四川省成都市树德中学2024-2025学年高二下学期4月阶段性测试数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年04月试卷(1)

高 2023 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题 8．设函数 f x的导函数为 f 'x，若函数 f x在区间D上是减函数，且函数 f 'x在区间D上是增函数， 命题人：邓连康 审题人：黄波、常勇、韦莉 称 f x在区间D上是“缓减函数”，区间D称为 f x的“缓减区间”，若 f xcos2 x2sinx，下列区 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求 间不是 f x的“缓减区间”的是（ ） 的. 1．下列求导运算正确的是（ ） 7 5  7 5 4 4 3 A． 2x '2x B．xlnx' 1 A．  ,  B．  ,  C．  ,  D．  ,   6 4   6   4 3   3 2  x 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全  x  1x 1 C．  ' D．( 2x1)' 部选对的得6分，有二个正确选项的，每个选项3分，有三个正确选项的，每个选项2分，有选错的得0 ex  ex 2x1 分.  1 9．已知函数 f x的图象如图， fx是 f x的导函数，则下列结论正确的是 2a ,0a  2．若数列a 满足a     n n 2 ，a  3 ，则数列a 中的项的值不可能为（ ） n n1  2a 1, 1 a 1 1 5 n （ ）  n 2 n A． f 3 f 2 f 2 f 1 B． f3 f2 6 2 4 1 A． B． C． D． 5 5 5 5 C． f 3 f 2 f3 D． f 3 f 2 f '2 3．一辆汽车在公路上直线变速行驶，假设汽车在某一段路内t秒时的位移（单位：米）为 s(t)t2 2tlnt1，则汽车在第1秒时的瞬时加速度为（ ） 10．已知数列a 的通项公式a  n2 ，前n项和为S ，下列说法正确的有 n n 2n15 n 3 1 7 5 A． B． C． D． （ ） 4 2 4 4 A．当n6时，a 取得最小值 n 1 1 1 1 1 B．S 7 4．若数列a 为等比数列，首项 a 1 ，公比q ，则    求和等于（ ） 14 n 1 2 a 2 2 a 4 2 a 6 2 a 2 2 0 C．当a n7 前n项积T n 取得最大值时，n5或者n6 A． 1 210 1  B． 2 210 1  C． 1 410 1  D． 2 410 1  D．当  a n1 a n2  的前10项和为 18 9 8 3 3 3 3 11.已知数列a 满足首项a （a 1且a 4），5a a a 40，下列说法正确的有（ ） 5．设数列a 的前n项之积为T ，满足a 2T 1(nN)，则T （ ） n 1 1 1 n1 n n1 n n n n 2025 1 1 1 1 a 4 A． B． C． D． A． n 是等比数列 4047 4049 4051 4053 a 1 n 6．已知 f(x)3f(2x)2x2lnx ，则 f '1（ ） B．当a 0时，a 单调递减 1 n 3 3 3 3 A． B． C． D． 2 4 2 4 C．当a 3时，S 2n1恒成立 1 n a 7．已知 f(x)xlnx x2，x,x 0,， f(x)从x 到x 之间的平均变化率恒小于零，则a的取值范 2 1 2 1 2  9  D．当a 6时，数列a  前n和T 取最小值时，n4 1  n 10 n 围是（ ） 2  2  A．1, B．1, C．  , D．  , e  e 18．已知抛物线E:x2  y，焦点为F ,动直线ykx2与抛物线E交于A,B两点，分别作A，B处的切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若 fx是函数 f x的导数，且 fa1，则lim f ax f a  线PA，PB交于点P. x0 2x （1）证明：动点P的轨迹为定直线，并求出轨迹方程； 13．已知数列a 满足 a 0 ，a    a n ( 2)n1, n为奇数 ，则 a  （2）证明： PF 2  FA FB 恒成立； n 1 n1  2a , n为偶数 2n n （3）证明：APF PBF 恒成立. 14．已知 f x xex x  ax2 x 恰有四个不同零点，则a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，15题13分,16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．直四棱锥P ABCD，PA面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD//BC ，AD AB，AP1，AB2， BC 1，AD 3，M 为线段PD的中点，N为线段PC上的一点， （1）求平面PBC 与平面PCD夹角余弦值； CN （2）若BN //平面ACM ，求 的值. CP 19．如果一个数列从第2项起，每一项与它得前一项的差都大于2，则称这个数列为“D ”数列. r 1 1 （1）若数列a 为“D 数列”，且a  3，a  ，a 4，求实数m的取值范围； n r 1 m 2 m 3 （2）是否存在首项为1的等差数列a 为“D 数列”，且其前n项和S 满足S n2 n？