文档内容
北辰区 2025 届高三第一次联考试卷
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.试卷满分150分，
考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答
题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 设 ， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（ ）A. B.
C. D.
4. 在某测量中，设点 在点 的南偏东 ，则点 在点 的（ ）
A. 北偏西 B. 北偏东
C. 北偏西 D. 南偏西
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.C. D.
7. 已知三棱锥 外接球的球心 在线段 上，若 与 均为面积是 的等边三角形，
则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数 ，则下列结论正确 有的（ ）
①函数 的最大值为 ；
②函数 的一个对称中心为 ；
③函数 在 上单调递减；
④ ，将 图象向右平移 单位，再向下平移 个单位可得到 的图象.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④
9. 已知函数 ， ，若关于 的方程 恰有三个不相等
的实数解，则 的取值范围是（ ）
.
A B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 ______.的
11. 展开式中 的系数为______.
12. 已知圆心在 轴上的圆 与倾斜角为 的直线相切于点 则圆 的方程为______.
13. ， ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值是______.
14. 天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的
旅游胜地.已知某游客游览盘山的概率为 ，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是 ，且该游客是
否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为______；该游客至少游览三个景点的概率
为______
15. 如图，平行四边形 中， ， 为 的中点， 为线段 上一点，且满足
，则 ______；若 的面积为 ，则 的最小值为______.
三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16. 已知 的内角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，满足
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求边 的值；
（3）若 ，求 的值.
17. 如图， 垂直于梯形 所在平面， ， 为 的中点， ，，四边形 为矩形.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到直线 的距离；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值
18. 已知等差数列 的前n项和为 ，数列 是各项均为正数的等比数列， ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ；
（3）令 ，数列 的前n项和 ，求证： ．
19. 已知椭圆 ： （ ）的一个焦点为 ，其短轴长是焦距的 倍，点 为椭圆上
任意一点，且 的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设动直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 .问： 轴上是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数 ，
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当函数 有两个极值点 且 .证明： .
