文档内容
北辰区 2024 届高三第一次联考试卷
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题．试卷满分150
分，考试用时120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．祝各位考生考试顺利！
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．内相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答
案无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域第Ⅰ卷（选
择题共45分）
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 设全集 ， ， 则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数 的部分图像大致为（ ）
A. B.C. D.
5. 下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│
C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│
6. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. 16 D. 32
7. 观察下列关于两个变量 和 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为
A. 正相关、负相关、不相关 B. 负相关、不相关、正相关
C. 负相关、正相关、不相关 D. 正相关、不相关、负相关
8. 设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为圆心， 为半径的圆与 的左
支的一个公共点为 ，若原点 到直线 的距离等于实半轴的长，则双曲线 的离心率为（ ）
.
A B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 已知 （ 为虚数单位），则 ________．11. 的展开式中 的系数为________．
12. 一条倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点，且该直线与圆 相交于， 两
点，则 ________．
13. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ，在不超过18的素数2，
3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是________．
14. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值是________； 的最
大值____________.
15. 已知函数 ，函数 ，若 ． ，
不等式 成立，则实数 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在 中， 分别为三个内角 的对边，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 求 和 的值.
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，底面 为正方形，
、 分别为 、 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18. 已知椭圆 的离心率 ，直线 与圆 相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于不同两点，线段 的中垂线为 ，若 在 轴上的截距为 ，求
直线 的方程.
19. 各项均为正数的数列 的前n项和为 ，且满足 ．各项均为正数
的等比数列 满足 ．
（1）求证 为等差数列并求数列 、 的通项公式；
（2）若 ,数列 的前n项和 ．
①求 ；
②若对任意 ,均有 恒成立，求实数m的取值范围．.
20 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在 处切线的斜率；
的
（2）讨论函数 单调性；
（3）若 有两个极值点 ，且 恒成立，求实数 的取值范
围．北辰区 2024 届高三第一次联考试卷
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题．试卷满分150
分，考试用时120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．祝各位考生考试顺利！
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．内相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答
案无效．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域第Ⅰ卷（选
择题共45分）
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】【答案】B
【9题答案】
【答案】A
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
【10题答案】
【答案】 ##
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
,
【答案】 1 1
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【16题答案】
.
【答案】（1） ； （2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【18题答案】【答案】（1） （2）
【19题答案】
【答案】（1） , （2）① ; ②
【20题答案】
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
