文档内容
静海一中2024-2025 第二学期高二数学（3月）
学生学业能力调研试卷
考生注意：
本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分
3分,共150分。
知 识 与 技 能 学习能力
导数几何
内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 参数范围 关键环节
意义
分数 10 30 20 21 15 30 24
第Ⅰ卷 基础题（共127分）
一、选择题:（ 每小题5分，共45分.）
1．下列求导运算正确的是( )
A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(log x)′＝
2
C．(3x)′＝3xlog e D．()′＝
3
2．设函数y＝f(x)在x＝x 处可导，且lim ＝1，则f′(x)等于( )
0 0
A． B．－ C．1 D．－1
3.已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
4.函数f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( )
A． B．e2 C． D．2e
5.已知函数f(x)＝sinx＋cosx－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，
c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a
6.已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．(0,1) D．[0,1]
7.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意实数x都有f′(x)－f(x)＝ex(2x－1)，f(0)＝4，则不等式f(x)<10ex的解集为( )
A．(－2,3) B．(－3,2)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
8若函数f(x)＝(e为自然对数的底数)是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤0 B．a≤1 C．a>0 D．0≤a≤1
9.设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B． C．(1，＋∞)∪{0} D．(0,1]
二、填空题：（每小题5分，共25分.）
10.函数f(x)＝xln (－x)的单调递减区间是________.
11.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
12.已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是
________.
13．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x ，x ∈R，使得f(x )≤g(x )
1 2 2 1
成立，则实数a的取值范围是________.
14.设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为________．
三、解答题：(本大题共4小题，共57分)
15.（12分）已知f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x
＋y－4＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)若曲线C：y＝－x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程．
16.（12分）已知函数f(x)＝ax－ex (a∈R)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex 成立，求实数a的取值范围．17.（18分）（1）已知函数 ， ，若函数 在
单调递减，求实数a的取值范围.
（2）已知 在R上不是单调函数，求实数b的取值范围.
（3）已知函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围.
（4）已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有
恒成立，求实数a的取值范围.
（5）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法.
18.（15分）设函数f(x)＝ln x－(m＋1)x，g(x)＝x2，x＞0，m∈R。
(1)讨论函数f(x)零点的个数；
(2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论函数y＝h(x)的单调性。
第Ⅱ卷 提高题（共20分）
19.（20分）已知函数
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求函数 单调增区间；(3)若存在 ，使得 是自然对数的底数），求实数
的取值范围.
20.（3分）卷面分1.B 2A 3.D 4.A 5.A 6.D 7.A 8.D 9.D
[0,1)
10. 11. 4 12. 13. 14.λ≥
15.解 (1)f′(x)＝＋2x，
因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
所以即解得
(2)由(1)知y＝＋，则y′＝x2.
设切点为(x，y)，则切线斜率k＝ ＝x，
0 0
故切线方程为y－－＝x(x－x)．
0
由切线过点(2,4)，代入可解得x＝2或x＝－1，
0 0
∴切点为(2,4)或(－1,1)，
则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
16.解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，
则f′(x)＝1－ex，
当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值．
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，
则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)，
则问题转化为a≤ (x>0)，
max
令h(x)＝，x>0，
h′(x)＝＝，
当00，当x>时，h′(x)<0，
所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
所以h(x) ＝h()＝，所以a≤.
max17.【答案】（1） ； （2） ； （3） ； （4）
；
答案见解析.
【详解】（1）由题意，函数 ，可得 ，
要使得函数 在区间 单调递减，则满足 在区间 上恒成
立，
根据二次函数的性质，可得 ，即 ，解得 ，
即实数a的取值范围 .
（2）若函数 在R上的单调函数，
因为 ，可得 ，
则满足 恒成立，可得 ，解得 ，
所以函数 在R上的单调函数，
则 的取值范围 .
（3）由函数 ，可得 ，
要使得函数 在 上单调递增，则满足 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即 ，即实数a的取值范围 .
（4）因为函数 ，对任意两个不等的正实数 ， ，都有
恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，
当 时， ，可得 ，即实数a的取值范围 .
（5）根据（1）（3）可得到如下结论：
对于已知函数的单调性求参数问题：
（1）已知可导函数 在区间 上单调递增，转化为区间 上 恒成立；
（2）已知可导函数 在区间 上单调递减，转化为区间 上 恒成立；
（3）已知可导函数 在区间 上存在增区间，转化为 在区间 上有解；
（4）已知可导函数 在区间 上存在减区间，转化为 在区间 上有解.18.h(x)＝ln x－(m＋1)x＋x2(x>0)，
h′(x)＝－(m＋1)＋mx＝，
当m＝0时，h′(x)＝，
x∈(0,1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当m＜0时，<0<1，
x∈(0,1)，h′(x)＞0，h(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
当m＝1时，h′(x)≥0，h(x)的单调递增区间为(0，)，
当m＞1时，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝；0<<1，当x变化，h′(x)，h(x)变化如下
表，
x 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
－ln m－
h(x) 单调递增 单调递减 －－1 单调递增
1－
即h(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为。
当0＜m＜1时，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝；>1，当x变化，h′(x)，h(x)变化如
下表，
x (0,1) 1
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 单调递增 －－1 单调递减 －ln m－1－ 单调递增
即h(x)单调递增区间为(0,1)，，单调递减区间为。
综上，当m≤0时，单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，
当0＜m＜1时，单调递增区间为(0,1)，，单调递减区间为，
当m＝1时，h(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，
当m＞1时，单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为。
19.【答案】(1) (2) 单调增区间为 (3)
【详解】试题分析：（1）可得 ，又 ，得切线方程为 ；（2）求出 ， 得增区间， 得减区间；（3）存在 ，
使得 成立，等价于当 时，
，所以只要 即可.
试题解析：（1）因为函数 ，
所以 ，
又因为 ，所以函数 在点 处的切线方程为 ．
（2）由（1）， ，
因为当 时，总有 在 上是增函数．
又 ，所以不等式 的解集为 ，
故函数 的单调增区间为 ，递减区间为 ．
（3）因为存在 ，使得 成立，
而当 时， ，
所以只要 即可
又因为 的变化情况如下表所示：
00
减函数 极小值 增函数
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时， 的
最小值 ．
的最大值 为 和 中的最大值．
因为 ，
令 ，因为 ，
所以 在 上是增函数，
而 ，故当 时， ，即 ；当 时， ，即
．
所以，当 时， ，即 ，函数 在
上是增函数，解得 ；当 时， ，即
，函数 在 上是减函数，解得 ．综上可知，所求 的取值范围为 ．
