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宜宾市四中高2021级高三一诊模拟考试
数学（理工类）参考答案
1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．B12．B
13． 14． 15． 16．
17．（1）由已知得 ，
即有 ，因为 ， .
由 ，且 ，得 .
（2）由（1）可知 ，由余弦定理，
有 .
因为 ， ，
有 ，又 ，
18．（1）
，
由题意知， 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
∴ ，
令 ， ，解得 ，
所以 在R上的单调递增区间为
1
学科网（北京）股份有限公司（2） ， ，得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
19．（1）函数 ，求导得 ，
由 在 处取得极值，得 ，解得 ，
此时 ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 处取得极值，所以 .
（2）由（1）知 ， ，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，而 ，即 ，
所以函数 在 上的值域为 .
20．（1）连接 ，依题意可知 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于三角形 是等边三角形，所以 ， ，又 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ，
2
学科网（北京）股份有限公司又 ，故 ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，故可设 ，
又 ，所以点 到平面 的距离为 .
（2）设 ， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，故可设 ，
设锐二面角 为 ，
则 ，令 ，
所以 ，
设 ， 则 ，
二次函数 的开口向上，对称轴为 ，
所以当 时，该二次函数单调递增，
所以当 时，该二次函数有最小值 ，
3
学科网（北京）股份有限公司当 时，该二次函数有最大值 ，
所以 ，即 .
所以锐二面角 的余弦值的取值范围 .
21．解：（1）由题意，知 .
当 ， 时，有 .
当 时， ；当 时， .
函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由题意，当 时，不等式 恒成立.
即 恒成立，即 恒成立.
设 .则 .
设 ，则 .
当 时，有 .
在 上单调递增，且 ， .
函数 有唯一的零点 ，且 .
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
4
学科网（北京）股份有限公司即 为 在定义域内的最小值.
.
，得 ， .
令 ， .
方程 等价于 ， .
而 在 上恒大于零， 在 上单调递增.
故 等价于 ， .
设函数 ， .易知 单调递增.
又 ， ， 是函数的唯一零点.
即 ， .
故 的最小值 . 实数b的取值范围为 .
22．（1）由 ，消去参数 可得 普通方程为 ，
，
由 ，得曲线 的直角坐标方程为 ；
（2）由（1）得曲线 ，由 ，
可得其极坐标方程为
5
学科网（北京）股份有限公司由题意设 ， ，
则 .
， ，
， .
23．（1）因为
故由 得： 或 或
解得原不等式解集为： .
（2）由（1）可知 的值域为 ，显然 的值域为 .
依题意得：
∴ 解得 所以实数 的取值范围为 .
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