司用 斜率与中点坐标公式列方程求解即可；
由题意可知 ， 恒过点 ，即可证明．
由题可得 与 垂直，得到角C为直角，故 ，然后利用点到直线的距离公式得到 ，
，再结合对勾函数的性质求解即可．
【详解】解： 当 时，直线 的方程为： ，且斜率 ，
设原点关于直线 的对称点为 ，
则由 斜率与中点坐标公式列方程得： ，
解得： ，
故所求点的坐标为 ；
直线 ，
即 恒过点 ，
，
即 恒过点 ，
故 ，
故 总有一个顶点为定点 ；
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学科网（北京）股份有限公司由条件可得 与 垂直，
故角C为直角，
，
等于点B到 的距离，
由 的方程联立可得 ，
，
等于点 到直线 距离，
，
三角形面积 ，
当 时，有 有最大值 ；
当 时， 有最小值 ，
时，S取最大值 ， 时S取最小值 ，
故 面积的取值范围 ．
19. 已知函数 是偶函数， 是自然对数的底数，
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的最小值
（2）当 时，
（i）令 ， ，求 的值域
（ii）记 ，已知 ， ，且 ，当 取
最大值时，求 的值．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）由函数是偶函数，得到 ，再代入所求式子，表示为 的二次函数求最值；
（2）（ⅰ）由条件可知， ，求函数 d的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的
值域；
（ⅱ）利用反证法进行证明.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，根据偶函数的定义：
，f (−x)=f (x)，即 ，
即： 上式对任意 恒成立，这等价于 ．
， 等 号 成 立 当 且 仅 当 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 ．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可得： ，由于 ， 为偶函数，故只需考虑
时， 的值域，
，
，
令 ， ， ，
∴ ， 单调递增，∴ 在 上单调递增，
的值域为 ， ， ．
故 的值域为 ．
（ⅱ）对于常数 ，令 ， 为偶函数．
下面先证明一个结论： 在 上单调递增．
证明：
．
由(2)可得： 为偶函数，在 上单调递增，∴ 在 上单调递增，
证毕．
对于 ， ，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司先证明：当 取最大值时， ， ， ， 中最多只有一个 ，其余的数要么等于
，要么等于 ．
用反证法，假如当 取最大值时， ， ， ， 中存在两个数 ， ，不妨设
，
记 ，则 ，且 ， ．
记 ，则 ，根据 的单调性可知
，
在 中，将 ， 分别替换成 ， ，
其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与 取最大值相矛盾
∴： ， ， ， 中最多只有一个 ．
， ， ， 中没有数字在区间 时， ， ， ， 中的每一个数，要么等于 ，
要么等于 ，
记 ， ， ， 中等于 的元素个数为 ， ， ，这与 为整数矛
盾
， ， ， 中只有一个数字在区间 时，不妨记为 ，记等于 的数字个数为 ，
则等于 的数字个数为 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司即： ，由于 ， ，
又∵ ，∴ ， ，
∴这1000个数为 ，其中有333个 ， 个2．
．
【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到 ，关键2是判断函数 的单调性，关
键3的利用反证法证明 ， ， ， 中最多只有一个 .
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