若存在，请求 n r n n 1 1 1 3 16．已知数列a ，且前n项和为 S ，满足： a  ， a  ， a  S S  ， n n 1 2 2 4 n2 4 n n1 4 出a 的通项公式；若不存在，请说明理由； n （1）求a 的通项公式（结果要求化简）； 2 a n （3）已知等比数列a 的每一项均为正整数，且a 为“D 数列”，b  a ，c  n ，当数 n n r n 3 n n (n1)2n5 （2）设b n log 1 2 a n  ，求数列b n 2a n 的前n项和 T n （结果要求化简）. 列b n 不是“D r 数列”时，试判断数列c n 是否为“D r 数列”，并说明理由. 1 17．已知函数 f(x) ax2 2a1lnx3a1x，(aR). 2 （1）若 f(x)在  3, f 3 点处的切线斜率为零，求函数 f(x)的单调区间； （2）若存在t 2，使得 f(x)在区间2,t单调递增，求实数a的范围.高 2023 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题参考答案 1 n 1 n 16.答案 （1）a   ，（2）T n  n 2 n 2 一．单选题 1题—8题：D A C D C B A B 1 3 1 解答 （1）当 n1 时， a  S S   ， 二．多选题 3 4 1 2 4 8 9. BC 10. BCD 11. ACD 1 3 1 当 n2 时， a  S S  ，两式作差可得， a  a ， 三．填空题 n1 4 n1 n 4 n2 4 n 1 12. 2 13. a 2n n2n 14. ,0e, 因为a 3  1 8  1 4 a 1 ， 四．解答题 1 15.答案 （1） 7 55 ，（2） 1 所以当 n1 时， a n2  4 a n ，——————3分 55 3 n  1 n 解答 （1）建立Axyz空间直角坐标系，B2,0,0,C2,1,0,D0,3,0，P0,0,1，CP2,1,1, 当n为偶数时，可得a a   1  2    1  ， n 24 2   BC0,1,0,CD2,2,0， n1 1 n 1 2 1 设平面PBC 法向量为n  1 x,y,z，则   n  1   C    P    0 ，解得可取n  1 1,0,2， 当n为奇数时，可得a n a 1  4    2   ， n 1 BC 0 n 1 所以a   ，nN*——————7分   n 2 设平面PDC法向量为n  2 x,y,z，则   n 2   C  P  0 ，解得可取n  2 1,1,3，——————3分 n 2 CD0   1 n （2）由（1）易得b n，所以 log a 2a n2   ，   n  1 n  n 2   n n 7 55 2 则cosn 1 ,n 2   1  2  n n 55 1 1 2 3 4 n1 n 2 1 1 1 1 1 1 T 1  0  +1  +2  ++n3  +n2  ， 7 55 n 2 2 2 2 2 2 所以平面PBC 与平面PCD夹角余弦值为 .——————6分 55 1 两边同时乘以 ，可得 2  3 1    3 1 （2）在（1）问基础上可得M0, ,  ,AC2,1,0，AM 0, ,  , 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 n 1 n1  2 2  2 2 T 1  0  +1  +2  ++n3  +n2  2 n 2 2 2 2 2 2   设平面AMC法向量为n  3 x,y,z，则   n 3   A  C  0 ，解得可取n  3 1,2,6，——————9分 两式作差，可得 n 3 AM 0 1 2 3 4 n n1 1 1 1 1 1 1 1 T 1    +  +  ++  n2  ，——————11分      2 n 2 2 2 2 2 2 设CN CP,则BN BCCP2,1,， 化简得   1 因为CN //平面AMC，所以BNn 0，解得 ， 3 3 1 1 n1 1 n T n  ，所以T n  .——————15分 CN 1 2 n 2 n 2 所以  .——————13分 CP 3 17.答案 （1） f(x)在0,2单调递增，2,3上单调递减，3,上单调递增，（2）a1,.2a1 解答 （1）定义域x0,， f '(x)ax3a1 ， 同理可得PB的方程为：y2x xx2，两直线方程联立可得 x 2 2 2a1 1  x x k 则 f '(3)3a3a1 0 ，解得a ——————2分 x  1 2  3 2  0 2 2 ，所以动点P的轨迹方程为y2.————5分 f '(x) 1 x 5  6  1  x2 5x6   1 x2x3  y 0 x 1 x 2 2 2 2 2x 2x 2x  1 k  4k2 81 （2）由题可知F0,  ，由（1）可知P ,2 ，易得 PF 2  ， 易知 f(x)在0,2，3,上单调递增，在2,3单调递减.——————5分  4 2  16 （2）定义域x0,， 由抛物线定义可知 AF  BF   x2  1   x2  1 xx 2  1 x2 x2  1 ，  1 4 2 4 1 2 4 1 2 16 f '(x)ax3a1 2a1  1 ax2 3a1x2a1  1 x2 ax a1————8分 x x x xx 2  1 x x 2 2xx   1 ，代入（1）问结论，可得 1 2 4  1 2 1 2 16 ①若a0，易得 f(x)在0,2上单调递增，在2,上单调递减， 4k2 81 AF  BF   PF 2，证完.