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2024-2025 学年安徽省 A10 联盟高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( )
C3=
7
A. 20 B. 35 C. 120 D. 210
π π
2.已知函数f(x)=cos(2x− )，则f ′(− )=( )
6 3
1
A. −1 B. 0 C. D. 1
2
1
3.已知等差数列{a }的公差d>0，a =3a ，则a + 的最小值为( )
n 5 2 1 d
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )
A. 48 B. 60 C. 72 D. 120
ex (2x−1)
5.函数f(x)= 的图象大致是( )
2x−2
A. B. C. D.
1
6.已知离散型随机变量X的分布列为下表，且Y = X+1，则D(Y)=( )
3
X −1 0 1
1 1 1
P
6 3 2
86 5 5 32
A. B. C. D.
81 81 27 27
7.已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从
甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，
则P(B)=( )
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1 11 1 7 5
A. B. C. D.
14 7 10 18
8.已知函数f(x)=2x+k−xlnx，若f(x)<0对任意x>0恒成立，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,−e) B. (−∞,0) C. (−e,+∞) D. (0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ，则下列说法正确的是( )
(1−2x) 2025=a +a x+a x2+⋯+a x2025
0 1 2 2025
A. 展开式中所有项的二项式系数和为22025
B.
a =24C4
4 2025
C. 展开式中系数最大的项为第1350项
32025+1
D. a +a +a +⋯+a =−
1 3 5 2025 2
10.已知m，n为正整数，且m4)
10 10 n n−1 n−1
1
C. (n+1)Am=Am+1 D. Am+1=Am
n n+1 n−m n n
11.对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数， 是函数
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) f ′(x) f(x) f ″(x)
f ′(x)的导数，若方程f ″(x)=0有实数解x ，则称(x ,f(x ))为函数f(x)的“拐点”.某同学经探究发现：
0 0 0
任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数
2 49
f(x)= x3−x2−12x+ ，则下列说法正确的是( )
3 6
137
A. f(x)的极大值为
6
B. f(x)有且仅有2个零点
29
C. 点(2,− )是曲线y=f(x)的对称中心
2
1 2 3 2024
D. f( )+f( )+f( )+⋯+f( )=4048
2025 2025 2025 2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2 112.已知随机变量 的分布规律为 ，则 ．
X P(X=i)=ai2 (i=1,2,3) P(X=2)=
1 1 2
13.已知两个随机事件A，B，若P(A)= ，P(B)= ，P(B|A)= ，则P(A|B)= ．
5 4 3
14.数列 满足 ， ，其中 为函数 的零点，则
{a } a =ea n −2 (n∈N∗) a +a =3x x y=x−2−ln2x(x>1)
n n+1 2 3 0 0
a +a −a = ．
1 2 3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛.(列式表明计算过程，
结果用数字表示)
(1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法?
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法?
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法?
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法?
16.(本小题15分)
某高中举行爱国主义读书比赛，最终决出一等奖6名同学，其中高一年级2名，高二年级3名，高三年级1名，
现从中任选3人作为代表发言．
(1)求选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数的概率;
(2)设X表示选出的3人中高二年级的人数，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题15分)
1
已知函数f(x)=(x2−2ax)lnx+ x2，a∈R.
2
(1)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x∈[1,+∞)时，函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次(选
手自行选择投篮顺序)，在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获
3 2 1
得奖品.已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为 ， ， ，且在这三处的投篮相互独立．
4 3 2
(1)求甲未获得奖品的概率;
(2)在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率;
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3 1甲参加投篮训练，训练计划如下：在 处先投 个球，若这 个球都投进，则训练结
(3) C n(n∈N∗,n≤60) n
束，否则额外在C处投(200−3n)个球.试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大?
19.(本小题17分)
在数列 中，若存在常数 ，使得 恒成立，则称数列 为“ 数列”．
{a } t a =a a ⋯a +t(n∈N∗) {a } H(t)
n n+1 1 2 n n
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“H(1)数列”，并说明理由;
1
(2)若c =1+ ，c =1，试判断数列{c }是否为“H(t)数列”，并说明理由;
n+1 c 1 n
n
n
若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，且 ， ，求
(3) {a } H(t) a =1 {b } ∑a2=a +log b −t t≠0
n 1 n i n+1 3 n
i=1
数列{b }的通项公式．
n
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4 1参考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D
6.B
7.C
8.A
9.ABD
10.CD
11.AD
2
12.
7
7
13.
