四川省成都市树德中学2024-2025学年高二下学期4月阶段性测试数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年04月试卷(1)

高 2023 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题 8．设函数 f x的导函数为 f 'x，若函数 f x在区间D上是减函数，且函数 f 'x在区间D上是增函数，
命题人：邓连康 审题人：黄波、常勇、韦莉
称 f x在区间D上是“缓减函数”，区间D称为 f x的“缓减区间”，若 f xcos2 x2sinx，下列区
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
间不是 f x的“缓减区间”的是（ ）
的.
1．下列求导运算正确的是（ ）
7 5  7 5 4 4 3
A． 2x '2x B．xlnx' 1 A．  ,  B．  ,  C．  ,  D．  , 
 6 4   6   4 3   3 2 
x
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
 x  1x 1
C．  ' D．( 2x1)' 部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0
ex  ex 2x1
分.
 1 9．已知函数 f x的图象如图， fx是 f x的导函数，则下列结论正确的是
2a ,0a 
2．若数列a 满足a     n n 2 ，a  3 ，则数列a 中的项的值不可能为（ ）
n n1  2a 1, 1 a 1 1 5 n （ ）
 n 2 n
A． f 3 f 2 f 2 f 1 B． f3 f2
6 2 4 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
C． f 3 f 2 f3 D． f 3 f 2 f '2
3．一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内t秒时的位移（单位：米）为
s(t)t2 2tlnt1，则汽车在第1秒时的瞬时加速度为（ ）
10．已知数列a 的通项公式a 
n2
，前n项和为S ，下列说法正确的有
n n 2n15 n
3 1 7 5
A． B． C． D．
（ ）
4 2 4 4
A．当n6时，a 取得最小值
n
1 1 1 1 1 B．S 7
4．若数列a 为等比数列，首项 a 1 ，公比q ，则    求和等于（ ） 14
n 1 2 a
2
2 a
4
2 a
6
2 a
2
2
0
C．当a
n7
前n项积T
n
取得最大值时，n5或者n6
A． 1 210 1  B． 2 210 1  C． 1 410 1  D． 2 410 1  D．当  a n1 a n2  的前10项和为 18 9 8
3 3 3 3
11.已知数列a 满足首项a （a 1且a 4），5a a a 40，下列说法正确的有（ ）
5．设数列a 的前n项之积为T ，满足a 2T 1(nN)，则T （ ） n 1 1 1 n1 n n1
n n n n 2025
1 1 1 1
a 4
A． B． C． D． A． n 是等比数列
4047 4049 4051 4053 a 1
n
6．已知 f(x)3f(2x)2x2lnx ，则 f '1（ ）
B．当a 0时，a 单调递减
1 n
3 3 3 3
A． B． C． D．
2 4 2 4 C．当a 3时，S 2n1恒成立
1 n
a
7．已知 f(x)xlnx x2，x,x 0,， f(x)从x 到x 之间的平均变化率恒小于零，则a的取值范
2 1 2 1 2  9 
D．当a 6时，数列a  前n和T 取最小值时，n4
1  n 10 n
围是（ ）
2  2 
A．1, B．1, C．  , D．  ,
e  e 18．已知抛物线E:x2  y，焦点为F ,动直线ykx2与抛物线E交于A,B两点，分别作A，B处的切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若 fx是函数 f x的导数，且 fa1，则lim f ax f a  线PA，PB交于点P.
x0 2x （1）证明：动点P的轨迹为定直线，并求出轨迹方程；
13．已知数列a 满足 a 0 ，a    a n ( 2)n1, n为奇数 ，则 a  （2）证明： PF 2  FA FB 恒成立；
n 1 n1  2a , n为偶数 2n
n
（3）证明：APF PBF 恒成立.
14．已知 f x xex x  ax2 x 恰有四个不同零点，则a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，15题13分,16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．直四棱锥P ABCD，PA面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD//BC ，AD AB，AP1，AB2，
BC 1，AD 3，M 为线段PD的中点，N为线段PC上的一点，
（1）求平面PBC 与平面PCD夹角余弦值；
CN
（2）若BN //平面ACM ，求 的值.
CP
19．如果一个数列从第2项起，每一项与它得前一项的差都大于2，则称这个数列为“D ”数列.
r
1 1
（1）若数列a 为“D 数列”，且a  3，a  ，a 4，求实数m的取值范围；
n r 1 m 2 m 3
（2）是否存在首项为1的等差数列a 为“D 数列”，且其前n项和S 满足S n2 n？若存在，请求
n r n n
1 1 1 3
16．已知数列a ，且前n项和为 S ，满足： a  ， a  ， a  S S  ，
n n 1 2 2 4 n2 4 n n1 4 出a 的通项公式；若不存在，请说明理由；
n
（1）求a 的通项公式（结果要求化简）； 2 a
n （3）已知等比数列a 的每一项均为正整数，且a 为“D 数列”，b  a ，c  n ，当数
n n r n 3 n n (n1)2n5
（2）设b
n
log
1
2
a
n
 ，求数列b
n
2a
n
的前n项和
T n
（结果要求化简）.
列b
n
不是“D
r
数列”时，试判断数列c
n
是否为“D
r
数列”，并说明理由.
1
17．已知函数 f(x) ax2 2a1lnx3a1x，(aR).
2
（1）若 f(x)在