————10分 ②若a0， 16 I 若1a0，易得 f(x)在0,2上单调递增，在2,上单调递减， PF BF （3）由（2）可得  ，要证APF PBF ，只需证明PFABFP， AF PF  a1 a1  II 若a1，易得 f(x)在 0,  上单调递减，在  ,2 上单调递增，在2,上单调递减， 而要证PFABFP，只需证PFABFP,  a   a  即只需要证明cosPFAcosBFP， ③若a0，     FAFP FBFP 即只需要证明      ，  a1 a+1  FA FP FB FP I 若0a1，易得 f(x)在0,2上单调增，在 2,  上单调递减，在  , 上单调递增，  a   a      FAFP FBFP 即只需要证明    ， II 若a1，易得 f(x)在0,上单调增， FA FB  a1 a1    1  k 9 III 若a1，易得 f(x)在 0,  上单调增，在  ,2 上单调递减，在2,上单调递增， 易知FAx ,x2  ，FP ,  ，  a   a   1 1 4 2 4 综上所述a1————15分    1 k 9 9 k 9  1 18.答案 （1）轨迹方程为 y2，（2）略（3）略 可得FAFPx,x2   ,  x2  x  ，而 FA x2  ，  1 1 4 2 4 4 1 2 1 16 1 4 解答 设A  x ,x2，B  x ,x2，Px ,y  1 1 2 2 0 0 9 k 9 9 k 9    x2  x     x2  x   x2  y x x k 所以 FA    FP  4 1 2 1 16 ，同理 FB    FP  4 2 2 2 16  ykx2 ，可得x2 kx20，则 x 1 1 x 2 2 2 FA x 1 2  1 4 FB x 2 2  1 4 y x2，求导y'2x，  9 x2  k x  9  9 x2  k x  9 故只需证明 4 1 2 1 16  4 2 2 2 16 ， 1 1 可得k AP 2x 1 ，则PA的方程为：yx 1 2 2x 1 xx 1 ，化简得y2x 1 xx 1 2 x 1 2  4 x 2 2  4 9 k 9  1  9 k 9  1 由a 为“ D 数列”，可知只需 a a 2 ， 只需证明  x2  x  x2   x2  x  x2   ， n r 2 1  4 1 2 1 16 2 4  4 2 2 2 16 1 4 即 a (q1)2 ， 1 展开化简，且代入x x 2， 1 2 又b 不是“ D 数列”且 b b 为最小项，则 b b 2 ， n r 2 1 2 1 故只需证明x2 x 2 kx kx 0，故只需证明x x k ，由（1）知，显然成立. 1 2 2 1 1 2 即 a (q1)3 所以APF PBF .证完————17分 1 1 19.答案 （1） (,0)( ,) ；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析. 综上， a (q1)3 ， 2 1 1 1 解答（1） a a 32 ， a a 4 2 ，解得 m 或 m0 ， 因为 a 1,q2 且 a,qN* 2 1 3 2 m 2 1 1 1 所以m的取值范围是 (,0)( ,) ；————3分 可得 a 1 ，q4或 a 3 ，q2；下面分别讨论————11分 2 1 1 （2）假设存在等差数列a 为“ D 数列”， 4n1 2n3 n r ①当 a 1 ，q4时， a 4n1，则c   1 n n (n1)2n5 n1 n(n1) 设公差为 d 2 ，由 a 1 ，可得 S n d ， 1 n 2 2n4 2n3 n n(n1) c c   2n3 由题意可得 n d n2 n 对一切 nN恒成立， n1 n n2 n1 (n1)(n2) 2 2n n 即 d  恒成立， 令d c c 2n3 ， n1 n n1 n (n1)(n2)  2n  2n 只需判断d 是否恒大于 2 ，所以需要判断d 的单调性， 因为数列   单调递减，且 lim 2 ， n n n1 nn1 n1 n 2n3 n2 n2 因为d d 2n4 2n3   0， 所以 d 2 ，与 d 2 矛盾，故不存在等差数列a 为“ D 数列”；————7分 n1 n (n2)(n3) (n1)(n2) n2 (n1)(n3) n r （3）设等比数列a 的公比为q，则 a aqn1，且每一项均为正整数， 所以d 单调递增，即c c 单调递增， n n 1 n n1 n 32 8 因为a 为“ D 数列”， 又 c c  8 2 ， n r 2 1 3 3 所以 a a aqn1(q1)20 ， 所以对任意的 nN都有 c c 2 ，即数列c 为“ D 数列”；————15分 n1 n 1 n1 n n r a a aqn(q1) ②当 a 3 ，q2时， a 32n1， 所以 a 1 ，q1，而 n2 n1  1 q1 1 n 1 a a aqn1(q1) n1 n 1 32n1 48 则c   ，显然c 为递减数列，且 c c 02 ，故数列c 不是“ D 数列”； 所以且在a a 中， a a 为最小项； n (n1)2n5 n1 n 2 1 n r n1 n 2 1 同理，在b b 中， b b 为最小项， 综上，当 a 1 ，q4时，数列c 是“ D 数列”；当 a 3 ，q2时，数列c 不是“ D 数列”.— n n1 2 1 1 n r 1 n r ———17分