15
14.−ln2
15.解：(1)如果4人中男生和女生各选2人，
有 种选法；
C2C2=60
5 4
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，
则再从剩下的 人中任选 人，有 种选法；
7 2 C2=21
7
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，
包含两种情况，
第一种男生中的甲与女生中的乙必须在内有 种，
C2=21
7
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5 1第二种情况，甲乙仅有一人1人在内，
有 种选法，
C1C3=70
2 7
故有21+70=91种选法；
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，
利用间接法，全选后，去掉只有男生和只有女生，
故有 种选法．
C4−C4−C4=120
9 4 5
16.解：(1)记“选出的3人中高一年级的人数多于高三年级的人数”为事件A．
若选出的 人中有高一年级 人，有 种取法
3 1 C1C2 ;
2 3
若选出的 人中有高一年级 人，有 种取法
3 2 C2C1 ;
2 4
所以 P(A)= C1 2 C 3 2+C 2 2C1 4= 1．
C3 2
6
(2)由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3．
P(X=0)= C 3 3 = 1 ， P(X=1)= C1 3 C 3 2 = 9 ，
C3 20 C3 20
6 6
P(X=2)= C 3 2C1 3= 9 ， P(X=3)= C 3 3 = 1 ．
C3 20 C3 20
6 6
所以X的分布列为：
1 9 9 1 3
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = ．
20 20 20 20 2
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6 117.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f ′(x)=(2x−2a)(lnx+1)=2(x−a)(lnx+1)，
1
令f ′(x)=0，解得x =a，x = ．
1 2 e
1 1 1
当00，x∈(a, )，f ′(x)<0，x∈( ,+∞)，f ′(x)>0，
e e e
1 1
∴f(x)的单调递增区间为(0,a)和( ,+∞)，f(x)的单调递减区间为(a, );
e e
1
当a= 时，f ′(x)≥0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
e
1 1 1
当a> 时，∵x∈(0, )，f ′(x)>0，x∈( ,a)，f ′(x)<0，x∈(a,+∞)，f ′(x)>0，
e e e
1 1
∴f(x)的单调递增区间为(0, )和(a,+∞)，f(x)的单调递减区间为( ,a)．
e e
(2)f ′(x)=2(x−a)(lnx+1)，x∈[1,+∞).
当a≤1时，f ′(x)≥0，则f(x)在[1,+∞)上单调递增，
1
∴f(x)≥f(1)，即f(x)≥ ，函数f(x)在[1,+∞)上没有零点．
2
当a>1时，x∈(1,a)，f ′(x)<0;x∈(a,+∞)，f ′(x)>0，
∴f(x)在(1,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
1
∵f(1)= >0，f(2a)=2a2>0，
2
要使得f(x)在[1,+∞)上有两个零点，只需f(x) =f(a)<0，
min
1
∴a2 (−lna+ )<0，解得a>√e．
2
综上，a的取值范围为(√e,+∞).
3 2 1 1
18.解：(1)甲三次投篮都命中的概率P = × × = ，
1 4 3 2 4
甲三次投篮只命中两次且总分不低于 分的概率 ( 3) 2 1 3 ( 2) 1 5 ，
4 P = 1− × × + × 1− × =
2 4 3 2 4 3 2 24
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7 113
所以甲未获得奖品的概率为P=1−P −P = ．
1 2 24
(2)记“甲获得奖品”为事件A，“甲三次投篮都命中”为事件B．
1
P(AB) 4 6
在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为P(B|A)= = = ．
P(A) 11 11
24
(3)设甲的投篮次数为X，则X的分布列为
200−2n
X n
1 1
1−
P 2n 2n
则 n ( 1 ) 3n−200 ．
E(X)= +(200−2n)× 1− = −2n+200
2n 2n 2n
3n−200 3n−197
令f(n)= −2n+200(n∈N )，则f(n+1)= −2n+198，
2n + 2n+1
203−3n−2n+2
，当 时， ，当 时 ，
f(n+1)−f(n)= n≤5 f(n+1)>f(n) n≥6 f(n+1)f(7)>f(8)> ⋯，
故当n=6时，甲投篮次数的期望最大．
19.解：(1)由题意得，2=1+1，3=1×2+1，7=1×2×3+1，43=1×2×3×7+1，则1，2，3，7，
43是“H(1)数列”；
1 3
(2)由c =1，c =1+ ，得c =2，c = ，
1 n+1 c 2 3 2
n
由c =c +t，得t=1，
2 1
∴c ≠c c +1，∴{c }不是“H(t)数列”．
3 1 2 n
(3)设数列{b }的公比为q，
n
由a =a a ⋯a +t，n=1，得a =a +t=1+t，
n+1 1 2 n 2 1
n
由 ， ，得 ，
∑a2=a +log b −t n=1 a2=a +log b −t
i n+1 3 n 1 2 3 1
i=1
∴1=1+t+log b −t，解得b =1．
3 1 1
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8 1由 ，得 ， ，
a =a a ⋯a +t a =a a +t=1+2t a =a a a +t=2t2+4t+1
n+1 1 2 n 3 1 2 4 1 2 3
n
由 ，得 ，
∑a2=a +log b −t a2+a2=a +log b −t
i n+1 3 n 1 2 3 3 2
i=1
，
∴1+(1+t) 2=1+2t−t+log b
3 2
，
∴log b =1+t+t2
3 2
．
∴log q=1+t+t2
3
n
由 ，得 ，
∑a2=a +log b −t a2+a2+a2=a +log b −t=a +log q2−t
i n+1 3 n 1 2 3 4 3 3 4 3
i=1
则 ，
1+(1+t) 2+(1+2t) 2=2t2+4t+1+2(1+t+t2 )−t
解得t=−1，
， ， ， ．
∴log q=1 ∴q=3 ∵b =1 ∴b =3n−1
3 1 n
第 页，共 页
9 1