3, f
3
点处的切线斜率为零，求函数 f(x)的单调区间；
（2）若存在t 2，使得 f(x)在区间2,t单调递增，求实数a的范围.高 2023 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题参考答案 1 n 1 n
16.答案 （1）a   ，（2）T n 
n 2 n 2
一．单选题
1题—8题：D A C D C B A B 1 3 1
解答 （1）当 n1 时， a  S S   ，
二．多选题 3 4 1 2 4 8
9. BC 10. BCD 11. ACD
1 3 1
当 n2 时， a  S S  ，两式作差可得， a  a ，
三．填空题 n1 4 n1 n 4 n2 4 n
1
12. 2 13. a 2n n2n 14. ,0e, 因为a 3  1 8  1 4 a 1 ，
四．解答题
1
15.答案 （1） 7 55 ，（2） 1 所以当 n1 时， a n2  4 a n ，——————3分
55 3
n
 1 n
解答 （1）建立Axyz空间直角坐标系，B2,0,0,C2,1,0,D0,3,0，P0,0,1，CP2,1,1, 当n为偶数时，可得a a   1  2    1  ，
n 24 2
 
BC0,1,0,CD2,2,0，
n1
1 n
1 2 1
设平面PBC 法向量为n

1 x,y,z，则


n 
1


C 

 P



0
，解得可取n

1 1,0,2，
当n为奇数时，可得a n a 1  4    2   ，
n
1
BC 0
n
1
所以a   ，nN*——————7分
  n 2
设平面PDC法向量为n

2 x,y,z，则


n
2


C

P

0
，解得可取n

2 1,1,3，——————3分
n 2 CD0   1 n
（2）由（1）易得b n，所以 log a 2a n2   ，
  n  1 n  n 2
  n n 7 55 2
则cosn 1 ,n 2   1  2 
n n 55
1 1 2 3 4 n1 n
2 1 1 1 1 1 1
T 1  0  +1  +2  ++n3  +n2  ，
7 55 n 2 2 2 2 2 2
所以平面PBC 与平面PCD夹角余弦值为 .——————6分
55
1
两边同时乘以 ，可得
2
 3 1    3 1
（2）在（1）问基础上可得M0, ,  ,AC2,1,0，AM 0, ,  , 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 n 1 n1
 2 2  2 2 T 1  0  +1  +2  ++n3  +n2 
2 n 2 2 2 2 2 2
 
设平面AMC法向量为n

3 x,y,z，则


n
3


A

C

0
，解得可取n

3 1,2,6，——————9分
两式作差，可得
n
3
AM 0
1 2 3 4 n n1
1 1 1 1 1 1 1
T 1    +  +  ++  n2  ，——————11分
     2 n 2 2 2 2 2 2
设CN CP,则BN BCCP2,1,，
化简得
  1
因为CN //平面AMC，所以BNn 0，解得 ，
3 3 1 1 n1 1 n
T n  ，所以T n  .——————15分
CN 1 2 n 2 n 2
所以  .——————13分
CP 3
17.答案 （1） f(x)在0,2单调递增，2,3上单调递减，3,上单调递增，（2）a1,.2a1
解答 （1）定义域x0,， f '(x)ax3a1 ， 同理可得PB的方程为：y2x xx2，两直线方程联立可得
x 2 2
2a1 1  x x k
则 f '(3)3a3a1 0 ，解得a ——————2分 x  1 2 
3 2  0 2 2 ，所以动点P的轨迹方程为y2.————5分
f '(x) 1 x 5  6  1  x2 5x6   1 x2x3  y 0 x 1 x 2 2
2 2 2x 2x 2x
 1 k  4k2 81
（2）由题可知F0,  ，由（1）可知P ,2 ，易得 PF 2  ，
易知 f(x)在0,2，3,上单调递增，在2,3单调递减.——————5分  4 2  16
（2）定义域x0,，
由抛物线定义可知 AF  BF   x2  1   x2  1 xx 2  1 x2 x2  1 ，
 1 4 2 4 1 2 4 1 2 16
f '(x)ax3a1
2a1
 1 ax2 3a1x2a1  1 x2 ax a1————8分
x x x xx 2  1 x x 2 2xx   1 ，代入（1）问结论，可得
1 2 4  1 2 1 2 16
①若a0，易得 f(x)在0,2上单调递增，在2,上单调递减，
4k2 81
AF  BF   PF 2，证完.————10分
②若a0， 16
I 若1a0，易得 f(x)在0,2上单调递增，在2,上单调递减， PF BF
（3）由（2）可得  ，要证APF PBF ，只需证明PFABFP，
AF PF
 a1 a1 
II 若a1，易得 f(x)在 0,  上单调递减，在  ,2 上单调递增，在2,上单调递减， 而要证PFABFP，只需证PFABFP,
 a   a 
即只需要证明cosPFAcosBFP，
③若a0，    
FAFP FBFP
即只需要证明      ，
 a1 a+1  FA FP FB FP
I 若0a1，易得 f(x)在0,2上单调增，在 2,  上单调递减，在  , 上单调递增，
 a   a 
   
FAFP FBFP
即只需要证明    ，
II 若a1，易得 f(x)在0,上单调增， FA FB
 a1 a1    1  k 9
III 若a1，易得 f(x)在 0,  上单调增，在  ,2 上单调递减，在2,上单调递增， 易知FAx ,x2  ，FP ,  ，
 a   a   1 1 4 2 4
综上所述a1————15分
   1 k 9 9 k 9  1
18.答案 （1）轨迹方程为 y2，（2）略（3）略 可得FAFPx,x2   ,  x2  x  ，而 FA x2  ，
 1 1 4 2 4 4 1 2 1 16 1 4
解答 设A  x ,x2，B  x ,x2，Px ,y 
1 1 2 2 0 0
9 k 9 9 k 9
   x2  x     x2  x 
 x2  y x x k 所以 FA    FP  4 1 2 1 16 ，同理 FB    FP  4 2 2 2 16
 ykx2 ，可得x2 kx20，则 x 1 1 x 2 2 2 FA x 1 2  1 4 FB x 2 2  1 4
y x2，求导y'2x，  9 x2  k x  9  9 x2  k x  9
故只需证明 4 1 2 1 16  4 2 2 2 16 ，
1 1
可得k
AP
2x
1
，则PA的方程为：yx
1
2 2x
1
xx
1
，化简得y2x
1
xx
1
2 x
1
2 
4
x
2
2 
4 9 k 9  1  9 k 9  1 由a 为“ D 数列”，可知只需 a a 2 ，
只需证明  x2  x  x2   x2  x  x2   ， n r 2 1
 4 1 2 1 16 2 4  4 2 2 2 16 1 4
即 a (q1)2 ，
1
展开化简，且代入x x 2，
1 2
又b 不是“ D 数列”且 b b 为最小项，则 b b 2 ，
n r 2 1 2 1
故只需证明x2 x 2 kx kx 0，故只需证明x x k ，由（1）知，显然成立.
1 2 2 1 1 2
即 a (q1)3
所以APF PBF .证完————17分 1
1
19.答案 （1） (,0)( ,) ；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析. 综上， a (q1)3 ，
2 1
1 1
解答（1） a a 32 ， a a 4 2 ，解得 m 或 m0 ， 因为 a 1,q2 且 a,qN*
2 1 3 2 m 2 1 1
1
所以m的取值范围是 (,0)( ,) ；————3分 可得 a 1 ，q4或 a 3 ，q2；下面分别讨论————11分
2 1 1
（2）假设存在等差数列a 为“ D 数列”， 4n1 2n3
n r ①当 a 1 ，q4时， a 4n1，则c  
1 n n (n1)2n5 n1
n(n1)
设公差为 d 2 ，由 a 1 ，可得 S n d ，
1 n 2
2n4 2n3 n
n(n1) c c   2n3
由题意可得 n d n2 n 对一切 nN恒成立， n1 n n2 n1 (n1)(n2)
2
2n n
即 d  恒成立， 令d c c 2n3 ，
n1 n n1 n (n1)(n2)
 2n  2n
只需判断d 是否恒大于
2
，所以需要判断d 的单调性，
因为数列   单调递减，且 lim 2 ， n n
n1 nn1
n1 n 2n3 n2 n2
因为d d 2n4 2n3   0，
所以 d 2 ，与 d 2 矛盾，故不存在等差数列a 为“ D 数列”；————7分 n1 n (n2)(n3) (n1)(n2) n2 (n1)(n3)
n r
（3）设等比数列a 的公比为q，则 a aqn1，且每一项均为正整数， 所以d 单调递增，即c c 单调递增，
n n 1 n n1 n
32 8
因为a 为“ D 数列”， 又 c c  8 2 ，
n r 2 1 3 3
所以 a a aqn1(q1)20 ， 所以对任意的 nN都有 c c 2 ，即数列c 为“ D 数列”；————15分
n1 n 1 n1 n n r
a a aqn(q1) ②当 a 3 ，q2时， a 32n1，
所以 a 1 ，q1，而 n2 n1  1 q1 1 n
1 a a aqn1(q1)
n1 n 1
32n1 48
则c   ，显然c 为递减数列，且 c c 02 ，故数列c 不是“ D 数列”；
所以且在a a 中， a a 为最小项； n (n1)2n5 n1 n 2 1 n r
n1 n 2 1
同理，在b b 中， b b 为最小项， 综上，当 a 1 ，q4时，数列c 是“ D 数列”；当 a 3 ，q2时，数列c 不是“ D 数列”.—
n n1 2 1 1 n r 1 n r
———17分